কেন নমুনা স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি

স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি সম্পর্কে নিরপেক্ষ অনুমান সম্পর্কিত উইকিপিডিয়া নিবন্ধ অনুসারে নমুনা এসডি

s = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}

$s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2}$

জনসংখ্যার এসডির পক্ষপাতদুষ্ট অনুমানকারী। এতে বলা হয়েছে যে । $E(\sqrt{s^2}) \neq \sqrt{E(s^2)}$

বিশেষ দ্রষ্টব্য। র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি স্বতন্ত্র এবং প্রতিটি $x_{i} \sim N(\mu,\sigma^{2})$

আমার প্রশ্ন দ্বিগুণ:

পক্ষপাতিত্বের প্রমাণ কী?
কীভাবে কেউ নমুনার স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির প্রত্যাশা গণনা করে

আমার গণিত / পরিসংখ্যান সম্পর্কে জ্ঞান কেবল মধ্যবর্তী হয়।

estimation standard-deviation

— ডেভ ওয়েপস
সূত্র

চি বিতরণের উইকিপিডিয়া নিবন্ধে আপনি উভয় প্রশ্নের উত্তর পেয়েছেন ।

— whuber

@ এই প্রশ্নের উত্তর এনআরএইচ-এর দেওয়া নমুনা স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির পক্ষপাতিত্বের একটি দুর্দান্ত, সহজ প্রমাণ দেয়। এখানে আমি সাধারণভাবে বিতরণ করা নমুনা থেকে নমুনার স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির (মূল পোস্টারের দ্বিতীয় প্রশ্ন) প্রত্যাশা স্পষ্টভাবে গণনা করব, যার পক্ষপাতদুটি পরিষ্কার।

পয়েন্ট একটি সেটের পক্ষপাতিত্বহীন নমুনা ভ্যারিয়েন্স হয় $x_1, ..., x_n$

s^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}

$s^{2} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2$

যদি সাধারণত বিতরণ করা হয় তবে এটি সত্য $x_i$

\frac{(n - 1) s^{2}}{σ^{2}} \sim χ_{n - 1}^{2}

$\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^{2}_{n-1}$

$\sigma^2$ $\chi^2_{k}$

p (x) = \frac{(1 / 2)^{k / 2}}{Γ (k / 2)} x^{k / 2 - 1} e^{- x / 2}

$p(x) = \frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1}e^{-x/2}$

$s$

\begin{aligned} E (s) & = \sqrt{\frac{σ^{2}}{n - 1}} E (\sqrt{\frac{s^{2} (n - 1)}{σ^{2}}}) \\ = \sqrt{\frac{σ^{2}}{n - 1}} \int_{0}^{\infty} \sqrt{x} \frac{(1 / 2)^{(n - 1) / 2}}{Γ ((n - 1) / 2)} x^{((n - 1) / 2) - 1} e^{- x / 2} d x \end{aligned}

$\begin{align} E(s) &= \sqrt{\frac{\sigma^2}{n-1}} E \left( \sqrt{\frac{s^2(n-1)}{\sigma^2}} \right) \\ &= \sqrt{\frac{\sigma^2}{n-1}} \int_{0}^{\infty} \sqrt{x} \frac{(1/2)^{(n-1)/2}}{\Gamma((n-1)/2)} x^{((n-1)/2) - 1}e^{-x/2} \ dx \end{align}$

$\sqrt{\frac{s^2(n-1)}{\sigma^2}}$ $\chi^2$ $\chi^2$

\begin{aligned} E (s) & = \sqrt{\frac{σ^{2}}{n - 1}} \int_{0}^{\infty} \frac{(1 / 2)^{(n - 1) / 2}}{Γ (\frac{n - 1}{2})} x^{(n / 2) - 1} e^{- x / 2} d x \\ = \sqrt{\frac{σ^{2}}{n - 1}} \cdot \frac{Γ (n / 2)}{Γ (\frac{n - 1}{2})} \int_{0}^{\infty} \frac{(1 / 2)^{(n - 1) / 2}}{Γ (n / 2)} x^{(n / 2) - 1} e^{- x / 2} d x \\ = \sqrt{\frac{σ^{2}}{n - 1}} \cdot \frac{Γ (n / 2)}{Γ (\frac{n - 1}{2})} \cdot \frac{(1 / 2)^{(n - 1) / 2}}{(1 / 2)^{n / 2}} \underset{χ_{n}^{2} d e n s i t y}{\underset{⏟}{\int_{0}^{\infty} \frac{(1 / 2)^{n / 2}}{Γ (n / 2)} x^{(n / 2) - 1} e^{- x / 2} d x}} \end{aligned}

$\begin{align} E(s) &= \sqrt{\frac{\sigma^2}{n-1}} \int_{0}^{\infty} \frac{(1/2)^{(n-1)/2}}{\Gamma(\frac{n-1}{2})} x^{(n/2) - 1}e^{-x/2} \ dx \\ &= \sqrt{\frac{\sigma^2}{n-1}} \cdot \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) } \int_{0}^{\infty} \frac{(1/2)^{(n-1)/2}}{\Gamma(n/2)} x^{(n/2) - 1}e^{-x/2} \ dx \\ &= \sqrt{\frac{\sigma^2}{n-1}} \cdot \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) } \cdot \frac{ (1/2)^{(n-1)/2} }{ (1/2)^{n/2} } \underbrace{ \int_{0}^{\infty} \frac{(1/2)^{n/2}}{\Gamma(n/2)} x^{(n/2) - 1}e^{-x/2} \ dx}_{\chi^2_n \ {\rm density} } \end{align}$

$\chi^2_{n}$

E (s) = σ \cdot \sqrt{\frac{2}{n - 1}} \cdot \frac{Γ (n / 2)}{Γ (\frac{n - 1}{2})}

$E(s) = \sigma \cdot \sqrt{ \frac{2}{n-1} } \cdot \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) }$

$s$

σ - E (s) = σ (1 - \sqrt{\frac{2}{n - 1}} \cdot \frac{Γ (n / 2)}{Γ (\frac{n - 1}{2})}) \sim \frac{σ}{4 n}

$\sigma - E(s) = \sigma \bigg(1 - \sqrt{ \frac{2}{n-1} } \cdot \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) } \bigg) \sim \frac{\sigma}{4 n} \>$

n \to \infty

$n \to \infty$

$n$ $n$ $\sigma=1$ $1/4n$

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

— ম্যাক্রো
সূত্র

(4 n)^{- 1}

$(4n)^{-1}$

আপনি এই ম্যাক্রোটি করতে সত্যিই প্রচুর বেদনাতে গেছেন। প্রায় এক মিনিট আগে আমি যখন পোস্টটি প্রথম দেখেছিলাম তখন আমি জেনসেনের নিয়ম ব্যবহার করে পক্ষপাতিত্ব দেখানোর কথা ভাবছিলাম কিন্তু ইতিমধ্যে কেউ তা করেছে।

— মাইকেল চেরনিক

অবশ্যই এটি স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি পক্ষপাতদুষ্ট তা দেখানোর এক রাউন্ড উপায় - আমি মূলত মূল পোস্টারের দ্বিতীয় প্রশ্নের উত্তর দিয়েছিলাম: "প্রমিত বিচ্যুতির প্রত্যাশা কীভাবে গণনা করা যায়?"

— ম্যাক্রো

s

$s$

σ^{k}

$\sigma^k$

s^{k}

$s^k$

k

$k$

s^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}

$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n(x_i - \bar{x})^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

E (\sqrt{s^{2}}) < \sqrt{E (s^{2})} = σ

$E(\sqrt{s^2}) < \sqrt{E(s^2)} = \sigma$

s^{2}

$s^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

— NRH
সূত্র

S_{n} = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} \frac{(X_{i} - {\bar{X}}_{n})^{2}}{n - 1}},

$S_n = \sqrt{\sum_{i=1}^n\frac{(X_i-\bar{X}_n)^2}{n-1}} ,$

S_{n}

$S_n$

V a r [S_{n}] \neq 0

$\mathrm{Var}[S_n]\ne0$

0 < V a r [S_{n}] = E [S_{n}^{2}] - E^{2} [S_{n}] \Leftrightarrow E^{2} [S_{n}] < E [S_{n}^{2}] \Leftrightarrow E [S_{n}] < \sqrt{E [S_{n}^{2}]} = σ .

$0 < \mathrm{Var}[S_n] = \mathrm{E}[S_n^2] - \mathrm{E}^2[S_n] \;\;\Leftrightarrow\;\; \mathrm{E}^2[S_n] < \mathrm{E}[S_n^2] \;\;\Leftrightarrow\;\; \mathrm{E}[S_n] < \sqrt{\mathrm{E}[S_n^2]} =\sigma.$

— জেন
সূত্র