এবং মধ্যে পার্থক্য কী ?

18

সাধারণত, এবং মধ্যে পার্থক্য কী ? $E(X|Y)$ $E(X|Y=y)$

প্রাক্তন ফাংশন এবং শেষটি ফাংশন ? এটা এত বিভ্রান্তিকর .. $y$ $x$

conditional-expectation notation definition

— 신범준
সূত্র

হুমম ... দ্বিতীয়টি এক্সের ফাংশন নয় বরং একটি সংখ্যার হওয়া উচিত! আমি কি ভূল?

— ডেভিড

23

মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, $E(X \mid Y)$ এবং $E(X \mid Y = y)$ পার্থক্যটি হ'ল পূর্বটি একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল, তবে পরেরটি (কিছু দিক থেকে) উপলব্ধি $E(X \mid Y)$ । উদাহরণস্বরূপ, যদি

(X, Y) \sim N (0, (\begin{matrix} 1 & ρ \\ ρ & 1 \end{matrix}))

$(X, Y) \sim \mathcal N\left(\mathbf 0, \begin{pmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{pmatrix}\right)$ তবে

E (X ∣ Y)

$E(X \mid Y)$ র্যান্ডম পরিবর্তনশীল

E (X ∣ Y) = ρ Y .

$E(X \mid Y) = \rho Y.$ বিপরীতে, একবার

Y = y

$Y = y$ করা হলে, আমরা সম্ভবত

পরিমাণে আগ্রহী

E (X ∣ Y = y) = ρ y

$E(X \mid Y = y) = \rho y$ যা একটি স্কেলার।

হতে পারে এটি অযথা জটিলতার মতো বলে মনে হচ্ছে তবে এর নিজস্ব র্যান্ডম ভেরিয়েবল হিসাবে সম্পর্কিত বিষয়টি টাওয়ার-আইন মত করে তোলে - ধনুর্বন্ধকের অভ্যন্তরের জিনিসটি এলোমেলো, তাই আমরা এর প্রত্যাশা কী তা জিজ্ঞাসা করতে পারি, অন্যদিকে সম্পর্কে এলোমেলো কিছু নেই । বেশিরভাগ ক্ষেত্রে আমরা গণনা আশা করতে পারি $E(X \mid Y)$ $E(X) = E[E(X \mid Y)]$ $E(X \mid Y = y)$

E (X ∣ Y = y) = \int x f_{X ∣ Y} (x ∣ y) d x

$E(X \mid Y = y) = \int x f_{X\mid Y}(x \mid y) \ dx$

এবং তারপরে ফলাফলটি প্রকাশের ক্ষেত্রে জায়গায় এলোমেলো পরিবর্তনশীল এর স্থানে "প্লাগ ইন" করে । পূর্বের মন্তব্যে যেমন ইঙ্গিত দেওয়া হয়েছে, সেখানে কিছুটা সূক্ষ্মতা রয়েছে যে কীভাবে এই বিষয়গুলিকে কঠোরভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এবং উপযুক্ত উপায়ে এগুলি সংযুক্ত করে দেওয়া যেতে পারে। অন্তর্নিহিত তত্ত্বের সাথে কিছু প্রযুক্তিগত সমস্যার কারণে এটি শর্তযুক্ত সম্ভাবনার সাথে ঘটে happen $E(X \mid Y)$ $Y$ $y$

— লোক
সূত্র

8

ধরুন $X$ এবং $Y$ এলোমেলো পরিবর্তনশীল।

যাক $y_0$ একটি হতে সংশোধন করা হয়েছে বাস্তব সংখ্যার বলতে $y_0 = 1$ । তারপর, $E[X\mid Y=y_0]= E[X\mid Y = 1]$ একটি সংখ্যা : এটা শর্তাধীন প্রত্যাশিত মান এর $X$ দেওয়া যে $Y$ মূল্য আছে $1$ । এখন, নোট কিছুঅন্যান্যসংশোধন বাস্তব সংখ্যার $y_1$ বলে, $y_1=1.5$ $E[X\mid Y = y_1] = E[X\mid Y = 1.5]$ হ'ল (একটি আসল সংখ্যা)দেওয়া $X$ এর শর্তাধীন প্রত্যাশিত মান । অনুমান করার কোনও কারণ নেই যেএবংএর সমান মান রয়েছে। সুতরাং, আমরাকে একটিআসল-মূল্যবান ফাংশনহিসাবেবিবেচনা করতে পারি যা আসল সংখ্যারকে বাস্তব সংখ্যামানচিত্র করে। ওপির প্রশ্নের বিবৃতিতে নোট করুন $Y = 1.5$ $E[X\mid Y = 1.5]$ $E[X\mid Y = 1]$ $E[X\mid Y=y]$ $g(y)$ $y$ $E[X\mid Y = y]$ $E[X\mid Y = y]$ একটি ফাংশন ভুল: একটি রিয়েল-মূল্যবান ফাংশন । $x$ $E[X\mid Y = y]$ $y$

অন্যদিকে, একটি এলোমেলো ভেরিয়েবল যা এলোমেলো পরিবর্তনশীল ক্রিয়া হিসাবে ঘটে । এখন, যখনই আমরা লিখি , আমরা এর অর্থ হ'ল যখনই র্যান্ডম ভেরিয়েবল মান , এলোমেলো ভেরিয়েবলের এর মান । যখনই মান লাগে , দৈব চলক মান লাগে $E[X\mid Y]$ $Z$ $Y$ $Z = h(Y)$ $Y$ $y$ $Z$ $h(y)$ $Y$ $y$ $Z = E[X\mid Y]$ $E[X\mid Y = y] = g(y)$ । সুতরাং, $E[X\mid Y]$ এলোমেলো পরিবর্তনশীল $Z = g(Y)$ অন্য একটি নাম। লক্ষ্য করুন $E[X\mid Y]$ একটি ফাংশন $Y$ (না $y$ ওপি প্রশ্নের বিবৃতিতে হিসাবে)।

এএ এর সাধারণ উদাহরণস্বরূপ, ধরুন যে $X$ এবং $Y$ যৌথ বন্টন সহ বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল

\begin{aligned} P (X = 0, Y = 0) & = 0.1, P (X = 0, Y = 1) = 0.2, \\ P (X = 1, Y = 0) & = 0.3, P (X = 1, Y = 1) = 0.4. \end{aligned}

$\begin{align} P(X=0,Y=0) &= 0.1,~~ P(X=0, Y=1) = 0.2,\\ P(X=1,Y=0) &= 0.3,~~ P(X=1,Y=1) = 0.4. \end{align}$ লক্ষ্য করুন

X

$X$ এবং

Y

$Y$ (নির্ভরশীল) হয়বের্নুলিরপরামিতি সঙ্গে র্যান্ডম ভেরিয়েবল

0.7

$0.7$ এবং

0.6

$0.6$ , এবং তাই যথাক্রমে

E [X] = 0.7

$E[X] = 0.7$ এবং

E [Y] = 0.6

$E[Y] = 0.6$ । এখন, দয়া করে মনে রাখবেননিয়ন্ত্রিতউপর

Y = 0

$Y=0$ ,

X

$X$ পরামিতি সঙ্গে একটি বের্নুলির র্যান্ডম পরিবর্তনশীল

0.75

$0.75$ যখন নিয়ন্ত্রিত উপর

Y = 1

$Y = 1$ ,

X

$X$ পরামিতি সঙ্গে একটি বের্নুলির র্যান্ডম পরিবর্তনশীল

\frac{2}{3}

$\frac 23$ । এটি এত তাড়াতাড়ি কেন আপনি যদি দেখতে না পান তবে কেবল বিশদটি নিয়ে কাজ করুন: উদাহরণস্বরূপ

P (X = 1 ∣ Y = 0) = \frac{P (X = 1, Y = 0)}{P (Y = 0)} = \frac{0.3}{0.4} = \frac{3}{4}, P (X = 0 ∣ Y = 0) = \frac{P (X = 0, Y = 0)}{P (Y = 0)} = \frac{0.1}{0.4} = \frac{1}{4},

$P(X=1\mid Y = 0) = \frac{P(X=1, Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.3}{0.4} = \frac 34,\\ P(X=0\mid Y = 0) = \frac{P(X=0, Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.1}{0.4} = \frac 14,$ এবং একইভাবে

P (X = 1 ∣ Y = 1)

$P(X=1\mid Y=1)$ এবং

P (X = 0 ∣ Y = 1)

$P(X=0\mid Y = 1)$ । সুতরাং, আমাদের কাছে

E [X ∣ Y = 0] = \frac{3}{4}, E [X ∣ Y = 1] = \frac{2}{3} .

$E[X\mid Y = 0] = \frac 34, \quad E[X \mid Y = 1] = \frac 23.$ সুতরাং,

E [X ∣ Y = y] = g (y)

$E[X\mid Y = y] = g(y)$ যেখানে

g (y)

$g(y)$ একটি প্রকৃত মূল্যবান ফাংশন যা বৈশিষ্ট্যগুলি উপভোগ করছে:

g (0) = \frac{3}{4}, g (1) = \frac{2}{3} .

$g(0) = \frac 34, \quad g(1) = \frac 23.$

অন্যদিকে, $E[X\mid Y] = g(Y)$ একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল যা মান গ্রহণ করে $\frac 34$ এবং $\frac 23$ সম্ভাব্যতা সঙ্গে $0.4 = P(Y=0)$ এবং $0.6 = P(Y=1)$ যথাক্রমে। লক্ষ্য করুন $E[X\mid Y]$ একটি হলবিযুক্তদৈব চলক কিন্তুনয়একটি বের্নুলির দৈব চলক।

চূড়ান্ত স্পর্শ হিসাবে, খেয়াল করুন যে

E [Z] = E [E [X ∣ Y]] = E [g (Y)] = 0.4 \times \frac{3}{4} + 0.6 \times \frac{2}{3} = 0.7 = E [X] .

$E[Z] = E\left[E[X\mid Y]\right] = E[g(Y)] = 0.4\times \frac 34 + 0.6\times \frac 23 = 0.7 = E[X].$ অর্থাৎ এ প্রত্যাশিত মানফাংশনএর

Y

$Y$ , যা আমরা একমাত্র প্রান্তিক বন্টন ব্যবহার করে গণনা করা

Y

$Y$ আছে, এরকমএকইহিসাবে সংখ্যাগত মান

E [X]

$E[X]$ !! এই একটি সাধারণ ফলে অনেক মানুষ বিশ্বাস একটি চিত্রণ মিথ্যা হয়

E [E [X ∣ Y]] = E [X] .

$E\left[E[X\mid Y]\right] = E[X].$

দুঃখিত, এটি একটি ছোট রসিকতা। এলআইই হ'ল আইট্রেটেড প্রত্যাশার একটি সংক্ষিপ্ত রূপ যা একদম বৈধ ফলাফল যা প্রত্যেকে বিশ্বাস করে যে সত্য।

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

3

$E(X|Y)$ is the expectation of a random variable: the expectation of $X$ conditional on $Y$ . $E(X|Y=y)$ , on the other hand, is a particular value: the expected value of $X$ when $Y=y$ .

Think of it this way: let $X$ represent the caloric intake and $Y$ represent height. $E(X|Y)$ is then the caloric intake, conditional on height - and in this case, $E(X|Y=y)$ represents our best guess at the caloric intake ( $X$ ) when a person has a certain height $Y = y$ , say, 180 centimeters.

— abaumann
সূত্র

4

I believe your first sentence should replace "distribution" with "expectation" (twice).

— Glen_b -Reinstate Monica

4

E (X ∣ Y)

$E(X\mid Y)$ isn't the distribution of

X

$X$ given

Y

$Y$ ; this would be more commonly denotes by the conditional density

f_{X ∣ Y} (x ∣ y)

$f_{X \mid Y} (x \mid y)$ or conditional distribution function.

E (X ∣ Y)

$E(X \mid Y)$ is the conditional expectation of

X

$X$ given

Y

$Y$ , which is a

Y

$Y$ -measurable random variable.

E (X ∣ Y = y)

$E(X \mid Y = y)$ might be thought of as the realization of the random variable

E (X ∣ Y)

$E(X \mid Y)$ when

Y = y

$Y = y$ is observed (but there is the possibility for measure-theoretic subtlety to creep in).

— guy

1

@guy Your explanation is the first accurate answer yet provided (out of three offered so far). Would you consider posting it as an answer?

— whuber

@whuber I would but I'm not sure how to strike the balance between accuracy and making the answer suitably useful to OP and I'm paranoid about getting tripped up on technicalities :)

— guy

@Guy I think you have already done a good job with the technicalities. Since you are sensitive about communicating well with the OP (which is great!), consider offering a simple example to illustrate--maybe just a joint distribution with binary marginals.

— whuber

1

$E(X|Y)$ is expected value of values of $X$ given values of $Y$ $E(X|Y=y)$ is expected value of $X$ given the value of $Y$ is $y$

Generally $P(X|Y)$ is probability of values $X$ given values $Y$ , but you can get more precise and say $P(X=x|Y=y)$ , i.e. probability of value $x$ from all $X$ 's given the $y$ 'th value of $Y$ 's. The difference is that in the first case it is about "values of" and in the second you consider a certain value.

You could find the diagram below helpful.

Bayes theorem diagram form Wikipedia

— Tim
সূত্র

This answer discusses probability, while the question asks about expectation. What is the connection?

— whuber