এলোমেলোভাবে ট্রেস কৌশল

10

টেকের বার্কলে ক্যালিফোর্নিয়া বিশ্ববিদ্যালয়, বার্কলেতে ক্যালিফোর্নিয়ার বিশ্ববিদ্যালয়, এম। সিগারে আমি নীচে এলোমেলোভাবে ট্রেস কৌশলটি পেয়েছি M. রেপ, 2007

tr (A) = E [x^{T} A x]

$\operatorname{tr}(\mathbf{A}) = {E[\mathbf{x}^T \mathbf{A} \mathbf{x}]}$

যেখানে । $\mathbf{x} \sim N(\mathbf{0},\mathbf{I})$

গভীর গণিত ব্যাকগ্রাউন্ড ব্যতীত একজন ব্যক্তি হিসাবে আমি ভাবছি যে এই সাম্য কীভাবে অর্জন করা যায়। তদুপরি, আমরা কীভাবে উদাহরণস্বরূপ জ্যামিতিকভাবে interpret ব্যাখ্যা করতে পারি ? কোনও ভেক্টরের অভ্যন্তরীণ পণ্য গ্রহণের অর্থ এবং এর সীমার মান বোঝার জন্য আমার কোথায় নজর দেওয়া উচিত? গড়টি ইগেনভ্যালুজের যোগফলের সমান কেন? তাত্ত্বিক সম্পত্তি ছাড়াও এর ব্যবহারিক গুরুত্ব কী? $\mathbf{x}^T \mathbf{A} \mathbf{x}$

আমি একটি ম্যাটল্যাব কোড স্নিপেট লিখেছি এটি কাজ করে কিনা তা দেখার জন্য

#% tr(A) == E[x'Ax], x ~ N(0,I)

N = 100000;
n = 3;
x = randn([n N]); % samples
A = magic(n); % any n by n matrix A

y = zeros(1, N);
for i = 1:N
    y(i) = x(:,i)' * A * x(:,i);
end
mean(y)
trace(A)

ট্রেস 15 যেখানে আনুমানিক 14.9696 হয়।

normal-distribution matlab

— ভিজে মাটির সোঁদা গন্ধ
সূত্র

12

এনবি উল্লিখিত ফলাফলটি স্থানাঙ্কগুলির কোনও স্বাভাবিকতা বা এমনকি স্বাধীনতার উপর নির্ভর করে না । এটা তোলে উপর নির্ভর করে না হচ্ছে ইতিবাচক নির্দিষ্ট পারেন। প্রকৃতপক্ষে, ধরুন যে কেবলমাত্র এর স্থানাঙ্কগুলির শূন্য অর্থ, একটির বৈকল্পিক এবং অসামঞ্জস্যযুক্ত (তবে অগত্যা স্বতন্ত্র নয়); এটি হ'ল, জন্য , এবং । $\newcommand{\x}{\mathbf{x}}\newcommand{\e}{\mathbb{E}}\newcommand{\tr}{\mathbf{tr}}\newcommand{\A}{\mathbf{A}}\x$ $\A$ $\x$ $\e \x_i = 0$ $\e \x_i^2 = 1$ $\e \x_i \x_j = 0$ $i \neq j$

খালি হাতে পন্থা

যাক Let একটি স্বেচ্ছাচারী ম্যাট্রিক্স হয়। সংজ্ঞা দ্বারা । তারপরে, এবং তাই আমাদের কাজ শেষ। $\A = (a_{ij})$ $n \times n$ $\tr(\A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}$

t r (A) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i i} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i i} E x_{i}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i i} E x_{i}^{2} + \sum_{i \neq j} a_{i j} E x_{i} x_{j},

$\tr(\A) = \sum_{i=1}^n a_{ii} = \sum_{i=1}^n a_{ii} \e \x_i^2 = \sum_{i=1}^n a_{ii} \e \x_i^2 + \sum_{i\neq j} a_{ij} \e \x_i \x_j ,$

যদি বিষয়টি একেবারে সুস্পষ্ট না হয় তবে মনে রাখবেন যে ডান হাতের প্রত্যাশার হ'ল

\sum_{i = 1}^{n} a_{i i} E x_{i}^{2} + \sum_{i \neq j} a_{i j} E x_{i} x_{j} = E (\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}) = E (x^{T} A x)

$\sum_{i=1}^n a_{ii} \e \x_i^2 + \sum_{i\neq j} a_{ij} \e \x_i \x_j = \e\Big(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} \x_i \x_j \Big) = \e(\x^T \A \x)$

ট্রেস বৈশিষ্ট্যের মাধ্যমে প্রমাণ

এটি লেখার জন্য আরও একটি উপায় রয়েছে যা পরামর্শক, তবে নির্ভর করে সামান্য আরও উন্নত সরঞ্জামগুলিতে concept আমাদের প্রত্যাশা এবং ট্রেস অপারেটর উভয়ই লিনিয়ার এবং এটি যে কোনও দুটি ম্যাট্রিকের জন্য এবং উপযুক্ত মাত্রা, of । তারপরে, যেহেতু , আমাদের রয়েছে এবং তাই, $\A$ $\newcommand{\B}{\mathbf{B}}\B$ $\tr(\A\B) = \tr(\B\A)$ $\x^T \A \x = \tr(\x^T \A \x)$

E (x^{T} A x) = E (t r (x^{T} A x)) = E (t r (A x x^{T})) = t r (E (A x x^{T})) = t r (A E x x^{T}),

$\e(\x^T \A \x) = \e( \tr(\x^T \A \x) ) = \e( \tr(\A \x \x^T) ) = \tr( \e( \A \x \x^T ) ) = \tr( \A \e \x \x^T ),$

E (x^{T} A x) = t r (A I) = t r (A) .

$\e(\x^T \A \x) = \tr(\A \mathbf{I}) = \tr(\A) .$

চতুষ্কোণ ফর্ম, অভ্যন্তরীণ পণ্য এবং উপবৃত্তাকার

যদি ধনাত্মক সুনির্দিষ্ট হয়, তবে অভ্যন্তরীণ পণ্যটি মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা যায় এবং একটি মৃত্তিকা সংজ্ঞা দেয় at মূলকে কেন্দ্র করে। $\A$ $\mathbf{R}^n$ $\langle \x, \mathbf{y} \rangle_{\A} = \x^T \A \mathbf{y}$ $\mathcal{E}_{\A} = \{\x: \x^T \A \x = 1\}$ $\mathbf{R}^n$

— মৌলিক
সূত্র

গা bold় এবং মর্মালকেস ভেরিয়েবলগুলি অনুসরণ করা বেশ বিভ্রান্তিকর । আমি মনে করি সেগুলি মানদণ্ডের মান। আপনি শেষ অংশে যেমনটি প্রত্যাশা ফর্মটি থেকে শুরু করি তখন আমি আরও স্পষ্ট বুঝতে পারি। সুতরাং now এখন আমার পক্ষে খুব স্পষ্ট।

x_{i}

$\mathbf{x}_i$

x_{i}

$x_i$

E [(x^{T} A x)] = E [(\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j})] = \sum_{i = 1}^{n} a_{i i} E [x_{i}^{2}] + \sum_{i \neq j} a_{i j} E [x_{i} x_{j}]

$\newcommand{\x}{\mathbf{x}}\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} {E[(\x^T \mathbf{A} \x)]} = {E[\Big(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j \Big)]} = \sum_{i=1}^n a_{ii} {E[x_i^2]} + \sum_{i\neq j} a_{ij} {E[x_i x_j]}$

— পেট্রিচোর

x_{i}

$\mathbf{x}_i$ হয় তম ভেক্টরের তুল্য । অন্যরা কেবল টাইপস। এর জন্যে দুঃখিত. আমি যতটা সম্ভব নিবিড়ভাবে আপনার স্বরলিপি অনুসরণ করার চেষ্টা করছিলাম। আমি সাধারণত ব্যবহার করেন সঙ্গে এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের স্থানাঙ্ক হিসাবে । কিন্তু, আমি (সম্ভাব্য) বিভ্রান্ত করতে চাইনি।

i

$i$

x

$\mathbf{x}$

X = (X_{i})

$\mathbf{X} = (X_i)$

X_{i}

$X_i$

X

$\mathbf{X}$

— কার্ডিনাল

আসলে, এটি উত্তরের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। আমি কেবল নিশ্চিত করতে চেয়েছিলাম যে সাবস্ক্রিপশনযুক্ত ভেরিয়েবলগুলি ভেক্টরের উপাদান। এখন, এটা পরিষ্কার।

— পেট্রিচোর

ঠিক আছে, এটি সামঞ্জস্যপূর্ণ (এখন) কারণ আমি এটি সম্পাদনা করেছি! :) টাইপগুলি নির্দেশ করার জন্য ধন্যবাদ। আমি পরের দু'দিন ধরে জ্যামিতি সম্পর্কে আরও কিছু যুক্ত করার চেষ্টা করব।

— কার্ডিনাল

3

যদি প্রতিসম হয় ইতিবাচক নির্দিষ্ট, তারপর সঙ্গে orthonormal, এবং তির্যক উপর eigenvalues সঙ্গে তির্যক। যেহেতু পরিচয় সহভেদাংক ম্যাট্রিক্স আছে, এবং orthonormal হয়, এছাড়াও একটি পরিচয় সহভেদাংক ম্যাট্রিক্স রয়েছে। সুতরাং লেখা , আমাদের । যেহেতু প্রত্যাশা অপারেটর লিনিয়ার, এটি কেবলমাত্র । প্রতিটি চি-বর্গক্ষেত্রের সাথে 1 ডিগ্রি স্বাধীনতা, তাই প্রত্যাশিত মান 1 থাকে Hence সুতরাং প্রত্যাশাটি ইজেনভ্যালুগুলির যোগফল। $A$ $A = U^tDU$ $U$ $D$ $x$ $U$ $Ux$ $y = Ux$ $E[x^TAx] = E[y^tDy]$ $\sum_{i=0}^n \lambda_i E[y_i^2]$ $y_i$

জ্যামিতিকভাবে, প্রতিসম পজিটিভ সুনির্দিষ্ট ম্যাট্রিকেস সাথে 1-1 চিঠিপত্রের মধ্যে রয়েছে - সমীকরণের মাধ্যমে দেওয়া হয়েছে । উপবৃত্তাকার অক্ষগুলির দৈর্ঘ্য দ্বারা দেওয়া হয় যেখানে ইগেনভ্যালু। $A$ $x^TAx = 1$ $1/\sqrt\lambda_i$ $\lambda_i$

যখন যেখানে সমবায় ম্যাট্রিক্স হয়, এটি মহালানোবিসের দূরত্বের বর্গক্ষেত্র । $A = C^{-1}$ $C$

— aprokopiw
সূত্র

1

আমাকে "এর ব্যবহারিক গুরুত্ব কী" প্রশ্নের অংশটি সম্বোধন করতে দিন। সেখানে যা আমরা কম্পিউট ম্যাট্রিক্স ভেক্টর পণ্য করার ক্ষমতা আছে কিছু পরিস্থিতিতে আছে দক্ষতার এমনকি যদি আমরা ম্যাট্রিক্স একটি সংরক্ষিত অনুলিপি না অথবা একটি অনুলিপি সংরক্ষণ করার জন্য যথেষ্ট স্টোরেজ করোনি কেনো । উদাহরণস্বরূপ, এর আকার হতে পারে 100,000 দ্বারা 100,000 এবং সম্পূর্ণ ঘন- এর জন্য ডাবল প্রিজিওন ফ্লোটিং পয়েন্ট ফর্ম্যাটে এমন ম্যাট্রিক্স সংরক্ষণ করতে 80 গিগাবাইট র‍্যামের প্রয়োজন হবে। $Ax$ $A$ $A$ $A$

ভালো এলোমেলোভাবে আলগোরিদিম ট্রেস অনুমান করার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে স্বতন্ত্র তির্যক এন্ট্রি (ক সংশ্লিষ্ট অ্যালগোরিদম ব্যবহার করে) অথবা । $A$ $A$

বৃহত আকারের জিওফিজিক্যাল ইনভার্সন সমস্যাগুলিতে এই কৌশলটির কিছু অ্যাপ্লিকেশন আলোচনা করা হয়েছে

জে কে ম্যাকার্থি, বি। বোর্চারস এবং আরসি অ্যাস্টার। মডেল রেজোলিউশন ম্যাট্রিক্স ডায়াগোনালের দক্ষ স্টোকাস্টিক অনুমান একটি বৃহত জিওফিজিকাল বিপরীত সমস্যার জন্য একটি এনডি সাধারণীকরণের ক্রস বৈধকরণ। জিওফিজিকাল রিসার্চ জার্নাল, 116, বি 10304, 2011. কাগজের লিঙ্ক

— ব্রায়ান বোর্চার্স
সূত্র

+1 আমি এই সেমিস্টারে এলোমেলোম অ্যালগরিদমের সাথে দেখা হয়েছি এবং তাদের সাথে মুগ্ধ হয়েছি। আমাকে আরও একটি নিবন্ধ যুক্ত করুন। নাথান হালকো, পার-গুনার মার্টিনসন, জোল এ। ট্রপ্প, "এলোমেলোভাবে কাঠামো সন্ধান করা: আনুমানিক ম্যাট্রিক্সের পচন রচনার

— পেট্রিচোর