অসম বৈকল্পিক সহ জেমস-স্টেইন অনুমানক

Question

আমি জেমস-স্টেইন অনুমানকারীর প্রত্যেকটি বিবৃতি অনুমান করি যে অনুমান করা যায় যে এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির একই (এবং ইউনিট) ভেরিয়েন্স রয়েছে।

তবে এই সমস্ত উদাহরণে আরও উল্লেখ করা হয়েছে যে জেএসের অনুমানকারীকে একে অপরের সাথে কিছুই করার মতো পরিমাণের অনুমান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। উইকিপিডিয়া উদাহরণ তাইওয়ানের আলো, চা পান, এবং মন্টানা বরা ওজন গতি। তবে সম্ভবত এই তিনটি পরিমাণে আপনার পরিমাপের আলাদা "সত্য" বৈকল্পিক থাকবে। এটি কি কোনও সমস্যা উপস্থাপন করে?

এই প্রশ্নের সাথে সম্পর্কিত, এটি আমি বুঝতে পারি না এমন বৃহত্তর ধারণাগত সমস্যার সাথে সম্পর্কিত: জেমস-স্টেইন অনুমানক: আফ্রন এবং মরিস কীভাবে তাদের বেসবল উদাহরণের জন্য সঙ্কোচন গণনা করেছিলেন ? $\sigma^2$আমরা সংকোচনের গুণক নিম্নরূপে গণনা করি :$c$

$$c = 1 - \frac{(k-3) \sigma^2} {\sum (y - \bar{y})^2}$$

স্বজ্ঞাতভাবে, আমি শব্দটি আসলে - প্রতিটি পরিমাণ অনুমান করার জন্য আলাদা। তবে এই প্রশ্নের আলোচনায় কেবল পুলের বৈকল্পিকতা ব্যবহার করা নিয়ে কথা বলা হয় ...$\sigma^2$$\sigma^2_i$

কেউ যদি এই বিভ্রান্তি দূর করতে পারে তবে আমি সত্যিই প্রশংসা করব!

Comments

জেমস-স্টেইন সমস্যাটি ফিরে পেতে আমরা যদি আমরা কেবল by দ্বারা বাম গুণ করতে পারি। যদি অজানা থাকে তবে সমস্যাটির প্রতিটি "পর্যবেক্ষণ" পর্যবেক্ষণের ভিত্তিতে গণনা করা একটি নমুনা যা আমরা কে কিছু দিয়ে অনুমান করতে পারি এবং আশা করি যে আমরা -স্টেইন পরিস্থিতিও পেয়ে যাব যদি আমরা প্রাক গুণিত করি পরিবর্তে । ডি - 1 / 2 ডি মি আমি ডি ডি ডি - 1 /$D = \mbox{diag}(\sigma_1^2, \ldots, \sigma_n^2)$$D^{-1/2}$$D$$m_i$$D$$\hat D$$\hat D^{-1/2}$

— লোক

@ গুই: এটি একটি বুদ্ধিমান পরামর্শ (+1), তবে এটির ফলে সমস্ত ভেরিয়েবলের জন্য একই সঙ্কুচিত ফ্যাক্টর দেখা দেবে, অন্যদিকে তার পরিবর্তন / অনিশ্চয়তার উপর নির্ভর করে কেউ পরিবর্তনশীলকে আলাদাভাবে সঙ্কুচিত করতে চাইবে। আমি সবে পোস্ট করেছি উত্তর দেখুন।

— অ্যামিবা

@ অ্যামিবা শিওর; আমি আমার অনুমানকারীকে ব্যবহারিক ব্যবহারের পরামর্শ দিচ্ছিলাম না, কেবল এটিই চিত্রিত করেছিল যে লোকেরা ওপিকে তার দ্বিতীয় অনুচ্ছেদে উল্লিখিত জিনিসগুলি কেন বলে।

— লোক

Answer 1

এফ্রন এবং মরিস কর্তৃক ১৯ 1970০-এর দশকে লেখা এমিরিকাল বেইস প্রসঙ্গে জেমস-স্টেইন অনুমানকারী সম্পর্কিত শাস্ত্রীয় সিরিজের কাগজগুলিতে এই প্রশ্নের স্পষ্টভাবে উত্তর দেওয়া হয়েছিল। আমি প্রধানত উল্লেখ করছি:

1. এফ্রন এবং মরিস, 1973, স্টেইনের অনুমানের নিয়ম এবং এর প্রতিযোগী - একটি বৌদ্ধিক অভিজ্ঞতা

2. এফ্রন এবং মরিস, 1975, স্টেইনের অনুমান এবং এর সাধারণীকরণের সাথে ডেটা বিশ্লেষণ

3. ইফ্রন এবং মরিস, 1977, পরিসংখ্যানের স্টেইনের প্যারাডক্স

1977 পত্রটি একটি অ-প্রযুক্তিগত প্রকাশ যা অবশ্যই পড়তে হবে। সেখানে তারা বেসবল ব্যাটিংয়ের উদাহরণটি উপস্থাপন করে (এটি যে থ্রেডের সাথে আপনি লিঙ্ক করেছেন তাতে আলোচিত); এই উদাহরণে পর্যবেক্ষণের বৈকল্পিকগুলি অবশ্যই সমস্ত ভেরিয়েবলের জন্য সমান বলে মনে হয় এবং সংকোচনের কারণটি ধ্রুবক।$c$

যাইহোক, তারা আরও একটি উদাহরণ দেয়, যা এল সালভাদোরের বেশ কয়েকটি শহরে টক্সোপ্লাজমোসিসের হার অনুমান করে। প্রতিটি শহরে বিভিন্ন সংখ্যক লোককে সমীক্ষা করা হয়েছিল, এবং তাই পৃথক পর্যবেক্ষণগুলি (প্রতিটি শহরে টক্সোপ্লাজমোসিসের হার) বিভিন্ন রূপের বিষয়ে ধারণা করা যেতে পারে (জরিপ করা লোকের সংখ্যা যত কম, তত বৈচিত্র্য)। অন্তর্নিহিতটি অবশ্যই হ'ল নিম্ন বৈকল্পিক (কম অনিশ্চয়তা) সহ ডেটা পয়েন্টগুলি উচ্চতর বৈকল্পিক (উচ্চ অনিশ্চয়তা) সহ ডেটা পয়েন্ট হিসাবে দৃ strongly়ভাবে সঙ্কুচিত হওয়া দরকার না। তাদের বিশ্লেষণের ফলাফলটি নিম্নলিখিত চিত্রটিতে প্রদর্শিত হয়েছে, যেখানে এটি ঘটতে দেখা যায়:

একই তথ্য এবং বিশ্লেষণটি আরও বেশি প্রযুক্তিগত 1975 এর গবেষণাপত্রে উপস্থাপিত হয়েছে, আরও মার্জিত চিত্রে (দুর্ভাগ্যক্রমে যদিও পৃথক রূপগুলি প্রদর্শন করে না), বিভাগ 3 দেখুন:

সেখানে তারা একটি সরলীকৃত এম্পিরিকাল বেইস চিকিত্সা উপস্থাপন করেন যা নিম্নলিখিত হিসাবে চলে। আসুন যেখানে অজানা। যদি সমস্ত একরকম হয় তবে স্ট্যান্ডার্ড ইমিরিকাল বেইস ট্রিটমেন্টটি হিসাবে হিসাবে করা যায় এবং হিসাবে গণনা করা হয় যা কিছুই নয় জেমস-স্টেইন অনুমানকারী ছাড়া অন্যটি।

$$X_i|\theta_i \sim \mathcal N(\theta_i, D_i)\\ \theta_i \sim \mathcal N(0, A)$$ $A$$D_i=1$$1/(1+A)$$(k-2)/\sum X_j ^2$$\theta_i$ $$\hat \theta_i = \left(1-\frac{1}{1+A}\right)X_i = \left(1-\frac{k-2}{\sum X_j^2}\right)X_i,$$

যদি এখন , তবে আপডেটের নিয়মটি হ'ল এবং আমরা অনুমান করার জন্য একই ইমিরিকাল বেয়েস ট্রিক ব্যবহার করতে পারি , যদিও এই ক্ষেত্রে কোনও বন্ধ সূত্র নেই (কাগজ দেখুন)। যাইহোক, তারা যে নোট$D_i \ne 1$

$$\hat \theta_i = \left(1-\frac{D_i}{D_i+A}\right)X_i$$ $A$$\hat A$

... সমস্ত সমান হলে এই নিয়ম স্টেইনের হ্রাস পাবে না এবং পরিবর্তে আমরা [১৯ 197৩ এর কাগজে] প্রাপ্ত এই অনুমানের একটি ছোটখাটো রূপ ব্যবহার করি যা স্টেইনের হ্রাস পায় না। বৈকল্পিক নিয়ম প্রতিটি শহরের জন্য আলাদা মান অনুমান করে । এই ক্ষেত্রে নিয়মের মধ্যে পার্থক্যটি সামান্য, তবে ছোট হলে এটি গুরুত্বপূর্ণ হতে পারে ।$D_j$$\hat A_i$$k$

1973 পত্রের প্রাসঙ্গিক বিভাগটি ধারা 8, এবং এটি কিছুটা শক্ত পাঠযোগ্য। মজার বিষয় হল, উপরের মন্তব্যে @ গুইয়ের পরামর্শে তাদের স্পষ্ট মন্তব্য আছে:

এই পরিস্থিতির জন্য জেমস-স্টেইন নিয়মকে সাধারণীকরণের একটি খুব সহজ উপায় , যাতে , [আসল জেমস-স্টেইন নিয়ম] রুপান্তরিত ডেটাতে প্রয়োগ করুন এবং তারপরে মূল স্থানাঙ্কগুলিতে ফিরে রূপান্তর করুন। ফলাফলের নিয়মটি অনুমান করে দ্বারা এটি কারণ যেহেতু প্রতিটি একই ফ্যাক্টর দ্বারা উত্সের দিকে সঙ্কুচিত।$\tilde x_i = D_i^{-1/2} x_i, \tilde \theta_i = D_i^{-1/2} \theta_i$$\tilde x_i \sim \mathcal N(\tilde \theta_i, 1)$$\theta_i$ θ আমি=(1-ট-2

$$\hat \theta_i = \left(1-\frac{k-2}{\sum [X_j^2 / D_j]}\right)X_i.$$ এক্সi$X_i$

তারপরে তারা এগিয়ে যান এবং অনুমান করার জন্য তাদের পছন্দসই পদ্ধতিটি বর্ণনা করেন যা আমি অবশ্যই স্বীকার করতে হবে যে আমি পুরোপুরি পড়িনি (এটি কিছুটা জড়িত)। আমি আপনাকে পরামর্শ দিচ্ছি যদি আপনি বিশদে আগ্রহী হন তবে আপনাকে সেখানে তাকান।$\hat A_i$