অ-শূন্য অ্যাসিপটোটিক বৈকল্পিক সহ অ্যাসিপটোটিক ধারাবাহিকতা - এটি কী উপস্থাপন করে?

ইস্যুটি এর আগে উঠে এসেছিল, তবে আমি একটি নির্দিষ্ট প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে চাই যা একটি উত্তর সরিয়ে দেওয়ার চেষ্টা করবে যা এটি স্পষ্ট করে (এবং শ্রেণিবদ্ধ) করবে:

"দরিদ্র মানুষের অ্যাসিম্পটিকস" -র মধ্যে একজনের মধ্যে স্পষ্ট পার্থক্য রয়েছে

(ক) এলোমেলো ভেরিয়েবলের একটি ক্রম যা সম্ভাবনায় ধ্রুবকে রূপান্তর করে

হিসাবে বিপরীত

(খ) এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির একটি ক্রম যা সম্ভাবনাটিকে একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলে রূপান্তর করে (এবং তাই এটির মধ্যে বিতরণে)।

তবে "ওয়াইজ ম্যানস অ্যাসেম্পোটিকস" এ আমরা এর ক্ষেত্রেও থাকতে পারি

(গ) এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির একটি ক্রম যা সীমাতে শূন্য-বহির্ভুত রক্ষা করতে গিয়ে সম্ভাবনাটিকে স্থির করে তোলে।

আমার প্রশ্নটি (নীচে আমার নিজের অনুসন্ধানের উত্তর থেকে চুরি করা):

আমরা কীভাবে এমন একটি অনুমানকারীকে বুঝতে পারি যা অ্যাসিপোটোটিকভাবে সুসংগত তবে এরও শূন্য, সসীম বৈকল্পিক রয়েছে? এই বৈকল্পিকতা কী প্রতিফলিত করে? এর ব্যবহারটি কীভাবে একটি "স্বাভাবিক" ধারাবাহিক অনুমানকারী থেকে পৃথক হয়?

(সি) এ বর্ণিত ঘটনা সম্পর্কিত থ্রেডস (মন্তব্যেও দেখুন):

— আলেকোস পাপাদোপ্লোস
সূত্র

আপনি "দরিদ্র মানুষের অ্যাসিম্পটিকস" কে যেভাবে মূলধন করেছেন তা আমাকে মনে করে যে আমি অবশ্যই কোনও রেফারেন্সের জ্ঞান হারিয়ে যাব (বা সম্ভবত এটি দেখেছি তবে এটি ভুলে গেছি, যা একই জিনিসটির পরিমাণ হিসাবে); হয় একটি আসল বই বা কাগজ, বা সম্ভবত এমনকি একটি সাংস্কৃতিক রেফারেন্স। আমি "দরিদ্র মানুষের ডেটা অগমেন্টেশন" (ট্যানার এবং ওয়েই) সম্পর্কে জানি, তবে আমি মনে করি না যে এটি আপনি যা পাচ্ছেন তার সাথে এটি সংযুক্ত আছে। আমি কী মিস করছি?

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

@ গ্লেেন_বি আপনি কিছু মিস করবেন না - আমি এ শব্দটি তৈরি করেছি (আমার কাছে বুদ্ধিমানের অ্যাক্সেস) অ্যাসিপটোটিক থিওরির জ্ঞানের মাত্রার বিপরীতে আমি এই শব্দটি তৈরি করেছি যা মানুষের কাছে কার্ডিনাল পছন্দ করে against মূলধন ছিল কেবল একটি বিপণনের কৌশল।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

উত্তর:

২-10-১০-২০১৪: দুর্ভাগ্যক্রমে (এটি আমার কাছে) এখনও কেউ উত্তর দেয়নি - কারণ এটি একটি অদ্ভুত, "প্যাথলজিকাল" তাত্ত্বিক সমস্যা এবং এর চেয়ে বেশি কিছু বলে মনে হচ্ছে?

ব্যবহারকারী কার্ডিনাল (যা আমি পরে অন্বেষণ করব) জন্য একটি মন্তব্য উদ্ধৃত

"এটি একটি স্বীকারযোগ্য অযৌক্তিক, তবে সাধারণ উদাহরণ The ধারণাটি হ'ল ঠিক কী ভুল হতে পারে এবং কেন তা It এর ব্যবহারিক প্রয়োগসমূহ (আমার জোর) রয়েছে Example উদাহরণ: সীমাবদ্ধ দ্বিতীয় মুহুর্তের সাথে আদর্শ আইড মডেলটি বিবেচনা করুন Let যেখানে স্বাধীন এবং সম্ভাব্যতা সঙ্গে প্রতিটি এবং শূন্য অন্যথায়, সাথে আছেন নির্বিচারে। তারপর পক্ষপাতিত্বহীন হয়, নীচের বেষ্টিত ভ্যারিয়েন্স হয়েছে দ্বারা , এবং প্রায় নিশ্চয় (এটা দৃঢ়ভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণ থাকবে)। আমি বায়াস "সংক্রান্ত ক্ষেত্রে একটি ব্যায়াম যেমন ছেড়ে। $\hat θ_n=\bar X_n+Z_n$ $Z_n$ $\bar X_n$ $Z_n=\pm an$ $1/n^2$ $a>0$ $\hat θ_n$ $a^2$ $\hat θ_n→\mu$

এখানে র্যান্ডম ভেরিয়েবলটি , সুতরাং আসুন আমরা এটি সম্পর্কে কী বলতে পারি তা দেখুন। পরিবর্তনশীল সমর্থন আছে সংশ্লিষ্ট্য সম্ভাব্যতার সঙ্গে । এটি শূন্যের কাছাকাছি প্রতিসম, তাই আমাদের আছে have $Z_n$
$\{-an,0,an\}$ $\{1/n^2,1-2/n^2,1/n^2\}$

E (Z_{n}) = 0, Var (Z_{n}) = \frac{(- a n)^{2}}{n^{2}} + 0 + \frac{(a n)^{2}}{n^{2}} = 2 a^{2}

$E(Z_n) = 0,\;\; \text{Var}(Z_n) = \frac {(-an)^2}{n^2} + 0 + \frac {(an)^2}{n^2} = 2a^2$

এই মুহুর্তগুলি উপর নির্ভর করে না তাই আমার ধারণা আমরা তুচ্ছভাবে লিখতে পারি $n$

lim_{n \to \infty} E (Z_{n}) = 0, lim_{n \to \infty} Var (Z_{n}) = 2 a^{2}

$\lim_{n\rightarrow \infty} E(Z_n) = 0,\;\;\lim_{n\rightarrow \infty}\text{Var}(Z_n) = 2a^2$

দরিদ্র মানুষের অ্যাসিম্পটিকগুলিতে আমরা সীমিত বন্টনের মুহুর্তগুলির সমান করার জন্য মুহুর্তের সীমাবদ্ধতার একটি শর্ত জানি। যদি সীমাবদ্ধ কেস বিতরণের তম মুহূর্তটি একটি ধ্রুবককে রূপান্তর করে (আমাদের ক্ষেত্রে যেমন হয়), তবে আরও যদি, $r$

\exists δ > 0 : lim sup E (| Z_{n} |^{r + δ}) < \infty

$\exists \delta >0 :\lim \sup E(|Z_n|^{r+\delta}) < \infty$

সীমা -th মুহূর্ত হতে হবে সীমিত বিতরণের -th মুহূর্ত। আমাদের ক্ষেত্রে $r$ $r$

E (| Z_{n} |^{r + δ}) = \frac{| - a n |^{r + δ}}{n^{2}} + 0 + \frac{| a n |^{r + δ}}{n^{2}} = 2 a^{r + δ} \cdot n^{r + δ - 2}

$E(|Z_n|^{r+\delta}) = \frac {|-an|^{r+\delta}}{n^2} + 0 + \frac {|an|^{r+\delta}}{n^2} = 2a^{r+\delta}\cdot n^{r+\delta-2}$

জন্য কোনো জন্য এই অপসারী , তাই এই যথেষ্ট শর্ত ভ্যারিয়েন্স (এটা গড় জন্য হোল্ড করে) জন্য না রাখা। অন্যভাবে নিন: অসম্পূর্ণ বিতরণ কী ? এর সিডিএফ কি সিডিএফ রূপান্তর করে? $r\geq2$ $\delta >0$
$Z_n$ $Z_n$

এটা তোলে দেখাচ্ছে না মত এটা আছে: সীমিত সমর্থন থাকবে (যদি আমরা এই লিখতে করার অনুমতি দেওয়া), এবং আনুসঙ্গিক সম্ভাবনা । আমার কাছে মনে হচ্ছে ধ্রুবক। তবে যদি আমাদের প্রথম স্থানে সীমিত বিতরণ না হয়, তবে আমরা এর মুহুর্তগুলি সম্পর্কে কীভাবে কথা বলতে পারি? $\{-\infty, 0, \infty\}$ $\{0,1,0\}$

তারপরে, অনুমানকারী ফিরে যান , যেহেতু রূপান্তরিত হয়, এটি প্রদর্শিত হয় $\hat \theta_n$ $\bar X_n$

$\hat \theta_n$ একটি (অ-তুচ্ছ) সীমাবদ্ধ বিতরণ নেই, তবে এটির সীমাতে ভিন্নতা রয়েছে। বা, সম্ভবত এই বৈকল্পিক অসীম? কিন্তু একটি ধ্রুবক বিতরণ সঙ্গে একটি অসীম বৈকল্পিক?

আমরা কীভাবে এটি বুঝতে পারি? এটি অনুমানকারী সম্পর্কে আমাদের কী বলে? এবং মধ্যে সীমাতে প্রয়োজনীয় পার্থক্য কী ? $\hat \theta_n = \bar X_n + Z_n$ $\tilde \theta_n = \bar X_n$

— আলেকোস পাপাদোপ্লোস
সূত্র

মূ .় রেফারেন্স অনুরোধ: আপনার কি (ভাল) উত্স আছে: "যদি r-th মূহুর্তটি একটি ধ্রুবকে রূপান্তরিত হয় তবে r এর চেয়ে কম সূচকযুক্ত সমস্ত মুহুর্ত সীমাবদ্ধ বিতরণের মুহুর্তগুলিতে রূপান্তরিত হয়?" আমি জানি এটি সত্য, তবে আমি কখনও ভাল উত্স পাই নি

— গিলাইম দেহেন

দ্বিতীয়ত, আপনি যে উপপাদ্যটি ব্যবহার করার চেষ্টা করছেন তা এই ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা যাবে না: r = 2 এর জন্য (যা আপনি ব্যবহার করতে চান এমন ক্ষেত্রে: আপনি প্রমাণ করতে চান যে রূপটি রূপান্তরিত হয়), কোনও কঠোরভাবে ইতিবাচক , ডাইভার্জ!

δ

$\delta$

E (| Z_{n} |^{r + δ}

$E(|Z_n|^{r+\delta}$

— গিলিয়াম দেহেন

সম্ভবত কোনওভাবে @ কার্ডিনালকে পিং করা ভাল হবে (চ্যাটে?) যাতে তিনি এই আলোচনায় যোগ দেন।

— অ্যামিবা বলছে মনিকাকে

@ অ্যামিবা কার্ডিনাল একটি অনুমানকারী যা এখানে সত্যের উত্তরের সাথে রূপান্তরিত করে তবে আমি মনে করি তাকে অতীতের সাথে সাফল্য না করার চেষ্টা করছিলাম।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

@ গুইলাউমডিহেইনে একটি রেফারেন্স হ'ল এডাব্লু ভ্যান ডার ভার্ট (1998) "অ্যাসিম্পটোটিক স্ট্যাটিস্টিকস", সিএইচ। 2.5 "মুহুর্তের রূপান্তর"। এটি উপপাদ্য 2.20 এর 2.21 উদাহরণ হিসাবে দেওয়া হয়েছে। এবং আপনি ঠিক বলেছেন: আমি এই ধারণার মধ্যে ছিলাম যে সীমাবদ্ধ জন্য সীমাবদ্ধতা যথেষ্ট - তবে এটি লিমসআপই সীমাবদ্ধ হতে হবে। আমি আমার পোস্ট সংশোধন করছি।

n

$n$

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

আমি আপনার প্রশ্নের খুব সন্তোষজনক উত্তর দেব না কারণ আমার কাছে মনে হয় এটি কিছুটা খোলামেলা, তবে কেন এই প্রশ্নটি খুব শক্ত সে সম্পর্কে আমাকে কিছুটা আলোকপাত করার চেষ্টা করা যাক।

আমি মনে করি আপনি সম্ভাবনা বিতরণ এবং এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির ক্ষেত্রে প্রচলিত টোপোলজিসগুলি ব্যবহার করা খারাপ তা নিয়ে আপনি লড়াই করছেন। আমি আমার ব্লগে এটি সম্পর্কে একটি বড় টুকরো লিখেছি তবে সংক্ষিপ্ত করার চেষ্টা করি: সংযোগটির অর্থ কী সম্পর্কে সাধারণ ধারণা অনুমান করা লঙ্ঘন করার সময় আপনি দুর্বল (এবং সম্পূর্ণ-প্রকরণ) অর্থে রূপান্তর করতে পারেন।

উদাহরণস্বরূপ, ভেরিয়েন্স = 1 থাকার সময় আপনি দুর্বল টপোলজিকে ধ্রুবকের দিকে রূপান্তর করতে পারেন (এটি আপনার ক্রমটি ঠিক কী করছে)। তারপরে একটি সীমাবদ্ধতা বন্টন (দুর্বল টপোলজিতে) এটি এই মাসিক র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল যা বেশিরভাগ সময় 0 এর সমান হয় তবে অসীমের সাথে অসীম খুব কমই সমান হয়। $Z_n$

আমি ব্যক্তিগতভাবে এটিকে বোঝাতে চাইছি যে দুর্বল টপোলজি (এবং মোট-প্রকরণের টোপোলজিও খুব) কনভার্সনের একটি দরিদ্র ধারণা যা বাতিল করা উচিত। আমরা প্রকৃতপক্ষে যে সমস্ত রূপান্তরগুলি ব্যবহার করি তা এর চেয়ে শক্তিশালী। তবে, আমি জানি না দুর্বল টপোলজি সওয়ের পরিবর্তে আমাদের কী ব্যবহার করা উচিত ...

আপনি যদি সত্যিই এবং মধ্যে একটি অপরিহার্য পার্থক্য খুঁজে পেতে চান তবে আমার গ্রহণযোগ্যতা: উভয় অনুমানকারী [0,1] -লাসের জন্য সমান (যখন আপনার ভুলের আকারের কোনও বিষয় নেই)। তবে আপনার ভুলগুলির আকার বিবেচনা করলে de আরও ভাল because কারণ কখনও কখনও বিপর্যয়করভাবে ব্যর্থ হয়। $\hat \theta= \bar X+Z_n$ $\tilde \theta=\bar X$ $\tilde \theta$ $\hat \theta$

— গিলিয়াম দেহেয়েন
সূত্র

একটি অনুমানকারী সম্ভাবনার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ তবে এমএসইতে নয় যদি অনুমানকারী "বিস্ফোরণ" এর নির্বিচারে ছোট সম্ভাবনা থাকে। যদিও একটি আকর্ষণীয় গাণিতিক কৌতূহল, কোনও ব্যবহারিক উদ্দেশ্যে এটি আপনাকে বিরক্ত করবেন না। যে কোনও ব্যবহারিক উদ্দেশ্যে, অনুমানকারীদের সসীম সমর্থন রয়েছে এবং সুতরাং এটি বিস্ফোরিত হতে পারে না (আসল বিশ্বটি স্বল্প সংক্ষিপ্ত নয়, বড়ও নয়)।

আপনি যদি এখনও "রিয়েল ওয়ার্ল্ড" এর একটানা অনুমানের আহ্বান জানাতে চান এবং আপনার অনুমানটি এমএসইতে না হয়ে সম্ভাবনাতে রূপান্তরিত হয় তবে তা যেমনটি গ্রহণ করুন: আপনার অনুমানক নির্বিচারে বড় সম্ভাবনার সাথে সঠিক হতে পারে তবে সর্বদা এটি বিস্ফোরণ একটি নির্বিচারে ছোট সুযোগ থাকবে। ভাগ্যক্রমে, এটি হয়ে গেলে আপনি লক্ষ্য করবেন, যাতে অন্যথায় আপনি এটি বিশ্বাস করতে পারেন। :-)

— JohnRos
সূত্র

এটা আমার ধারণা যে গড় বর্গক্ষেত্রে রূপান্তরিত করে, যেহেতু

\hat{θ} = \bar{X} + Z_{n}

$\hat \theta = \bar X + Z_n$

lim E ({\hat{θ}}^{2}) = 2 a^{2}

$\lim E(\hat \theta^2) = 2a^2$

— থিতা

প্রশ্নটি বিশেষত এমন একটি অনুমানের ব্যাখ্যার সাথে সম্পর্কিত যা এমএসইতে নয় এবং সম্ভাব্যতায় রূপান্তরিত হয় (অদৃশ্য পরিবর্তনের কারণে)।

— জনরোস

আপনি ঠিক বলেছেন, আমি একটি বিয়োগ চিহ্ন দিয়ে একটি প্লাস চিহ্নটি বিভ্রান্ত করেছি।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস