প্রতিস্থাপন ছাড়াই অঙ্কন করার সময় স্বতন্ত্র রঙের প্রত্যাশিত সংখ্যা

সম্পর্কে একটি ভস্মাধার বিবেচনা $N$ বল $P$ বিভিন্ন ধরণের রঙ, সঙ্গে $p_i$ রং এর বল অনুপাত হচ্ছে $i$ মধ্যে $N$ বাজে কথা ( $\sum_i p_i = 1$ )। আমি প্রতিস্থাপন ছাড়াই কলস থেকে $n \leq N$ বলগুলি আঁকি আঁকা মধ্যে বিভিন্ন বর্ণের সংখ্যাটি দেখি । বিতরণ এর উপযুক্ত বৈশিষ্ট্যের উপর নির্ভর করে কার্য হিসাবে এর প্রত্যাশা কী ? $\gamma$ $\gamma$ $n/N$ $\mathbf{p}$

আরও জ্ঞানের দিতে যদি $N = P$ এবং $p_i = 1/P$ সকলের জন্য $i$ , তারপর আমি সবসময় ঠিক দেখতে হবে $n$ রং, যে, $\gamma = P (n/N)$ । অন্যথায়, এটি দেখানো যেতে পারে যে প্রত্যাশা $\gamma$ হয় $>P(n/N)$ । ফিক্সড $P$ এবং $N$ মনে হয় যে যখন $n/N$ দিয়ে গুণন করবে তখন যে ফ্যাক্টরটি হবে তার দ্বারা সর্বাধিক হবে $\mathbf{p}$ অভিন্ন; হতে পারে বিভিন্ন বর্ণের প্রত্যাশিত সংখ্যাকে ফাংশন হিসাবে সীমাবদ্ধ করা হবে $n/N$ , যেমন, এর এনট্রপি $\mathbf{p}$ ?

এটি কুপন সংগ্রাহকের সমস্যার সাথে সম্পর্কিত বলে মনে হচ্ছে, প্রতিস্থাপন ছাড়াই নমুনা দেওয়া হয় এবং কুপনগুলির বিতরণ অভিন্ন নয়।

probability expected-value coupon-collector-problem

— a3nm
সূত্র

আমি মনে করি যে এই সমস্যাটি এই হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে: একটি মাল্টিভারিয়েট হাইপারজমেট্রিক বিতরণ থেকে প্রাপ্ত নমুনায় ননজারো এন্ট্রিগুলির প্রত্যাশিত সংখ্যা কত ?

— কোডিওলজিস্ট

ধরুন আপনি রং যেখানে । যাক বাজে কথা রঙ সংখ্যা বোঝাতে তাই । যাক দিন নিয়ে গঠিত যা সেট notate উপাদান সাব-সেট নির্বাচন । যাক বোঝাতে উপায়ে আমরা নির্বাচন করতে পারবেন সংখ্যা $k$ $k \leq N$ $b_i$ $i$ $\sum b_i = N$ $B = \{b_1, \ldots, b_k\}$ $E_i(B)$ $i$ $B$ $Q_{n, c}$ $n$ উপরের সেট থেকে উপাদানগুলি যেমন নির্বাচিত সেটে বিভিন্ন বর্ণের সংখ্যা । জন্য সূত্র সহজ: $c$ $c = 1$

Q_{n, 1} = \sum_{E \in E_{1} (B)} (\binom{\sum_{e \in E} e}{n})

$Q_{n, 1} = \sum_{E \in E_{1}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n}$

জন্য আমরা আকার বল সেট নির্ভর করতে পারেন যা সর্বাধিক 2 রং বিয়োগ সেট যা ঠিক আছে নম্বর আছে রঙ: $c = 2$ $n$ $1$

Q_{n, 2} = \sum_{E \in E_{2} (B)} (\binom{\sum_{e \in E} e}{n}) - (\binom{k - 1}{1}) Q_{n, 1}

$Q_{n,2} = \sum_{E \in E_{2}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \binom{k - 1}{1}Q_{n, 1}$

আপনি একটি নির্দিষ্ট রঙের সাথে কোনও রঙ যুক্ত করতে পারেন এমন উপায় হ'ল যদি আপনার কাছেরংথাকে তবে আপনার 2 টি রঙ থাকবে। জেনেরিক সূত্রটি হ'ল যদি আপনারনির্দিষ্ট রঙ থাকে এবং আপনি()এর মোট রঙধারণ করার সময় এর থেকেরঙতৈরি করতে চান $\binom{k - 1}{1}$ $k$ $c_1$ $c_2$ $k$ $c_1 \leq c_2 \leq k$ । এখন আমাদের কাছেজেনেরিক সূত্রটি উত্পন্ন করার জন্য সমস্ত কিছু রয়েছে: $\binom{k - c_1}{c_2 - c_1}$ $Q_{n, c}$

Q_{n, c} = \sum_{E \in E_{c} (B)} (\binom{\sum_{e \in E} e}{n}) - \sum_{i = 1}^{c - 1} (\binom{k - i}{c - i}) Q_{n, i}

$Q_{n, c} = \sum_{E \in E_{c}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \sum_{i = 1}^{c - 1}\binom{k - i}{c - i}Q_{n, i}$

আপনি যদি বলগুলি আঁকেন তবে আপনার অবশ্যই বর্ণের সম্ভাবনা হ'ল: $c$ $n$

P_{n, c} = Q_{n, c} / (\binom{N}{n})

$P_{n, c} = Q_{n, c} / \binom{N}{n}$

এটিও লক্ষ করুন $\binom{x}{y} = 0$ if $y > x$ .

Probably there are special cases where the formula can be simplified. I didn't bother to find those simplifications this time.

The expected value you're looking for the number of colors dependent on $n$ is the following:

γ_{n} = \sum_{i = 1}^{k} P_{n, i} * i

$\gamma_{n} = \sum_{i = 1}^{k} P_{n, i} * i$

— jakab922
সূত্র

You call

P_{n, c}

$P_{n,c}$ a probability, but you seem to have defined it as a sum of integers. Did you forget to divide by something?

— Kodiologist

Yes, I guess you're right. You need to divide by

(\binom{N}{n})

$\binom{N}{n}$ , but unfortunately it's still not right that way. If

E, F \in E_{c} (B)

$E, F \in E_{c}(B)$ and

E \cap F \neq \emptyset

$E \cap F \neq \emptyset$ I do doublecounting in the above formula.

— jakab922

Seems like the formula can be fixed by using the sieve method. I will post a fix later today.

— jakab922