বৈকল্পিকের নমুনা বিতরণ কেন চি-স্কোয়ার বিতরণ?

Question

বিবৃতি

নমুনা বৈকল্পিকের নমুনা বিতরণ হ'ল চি - স্কোয়ার্ড ডিস্ট্রিবিউশন হ'ল ডিগ্রি অফ সমান যেখানে এন নমুনার আকার (আগ্রহের এলোমেলো পরিবর্তনশীল সাধারণত বিতরণ করা হয়) is$n-1$$n$

সূত্র

আমার অন্তর্দৃষ্টি

এটি কিন্ডা আমার কাছে স্বজ্ঞাত ধারণা দেয় 1) কারণ চি-স্কোয়ার পরীক্ষাটি বর্গ এবং 2 এর যোগফলের মতো দেখায়) কারণ চি-স্কোয়ার বিতরণটি বর্গক্ষেত্রের সাধারণ বন্টনের মাত্র একটি যোগফল। তবে তবুও, আমার এটি সম্পর্কে ভাল ধারণা নেই।

প্রশ্ন

বক্তব্যটি কি সত্য? কেন?

Comments

প্রাথমিক বিবৃতিটি সাধারণভাবে মিথ্যা (এটি দুটি পৃথক কারণে মিথ্যা)। আপনার উত্সটি কী (আপনার লিঙ্কটি অনুপস্থিত) এবং এটি আসলে কী বলে?

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

আমার প্রশ্নটি এমন একটি সূচক স্ট্যাটাস ক্লাসে একটি প্রশ্নের উত্তরের প্রতিক্রিয়াতে আসে যার জন্য অ্যাক্সেস সুরক্ষিত। প্রশ্নটি "মাছিগুলির মধ্যে ডানা দৈর্ঘ্যের বৈকল্পিকের নমুনা বিতরণ কী বিতরণ?" এবং উত্তরটি "চি-স্কোয়ার ডিস্ট্রিবিউশন"

— রেমি.বি ২

আপনার প্রথম মন্তব্যে উদ্ধৃত বিবৃতিটি এখনও সাধারণভাবে মিথ্যা। উৎস শেষে মন্তব্য (প্রয়োজনীয় অনুমানের সঙ্গে) সত্য: " যখন আকার নমুনা এন ভ্যারিয়েন্স সঙ্গে একটি স্বাভাবিক বন্টন থেকে নেয়া হয় , এর স্যাম্পলিং বন্টন ( এন - 1 ) গুলি 2 / σ 2 আছে স্বাধীনতার এন -1 ডিগ্রি সহ একটি চি-স্কোয়ার বিতরণ$\sigma^2$$(n-1)s^2/\sigma^2$ "" ... আপনার দ্বিতীয় মন্তব্যে প্রশ্নের উত্তরটিও মিথ্যা হবে - যদি না, আমি মনে করি, কেউ দেখায়নি যে উইংয়ের দৈর্ঘ্য সাধারণত বিতরণ করা হয়। (এটি সত্য বলে দাবি করার কী ভিত্তি থাকতে পারে?)

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

সুতরাং ধরে নেওয়া যাক উইংসগুলি সাধারণত বিতরণ করা হয়, তারপরে এর নমুনা বিতরণটি চি-স্কোয়ার বিতরণ করা হবে। এটা এমন কেন? $(n-1)s^2/\sigma^2$

— রেমি.বি

আপনি কি অবগত আছেন যে iid N (0,1) এর এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফল কে ডিএফ দিয়ে চি-স্কোয়ার হয় ? না আপনি যে অংশটির প্রমাণ চান? $k$$k$

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

Answer 1

[আমি তোমার প্রশ্ন তুমি সত্য যে যেন মেনে নিতে খুশি যে আলোচনা থেকে অনুমান করব স্বাধীন অভিন্নরুপে বিতরণ করা হয় এন ( 0 , 1 ) র্যান্ডম ভেরিয়েবল তারপর Σ k আমি = 1 জেড 2 আই ∼ χ 2 কে ।]$Z_i, i=1,2,\ldots,k$$N(0,1)$$\sum_{i=1}^{k}Z_i^2\sim \chi^2_k$

সাধারণত, আপনার যে ফলাফলটির প্রয়োজন হবে তা কোচরানের উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করে । (যদিও এটি অন্য উপায়ে দেখানো যেতে পারে)

আনুষ্ঠানিকভাবে কম, বিবেচনা করুন যে আমরা যদি জনসংখ্যার গড় জানতাম এবং এটির সম্পর্কে বৈচিত্রটি অনুমান করি (নমুনাটির অর্থের চেয়ে বরং): , তারপরেএস 2 0 /σ2=$s_0^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$ , (জেডআই=(এক্সআই-μ)/σ) যা হবে$s_0^2/\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}Z_i^2$$Z_i=(X_i-\mu)/\sigma$ বার aχ 2 n এলোমেলো পরিবর্তনশীল।$\frac{1}{n}$$\chi^2_n$

সত্য যে নমুনা গড় ব্যবহার করা হয়, জনসংখ্যা গড় পরিবর্তে ( ) তোলে বিচ্যুতি ছোট বর্গের সমষ্টি, কিন্তু এমনভাবে যে Σ এন আমি = 1 ( জেড ∗ আই ) $Z_i^*=(X_i-\bar{X})/\sigma$ (যা সম্পর্কে, কোচরান এর উপপাদ্য দেখুন)। সুতরাং, n s 2 0 / σ 2 ∼ χ 2 n এর পরিবর্তে এখন আমাদের কাছে ( এন - 1 ) এস 2 / σ 2 ∼ χ 2 এন - 1 রয়েছে ।$\sum_{i=1}^{n}(Z_i^*)^2\,\sim\chi^2_{n-1}$$ns_0^2/\sigma^2\sim \chi^2_n$$(n-1)s^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$

Comments

@ গ্লেেন_বি আপনি কি এই সত্য সম্পর্কে অন্যান্য প্রমাণের জন্য একটি রেফারেন্স দিতে পারেন? আমি সত্যিই এটি জানতে চাই।

— হেনরি.এল

প্রমাণের পরে আপনি কোনটি সত্যের?

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

@ গ্লেেন_বি কোচরান-ম্যাডো উপপাদ্য ছাড়াও দুটি মাত্র পদ্ধতি যা এই প্রমাণ করে যে নমুনাটির বৈকল্পিকতা এবং নমুনাটির অর্থ চি চি-বর্গ বিতরণের সাথে স্থিতিশীলভাবে স্বতন্ত্র: (১) শেফির ক্যানোনিকাল ভিত্তিতে (শেফি, ১৯৫৯) (২) কুল্যান্ট পদ্ধতি (বা মিলিগ্রাফ, যা এর সমতুল্য)। আপনি যদি আরও পদ্ধতি জানেন তবে আমি সত্যিই সেগুলি জানতে চাই।

— হেনরি.এল

আমি আরও একটি মন্তব্য যোগ করতে চাই যে উচ্চতর নমুনা গড়টি ব্যবহৃত হয়, তবে কখনও কখনও আমরা স্থির বৈকল্পিকতার চেয়ে একটি স্থির শক্তি চাই, এই পদ্ধতিটি স্টেইনের দ্বি-পর্যায়ে পদ্ধতি (1949) দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়।

— হেনরি.এল

আমি কি এই উত্তরটি সম্পর্কে পাবেন না, যে সব স্বাধীন নয় এক্স ' আমি গুলি , তাই কীভাবে আমরা কোচরান এর উপপাদ্য আবেদন করতে পারেন? এটি বলে যে তাদের সকলকে স্বাধীন হতে হবে। $\bar X$$X_i's$

— ব্যবহারকারী 576834