একটি নিম্ন-র‌্যাঙ্কের লিনিয়ার সিস্টেমের দ্রুত গণনা / অনুমান

সমীকরণের লিনিয়ার সিস্টেমগুলি গণনা সংক্রান্ত পরিসংখ্যানগুলিতে বিস্তৃত। আমি একটি বিশেষ সিস্টেমের মুখোমুখি হয়েছি (যেমন, ফ্যাক্টর বিশ্লেষণে) সিস্টেমটি

A x = b

$Ax=b$

যেখানে এখানে একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স যেখানে কঠোরভাবে ধনাত্মক তির্যক রয়েছে, একটি ( ) প্রতিসম পজিটিভ আধা-নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স, এবং একটি নির্বিচারে ম্যাট্রিক্স। আমাদেরকে একটি তির্যক লিনিয়ার সিস্টেম (সহজ) সমাধান করতে বলা হয়েছে যা নিম্ন-স্তরের ম্যাট্রিক্স দ্বারা বিভ্রান্ত হয়েছে। উপরে সমস্যা সমাধানের জন্য সরল পথ invert হয় ব্যবহার মধ্যে Woodbury এর সূত্র । তবে এটি সঠিক মনে হচ্ছে না, যেহেতু কোলেস্কি এবং কিউআর ফ্যাক্টরীকরণগুলি সাধারণত রৈখিক সিস্টেমগুলির সমাধান (এবং সাধারণ সমীকরণ) নাটকীয়ভাবে গতিতে পারে। আমি সম্প্রতি এসেছি

A = D + B Ω B^{T}

$A=D+ B \Omega B^T$

D

$D$

n \times n

$n\times n$

Ω

$\Omega$

m \times m

$m\times m$

m ≪ n

$m\ll n$

B

$B$

n \times m

$n\times m$

A

$A$ নীচের কাগজগুলিতে, যা মনে হয় কোলেস্কি পদ্ধতির গ্রহণ করেছে এবং উডবারির বিপরীতে সংখ্যাগত অস্থিতিশীলতার কথা উল্লেখ রয়েছে। যাইহোক, কাগজটি খসড়া আকারে মনে হচ্ছে এবং আমি সংখ্যাসূচক পরীক্ষা-নিরীক্ষা বা সহায়তামূলক গবেষণার সন্ধান করতে পারি নি। আমি বর্ণিত সমস্যা সমাধানের জন্য শিল্পের অবস্থা কী?

— ফাটল আছে এমন
সূত্র

@ হ্যাপি, আপনি কি ম্যাট্রিক্স (উডবারি সূত্রে মধ্যবর্তী শব্দ ) জন্য কিউআর (বা চোলস্কি) পচন ব্যবহার বিবেচনা করেছেন ? বাকি ক্রিয়াকলাপগুলি সাধারণ ম্যাট্রিক্সের গুণগুলি। অস্থিরতা প্রধান উৎস তারপর হিসাব হয় । যেহেতু আমি সন্দেহ মধ্যে Woodbury সঙ্গে মিলিত কিউ বা Cholesky এই অ্যাপ্লিকেশান সব ম্যাট্রিক্স উপর দ্রুত কিউ চেয়ে থাকবে । এটি অবশ্যই শিল্পের কোনও রাজ্য নয়, কেবল সাধারণ পর্যবেক্ষণ।

Ω^{- 1} + B D^{- 1} B^{T}

$\Omega^{-1}+BD^{-1}B^T$

Ω^{- 1}

$\Omega^{-1}$

m << n

$m<<n$

A

$A$

— এমপিক্টাস

আমি সন্দেহ করি যে ম্যাথিয়াস সিগারের পক্ষে শিল্পের রাজ্যের মধ্যে রয়েছে, তিনি খুব উজ্জ্বল এক প্রকার এবং এই ধরণের ইস্যুগুলি তিনি যে ধরণের মডেলগুলি অনুসন্ধান করেন সে সম্পর্কে বারবার উত্সাহিত হয়। আমি একই কারণে কোলেস্কি ভিত্তিক পদ্ধতি ব্যবহার করি। আমার সন্দেহ হয় গোলব এবং ভ্যান লোন দ্বারা "ম্যাট্রিক্স কম্পিউটেশন" তে আলোচনা আছে, যা এই ধরণের জিনিসটির জন্য আদর্শ রেফারেন্স (যদিও আমার কাছে আমার কপি হাতে নেই)।

ϵ

$\epsilon$

— ডিকরান মার্শুপিয়াল

নোট করুন যে আপনার সমস্যা সিস্টেমটি সমাধান করার সমতুল্য যেখানে । সুতরাং, এটি সমস্যাটি খানিকটা সরল করে। এখন, , আমরা জানি যে সর্বাধিক পজিটিভ ইগেনাল্যুয়াস সহ ধনাত্মক আঞ্চলিক। যেহেতু , বৃহত্তম ইগেনভ্যালুগুলি এবং এর সাথে সম্পর্কিত ইগেনভেেক্টরগুলি বিভিন্ন উপায়ে করা যায় finding এর পরে সমাধানটি হল যেখানে ইজেনডিকোপজেশন দেয়

\bar{B} = D^{- 1 / 2} B

$\bar{B} = D^{-1/2} B$

(I + \bar{B} Ω {\bar{B}}^{T}) x = \bar{b}

$(I + \bar{B}\Omega \bar{B}^T)x = \bar{b}$

\bar{b} = D^{- 1 / 2} b

$\bar{b} = D^{-1/2} b$

Σ = \bar{B} Ω {\bar{B}}^{T}

$\Sigma = \bar{B} \Omega \bar{B}^T$

Σ

$\Sigma$

m

$m$

m ≪ n

$m \ll n$

m

$m$

x = Q (I + Λ)^{- 1} Q^{T} \bar{b}

$x = Q(I + \Lambda)^{-1} Q^T \bar{b}$

Σ = Q Λ Q^{T}

$\Sigma = Q \Lambda Q^T$

Σ

$\Sigma$ ।

— কার্ডিনাল

ছোট সংশোধন: (১) সমতুল্য সিস্টেমটি হ'ল এবং (২) চূড়ান্ত সমাধানটি । (আমি উভয় ক্ষেত্রে সামনে একটি dropped ফেলে দিয়েছি )) লক্ষ্য করুন যে সমস্ত বিপরীতগুলি তির্যক ম্যাট্রিক্সের এবং তাই তুচ্ছ।

(I + \bar{B} Ω {\bar{B}}^{T}) D^{1 / 2} x = \bar{b}

$(I + \bar{B} \Omega \bar{B}^T) D^{1/2} x = \bar{b}$

x = D^{- 1 / 2} Q (I + Λ)^{- 1} Q^{T} D^{- 1 / 2} b

$x = D^{-1/2} Q (I + \Lambda)^{-1} Q^T D^{-1/2} b$

D^{1 / 2}

$D^{1/2}$

x

$x$

— কার্ডিনাল

@ এমপিক্টাস: আমি মনে করি আপনি যেহেতু আপনি যে ম্যাট্রিক্স পণ্যটি লিখেছেন সেই সংস্করণটিতে কোনও মাত্রিক অমিলের কারণে খুব ভাল সংজ্ঞা দেওয়া হয়নি। :)

Ω^{- 1} + B^{T} D^{- 1} B

$\Omega^{-1} + B^T D^{-1} B$

— কার্ডিনাল

গোলুব অ্যান্ড ভ্যান লনের "ম্যাট্রিক্স কম্পিউটেশনস" র‌্যাঙ্ক-পি আপডেটের পরে কিউআর এবং কোলেস্কি ফ্যাক্টরীকরণগুলি আপডেট করার বিষয়ে 12.5.1 অধ্যায়ে বিশদ আলোচনা করেছে।

— ফ্যাবিয়ান পেদ্রেগোসা
সূত্র

আমি জানি, এবং প্রাসঙ্গিক ল্যাপাক ক্রিয়াকলাপগুলি বইটিতে এবং আমার লিখিত পেপারে উভয়ই উল্লেখ করা হয়েছে। তবে আমি ভাবছি যে সমস্যাটির জন্য সর্বোত্তম অনুশীলন হ'ল জেনেরিক আপডেটিং সমস্যার জন্য নয়।

— গেপি