সর্বনিম্ন তাত্ক্ষণিক বিতরণের জন্য সর্বাধিক সম্ভাবনার অনুমানক

এই সমস্যাটি কীভাবে সমাধান করা যায় তা নিয়ে আমি আটকে আছি।

সুতরাং, জন্য আমাদের কাছে দুটি র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল, এবং । এখন, এবং প্যারামিটারগুলি এবং সাথে পৃথক পৃথক বিতরণ । তবে এবং পর্যবেক্ষণ না করে আমরা এবং পরিবর্তে পর্যবেক্ষণ করি । $X_i$ $Y_i$ $i=1,...,n$ $X$ $Y$ $\lambda$ $\mu$ $X$ $Y$ $Z$ $W$

$Z=\min(X_i,Y_i)$ এবং $W=1$ যদি $Z_i=X_i$ এবং 0 যদি $Z_i=Y_i$ । এবং এর ভিত্তিতে $\lambda$ এবং এর সর্বাধিক সম্ভাবনা অনুমানের জন্য আমাকে ক্লোজড ফর্মগুলি সন্ধান করতে হবে । আরও, আমাদের দেখানো দরকার যে এগুলি বিশ্বব্যাপী ম্যাক্সিমা। $\mu$ $Z$ $W$

এখন, আমি জানি যে সর্বনিম্ন দু'টি স্বতঃস্ফূর্ত এক্সটেনশিয়াল নিজেই তাত্পর্যপূর্ণ হয়, হারের যোগফলের সমান হারের সাথে, তাই আমরা জানি যে $Z$ প্যারামিটার $\lambda+\mu$ । সুতরাং আমাদের সর্বোচ্চ সম্ভাবনা মূল্নির্ধারক হল: $\hat{\lambda}+\hat{\mu}=\bar{Z}$ ।

তবে এখান থেকে কোথায় যাব আমি আটকে আছি। আমি জানি যে $W$ হ'ল প্যারামিটার সহ একটি বিতরণ $p=P(Z_i=X_i)$ , তবে আমি জানি না যে কীভাবে এটি প্যারামিটারগুলির একটি সম্পর্কে বিবৃতিতে রূপান্তর করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, এমএলই এবং / বা কী $\bar{W}$ অনুমান করবে ? আমি বুঝতে পারি যে যদি তবে , তবে এখানে কোনও বীজগণিত বিবৃতিটি কীভাবে উপস্থিত করা যায় তা নির্ধারণ করতে আমার খুব কষ্ট হচ্ছে। $\lambda$ $\mu$ $Z_i=X_i$ $\mu=0$

আপডেট 1: সুতরাং আমাকে $Z$ এবং এর যৌথ বিতরণের সম্ভাবনা অর্জন করার জন্য মন্তব্যে বলা হয়েছে $W$ ।

সুতরাং যেখানে । সঠিক? এবং স্বাধীন না এই ক্ষেত্রে আর কীভাবে যৌথ বন্টন করা যায় তা আমি জানি না । $f(Z,W)=f(Z|W=1)\cdot p+f(Z|W=0)\cdot (1-p)$ $p=P(Z_i=X_i)$ $Z$ $W$

সুতরাং এটি আমাদের, , উপরের সংজ্ঞা অনুসারে দেয় । তবে এখন কী? এটি আমার কোথাও পায় না। যদি আমি সম্ভাবনাটি গণনার পদক্ষেপগুলি অতিক্রম করি তবে আমি পেয়ে যাব: ( মিশ্রণের প্রতিটি অংশের জন্য নমুনা আকার হিসাবে এবং ব্যবহার করে ...) $f(Z_i,W_i)=p\lambda e^{-\lambda z_i}+(1-p)\mu e^{-\mu z_i}$ $W$ $m$ $n$

$L(\lambda,\mu)=p^m\lambda^m e^{-\lambda \sum{z_i}}+(1-p)^n\mu^n e^{-\mu \sum{z_i}}$

$\log L=m\log p+m\log\lambda-\lambda \sum{z_i}+n\log(1-p)+n\log\mu-\mu \sum{z_i}$

আমি যদি আংশিক ডেরিভেটিভস গ্রহণ করি তবে এটি আমাকে বলে যে আমার এমএলই অনুমান এবং এর জন্য এর এর শর্তসাপেক্ষের গড় । এটাই, $\lambda$ $\mu$ $Z$ $W$

$\hat{\lambda}=\frac{\sum{Z_i}}{m}$

$\hat{\mu}=\frac{\sum{Z_i}}{n}$

এবং

$\hat{p}=\frac{m}{n+m}$

— রায়ান সিমন্স
সূত্র

আজ সবেমাত্র অনুরূপ এমএলই প্রশ্নের উত্তর পেয়েছি, আমি কি আপনাকে কিছু ধারণার জন্য সেই সমাধানের দিকে পরিচালিত করতে পারি ? প্রশ্ন মধ্যে সম্পর্ক যে আপনার ডেটাও দুই টুকরো করা দলের মধ্যে স্বাভাবিকভাবেই ভেঙ্গে হল: ঐ যেখানে এবং যারা যেখানে । এটি ফর্ম পর্যবেক্ষণের সম্ভাবনাটি লিখতে নেমে আসে ; মধ্যে প্রতিসাম্য এবং , এবং , অবিলম্বে সম্ভাবনা ফর্মের ডেটার জন্য উত্পাদন করে এবং তারপর আপনি বন্ধ করছি এবং চলমান।

W = 0

$W=0$

W = 1

$W=1$

(Z, W) = (z, 0)

$(Z,W)=(z,0)$

X

$X$

Y

$Y$

μ

$\mu$

λ

$\lambda$

(z, 1)

$(z,1)$

— হোবার

সর্বাধিক সম্ভাবনা লিখতে ছুটে যাবেন না! প্রথমে এর যৌথ বন্টন প্রকাশ করুন , তারপরে এর নমুনার সাথে যুক্ত সম্ভাবনাটি , যা অনুমানের জন্য বন্ধ-ফর্ম বলে মনে হয়। তারপরে এবং কেবল তখনই আপনি ফাংশনটি সর্বাধিক করার চেষ্টা করতে পারেন এবং তাই সর্বাধিক সম্ভাবনা অর্জন করতে পারেন।

(Z, W)

$(Z,W)$

(Z_{i}, W) =_{i})

$(Z_i,W)=_i)$

— শি'য়ান

@whuber: (+1 টি) বরং এটা সহজবোধ্য প্রকৃতপক্ষে এবং মধ্যে বিচ্ছেদ জড়িত 's এবং কিন্তু উভয় গ্রুপ জড়িত উভয় এবং , যেহেতু তারা উপর তথ্য আনতে উভয় এবং , যেহেতু ।

(z_{i}, 1)

$(z_i,1)$

(z_{i}, 0)

$(z_i,0)$

μ

$\mu$

λ

$\lambda$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

W_{i} = I (X_{i} < Y_{i})

$W_i=\mathbb{I}(X_i<Y_i)$

— শি'য়ান

@ শি'আন এটি ঠিক - এবং আমি ধরে রাখার জন্য যে সাধারণ-তত্ত্বের উদাহরণের সাথে সমান্তরালতাগুলি সংযুক্ত করছি, কারণ সেখানে উভয় গ্রুপই সাধারণ পরামিতি (স্কেল) সম্পর্কে তথ্য সরবরাহ করে , যার অনুমানের ফলে "পুলিং" ডেটা জড়িত থাকবে গ্রুপ থেকে এখানে দেখা যাবে যে আমাদেরকে ( জন্য হার বা বিপরীত স্কেল ) এর অনুমান কীভাবে এবং পৃথক অনুমানে ভাগ করতে হবে তা বলে ।

σ

$\sigma$

\bar{W}

$\bar W$

λ + μ

$\lambda+\mu$

Z

$Z$

λ

$\lambda$

μ

$\mu$

— হোবার

আমি অন্য থ্রেডের মধ্য দিয়ে পড়েছি, হুবুহু, তবে কীভাবে এই উদাহরণটিতে প্রয়োগ করা যায় তা আমি সত্যই বুঝতে পারি না। জেড এবং ডাব্লু স্বতন্ত্র নয়, তাই আমি কীভাবে যৌথ বন্টন করব?

— রায়ান সিমন্স

আমার মন্তব্য করার মতো পর্যাপ্ত পয়েন্ট নেই, তাই আমি এখানে লিখব। আমি মনে করি আপনার পোস্ট করা সমস্যাটি বেঁচে থাকার বিশ্লেষণের দৃষ্টিকোণ থেকে দেখা যেতে পারে, যদি আপনি নিম্নলিখিতটি বিবেচনা করেন:

$X_i$ : সত্যিকারের বেঁচে থাকার সময়,

$Y_i$ : সেন্সর করার সময়,

এবং ইন্ডিপেন্ডেন্টের সাথে উভয়েরই সূচকযুক্ত বিতরণ রয়েছে । তারপরে হ'ল বেঁচে থাকার সময় এবং সেন্সরিং সূচক। $X$ $Y$ $Z_i$ $W_i$

যদি আপনি বেঁচে থাকার বিশ্লেষণের সাথে পরিচিত হন তবে আমি বিশ্বাস করি আপনি এই মুহুর্ত থেকে শুরু করতে পারেন।

নোটস: একটি ভাল উত্স: ডিআরকক্স এবং ডি.অকস দ্বারা বেঁচে থাকা ডেটা বিশ্লেষণ

নীচে একটি উদাহরণ হল: বেঁচে থাকার সময় বিতরণের পিডিএফ ধরে নেওয়া যাক করা হয় । তারপর বেঁচে থাকার ফাংশন: । এবং লগ-সম্ভাবনা হ'ল: $f(t)=\rho e^{-\rho t}$ $S(t)=e^{-\rho t}$

$\mathcal{l}= \sum_u \log f(z_i) + \sum_c \log S(z_i)$

কার্টুন মানুষ (ওভার সঙ্কলন সঙ্গে ) এবং সেন্সর মানুষ ( ) যথাক্রমে। $u$ $c$

সত্য যে কারণে যেখানে জ (টি) হল বিপত্তি ফাংশন, এই লেখা যেতে পারে: $f(t)=h(t)S(t)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log h(z_i) + \sum \log S(z_i)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log \rho - \rho \sum z_i$

এবং সর্বাধিক সম্ভাবনা অনুমানকারী এর হ'ল: $\hat{\rho}$ $\rho$

$\hat{\rho}=d/\sum z_i$ যেখানে হ'ল এর মোট সংখ্যা $d$ $W_i=1$

— jujae
সূত্র