আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান এবং বিশ্বাসযোগ্য ব্যবধান কখন মিলিত হয় তার উদাহরণ

বিশ্বাসযোগ্য ব্যবস্থার উইকিপিডিয়া নিবন্ধে , এটি বলে:

একক পর্যায়ে পরিসংখ্যান সংক্ষিপ্তসারযোগ্য একক প্যারামিটার এবং ডেটার ক্ষেত্রে, এটি দেখা যায় যে অজানা প্যারামিটারটি কোনও অবস্থানের প্যারামিটার হলে বিশ্বাসযোগ্য ব্যবধান এবং আত্মবিশ্বাসের বিরতি মিলে যায় (অর্থাত্ সামনের সম্ভাব্যতা ফাংশনটির ফর্ম রয়েছে) PR (x | μ) = f (x - μ)) এর সাথে পূর্বের একটি সমান সমতল বিতরণ; [5] এবং অজানা প্যারামিটারটি যদি স্কেল প্যারামিটার হয় (অর্থাত্ সামনের সম্ভাব্যতা ফাংশনটির রূপ রয়েছে প্রিম (x) | s) = f (x / s), একটি জেফ্রির পূর্ববর্তী [5] সহ - পরবর্তীগুলি নিম্নলিখিত কারণ এই জাতীয় স্কেল প্যারামিটারের লোগারিথ গ্রহণ করা এটি অভিন্ন বিতরণ সহ একটি অবস্থান প্যারামিটারে পরিণত হয়। তবে এগুলি স্পষ্টতই বিশেষ (তবুও গুরুত্বপূর্ণ) কেস; সাধারণভাবে এ জাতীয় কোনও সমতুল্যতা তৈরি করা যায় না। "

মানুষ কি এর নির্দিষ্ট উদাহরণ দিতে পারে? 95% সিআই আসলে "95% সুযোগ" এর সাথে কখন মিল হয়, এভাবে সিআই এর সাধারণ সংজ্ঞা "লঙ্ঘন" হয়?

confidence-interval credible-interval

— ওয়েন
সূত্র

স্বাভাবিক বন্টন:

পরিচিত বৈকল্পিকের সাথে একটি সাধারণ বিতরণ নিন। সাধারণতা হারানো ছাড়াই আমরা এই বৈকল্পিকতাটিকে 1 হিসাবে নিতে পারি (প্রতিটি পর্যবেক্ষণকে কেবল বৈকল্পিকের বর্গমূল দ্বারা ভাগ করে)। এটির নমুনা বিতরণ রয়েছে:

p (X_{1} . . . X_{N} | μ) = {(2 π)}^{- \frac{N}{2}} \exp (- \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{N} (X_{i} - μ)^{2}) = A \exp (- \frac{N}{2} (\bar{X} - μ)^{2})

$p(X_{1}...X_{N}|\mu)=\left(2\pi\right)^{-\frac{N}{2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}(X_{i}-\mu)^{2}\right)=A\exp\left(-\frac{N}{2}(\overline{X}-\mu)^{2}\right)$

যেখানে একটি ধ্রুবক যা কেবলমাত্র ডেটার উপর নির্ভর করে। এটি দেখায় যে নমুনা গড়টি জনসংখ্যার গড়ের জন্য যথেষ্ট পরিসংখ্যান। যদি আমরা আগে ইউনিফর্ম ব্যবহার করি, তবে জন্য উত্তর বিতরণ হবে: $A$ $\mu$

(μ | X_{1} . . . X_{N}) \sim N o r m a l (\bar{X}, \frac{1}{N}) ⟹ (\sqrt{N} (μ - \bar{X}) | X_{1} . . . X_{N}) \sim N o r m a l (0, 1)

$(\mu|X_{1}...X_{N})\sim Normal\left(\overline{X},\frac{1}{N}\right)\implies \left(\sqrt{N}(\mu-\overline{X})|X_{1}...X_{N}\right)\sim Normal(0,1)$

সুতরাং একটি বিশ্বাসযোগ্য ব্যবধানটি হবে: $1-\alpha$

(\bar{X} + \frac{1}{\sqrt{N}} L_{α}, \bar{X} + \frac{1}{\sqrt{N}} U_{α})

$\left(\overline{X}+\frac{1}{\sqrt{N}}L_{\alpha},\overline{X}+\frac{1}{\sqrt{N}}U_{\alpha}\right)$

যেখানে এবং such এমনভাবে বেছে নেওয়া হয় যাতে একটি আদর্শ সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবল সন্তুষ্ট করে: $L_{\alpha}$ $U_{\alpha}$ $Z$

P r (L_{α} < Z < U_{α}) = 1 - α

$Pr\left(L_{\alpha}<Z<U_{\alpha}\right)=1-\alpha$

আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গঠনের জন্য আমরা এখন এই "মূল পরিমাণ" থেকে শুরু করতে পারি। fixed স্থির এর নমুনা বিতরণ একটি সাধারণ স্বাভাবিক বিতরণ, সুতরাং আমরা এটিকে উপরের সম্ভাব্যতার মধ্যে স্থান দিতে পারি: $\sqrt{N}(\mu-\overline{X})$ $\mu$

P r (L_{α} < \sqrt{N} (μ - \bar{X}) < U_{α}) = 1 - α

$Pr\left(L_{\alpha}<\sqrt{N}(\mu-\overline{X})<U_{\alpha}\right)=1-\alpha$

তারপরে সমাধানের জন্য পুনঃব্যবস্থা করুন এবং আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানটি বিশ্বাসযোগ্য ব্যবধানের সমান হবে। $\mu$

স্কেল পরামিতি:

স্কেল পরামিতিগুলির জন্য, পিডিএফগুলির ফর্ম রয়েছে । আমরা , যা । যৌথ নমুনা বিতরণ: $p(X_{i}|s)=\frac{1}{s}f\left(\frac{X_{i}}{s}\right)$ $(X_{i}|s)\sim Uniform(0,s)$ $f(t)=1$

p (X_{1} . . . X_{N} | s) = s^{- N} 0 < X_{1} . . . X_{N} < s

$p(X_{1}...X_{N}|s)=s^{-N}\;\;\;\;\;\;\;0<X_{1}...X_{N}<s$

যা থেকে আমরা পর্যাপ্ত পরিসংখ্যানকে (পর্যবেক্ষণের সর্বাধিক) এর সমান বলে মনে করিআমরা এখন এটির নমুনা বিতরণ পাই: $X_{max}$

P r (X_{m a x} < y | s) = P r (X_{1} < y, X_{2} < y . . . X_{N} < y | s) = {(\frac{y}{s})}^{N}

$Pr(X_{max}<y|s)=Pr(X_{1}<y,X_{2}<y...X_{N}<y|s)=\left(\frac{y}{s}\right)^{N}$

এখন আমরা নিয়ে প্যারামিটারটিকে স্বাধীন করতে পারি । এর মানে হল আমাদের "কেঁদ্রগত পরিমাণ" দ্বারা দেওয়া হয় সঙ্গে যা বন্টন। সুতরাং, আমরা বিটা কোয়ান্টাইলগুলি ব্যবহার করে choose বেছে নিতে পারি: $y=qs$ $Q=s^{-1}X_{max}$ $Pr(Q<q)=q^{N}$ $beta(N,1)$ $L_{\alpha},U_{\alpha}$

P r (L_{α} < Q < U_{α}) = 1 - α = U_{α}^{N} - L_{α}^{N}

$Pr(L_{\alpha}<Q<U_{\alpha})=1-\alpha=U_{\alpha}^{N}-L_{\alpha}^{N}$

এবং আমরা মূল পরিমাণটি প্রতিস্থাপন করি:

P r (L_{α} < s^{- 1} X_{m a x} < U_{α}) = 1 - α = P r (X_{m a x} L_{α}^{- 1} > s > X_{m a x} U_{α}^{- 1})

$Pr(L_{\alpha}<s^{-1}X_{max}<U_{\alpha})=1-\alpha=Pr(X_{max}L_{\alpha}^{-1}>s>X_{max}U_{\alpha}^{-1})$

এবং আমাদের আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান রয়েছে। জেফরির সাথে বয়েসিয়ান সমাধানের জন্য আমাদের আগে:

p (s | X_{1} . . . X_{N}) = \frac{s^{- N - 1}}{\int_{X_{m a x}}^{\infty} r^{- N - 1} d r} = N (X_{m a x})^{N} s^{- N - 1}

$p(s|X_{1}...X_{N})=\frac{s^{-N-1}}{\int_{X_{max}}^{\infty}r^{-N-1}dr}=N (X_{max})^{N}s^{-N-1}$

⟹ P r (s > t | X_{1} . . . X_{N}) = N (X_{m a x})^{N} \int_{t}^{\infty} s^{- N - 1} d s = {(\frac{X_{m a x}}{t})}^{N}

$\implies Pr(s>t|X_{1}...X_{N})=N (X_{max})^{N}\int_{t}^{\infty}s^{-N-1}ds=\left(\frac{X_{max}}{t}\right)^{N}$

আমরা এখন আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানে প্লাগ ইন করি এবং এর বিশ্বাসযোগ্যতা গণনা করি

P r (X_{m a x} L_{α}^{- 1} > s > X_{m a x} U_{α}^{- 1} | X_{1} . . . X_{N}) = {(\frac{X_{m a x}}{X_{m a x} U_{α}^{- 1}})}^{N} - {(\frac{X_{m a x}}{X_{m a x} L_{α}^{- 1}})}^{N}

$Pr(X_{max}L_{\alpha}^{-1}>s>X_{max}U_{\alpha}^{-1}|X_{1}...X_{N})=\left(\frac{X_{max}}{X_{max}U_{\alpha}^{-1}}\right)^{N}-\left(\frac{X_{max}}{X_{max}L_{\alpha}^{-1}}\right)^{N}$

= U_{α}^{N} - L_{α}^{N} = P r (L_{α} < Q < U_{α})

$=U_{\alpha}^{N}-L_{\alpha}^{N}=Pr(L_{\alpha}<Q<U_{\alpha})$

এবং প্রেস্টো, আমাদের কাছে বিশ্বাসযোগ্যতা এবং কভারেজ রয়েছে। $1-\alpha$

— probabilityislogic
সূত্র

একটি মাস্টারপিস, ধন্যবাদ! আমি আশা করছিলাম যে এর মতো কোনও উত্তর হতে পারে, "যখন সাধারণ বিতরণ থেকে কোনও নমুনার গড় গণনা করা হয়, তখন 95% সিআই আসলে 95% বিশ্বাসযোগ্য অন্তর্বর্ত" বা এর মতো সহজ কিছু। (কেবলমাত্র এই অনুমিত উত্তরটি তৈরি করা, নির্দিষ্ট উদাহরণগুলি সম্পর্কে আমার কোনও ধারণা নেই))

— ওয়েইন

আমি বিশ্বাস করি যে ঘন ঘন 95% পূর্বাভাস / সহনশীলতা বিরতি ওএইলএস রিগ্রেশন এবং সাধারণ ত্রুটির সাথে একটি বায়সিয়ান পূর্বাভাস ব্যবধানের সাথে মিলে যায়। এটি এমনভাবে উপস্থিত হয় যখন আমি প্রেডিক্ট.এলএম এর উত্তরকে কোনওভাবেই সিমুলেটেড উত্তরের সাথে তুলনা করি। এটা কি সত্যি?

— ওয়েইন

জন্য , আপনার জন্য একটি অভিন্ন পূর্বে ব্যবহার করেন তাহলে এবং জন্য পূর্বে Jeffreys , তাহলে আপনি সমানতা আছে।

Y = α + β X

$Y=\alpha+\beta X$

α, β

$\alpha,\beta$

σ

$\sigma$

— সম্ভাব্যতা

দুর্দান্ত, ধন্যবাদ! আমি একটি আত্মবিশ্বাস ব্যবস্থার ক্ষেত্রে আমি যে রিগ্রেশন করেছি তার জন্য আমি সিআইকে ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করছি এবং এটি কেবল কোনও সাধারণ শ্রোতার সাথে সংযুক্ত হয় না, যা কোনও বিশ্বাসযোগ্য ব্যবস্থার প্রত্যাশা করে। জীবন আমার জন্য অনেক সহজ করে তুলেছে ... যদিও সামগ্রিক পরিসংখ্যানগত বিশ্বের পক্ষে এটি খারাপ হতে পারে, কারণ এটি সিআই-এর বিষয়ে সাধারণ মানুষের ভুল বোঝাবুঝিকে আরও শক্তিশালী করবে।

— ওয়েইন

@ ওয়াইনে - পরিস্থিতিটি কেবলমাত্র স্কেল পরিবারের চেয়ে কিছুটা সাধারণ। সাধারণত একটি সিআই বিশ্বাসযোগ্য ব্যবধানের সমতুল্য হয়, যদি এটি "পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান" (যেখানে এই দুটি ছিল) যেখানে এটি বিদ্যমান তার উপর ভিত্তি করে। যদি পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান না থাকে, তারপরে সিআইকে নির্ভরযোগ্য অন্তর ব্যাখ্যার জন্য "আনুষঙ্গিক পরিসংখ্যান" বলা হয় তার উপর শর্ত দেওয়া দরকার।

— সম্ভাব্যতা ব্লগ