সাধারণ বিতরণে কার্টোসিস কেন 0 এর পরিবর্তে 3 হয়

Question

একটি সাধারণ বিতরণের কুর্তোসিস ৩. এই বক্তব্যটির দ্বারা কী বোঝানো হয়? এটির অর্থ কি অনুভূমিক রেখায়, 3 এর মান পিক সম্ভাবনার সাথে মিলে যায়, অর্থাৎ 3 সিস্টেমের মোড?

আমি যখন একটি সাধারণ বক্ররেখার দিকে তাকাই, তখন মনে হয় এটি শিখরটি কেন্দ্রে অবস্থিত aka 0 এফ, তাই কুর্তোসিসটি 0 এবং পরিবর্তে 3 নয় কেন?

Comments

@ গ্লেন_বি যেমন লিখেছেন, "কুর্তোসিস" সহগকে চতুর্থ মানকৃত মুহুর্ত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: এটি এমন হয় যে সাধারণ বিতরণের জন্য,μ4=3σ4তাইβ2=3। বাড়তি সূঁচালতাসাধারণত দ্বারা প্রকাশγ2হয়γ2=β2(সাধারন)-3। যত্ন নিতে হবে কারণ কখনও কখনও লেখকরা "কুরটোসিস" লেখেন এবং তাদের অর্থ "অতিরিক্ত কুর্তোসিস"। $${\beta_2=}\frac{\operatorname{E}[(X-{\mu})^4]}{(\operatorname{E}[(X-{\mu})^2])^2} {=} \frac{\mu_4}{\sigma^4}$$ $\mu_4 = 3\sigma^4$$\beta_2= 3$$\gamma_2$$\gamma_2 = \beta_2(\text{Normal}) -3$

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

উত্তর: আমার আগের মন্তব্য অতিরিক্ত কুরটোসিস সহগের জন্য সঠিক অভিব্যক্তি হ'ল $$\gamma_2 = \beta_2 - \beta_2(\text{Normal}) = \beta_2 - 3$$

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লো

Answer 1

কুর্তোসিস অবশ্যই শিখরটির অবস্থান নয় । আপনি যেমনটি বলেন, এটি ইতিমধ্যে মোড বলা হয়।

কুর্তোসিস হ'ল প্রমিত চতুর্থ মুহূর্ত: যদি , আমরা যে পরিবর্তনশীলটিকে দেখছি তার একটি মানক সংস্করণ, তারপর জনসংখ্যা কুর্তোসিস হ'ল সেই মানকীয় চলকের গড় চতুর্থ শক্তি; ই(জেড4)। নমুনা কুর্তোসিসটি একইভাবে নমুনা মানের একটি মানযুক্ত সেটের গড় চতুর্থ শক্তির সাথে সম্পর্কিত (কিছু ক্ষেত্রে এটি একটি ফ্যাক্টর দ্বারা মাপা হয় যা বড় নমুনায় 1 এ যায়)।$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$E(Z^4)$

আপনারা যেমন লক্ষ্য করেছেন, সাধারণ এলোমেলো পরিবর্তনশীলের ক্ষেত্রে এই চতুর্থ মানযুক্ত মুহূর্তটি 3। আলেকোস মন্তব্যে নোট হিসাবে, কিছু লোক কুর্তোসিসকে হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছেন ; এটিকে কখনও কখনও অতিরিক্ত কুর্তোসিস বলেও আখ্যায়িত করা হয় (এটি চতুর্থ কোমল্যান্ট)। 'কুর্তোসিস' শব্দটি দেখার সময় আপনাকে এই সম্ভাবনাটি মাথায় রাখতে হবে যে পৃথক লোক দুটি পৃথক (তবে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত) পরিমাণ বোঝার জন্য একই শব্দ ব্যবহার করে।$E(Z^4)-3$

কুর্তোসিসকে সাধারণত হয় শিখরতা হিসাবে বর্ণনা করা হয় * (বলুন, শিখরটি কতটা তীব্রভাবে বাঁকা হয়েছে - যা সম্ভবত "কুর্তোসিস" শব্দটি বেছে নেওয়ার অভিপ্রায় ছিল) বা ভারী-লেজুভাব (প্রায়শই লোকেরা যা পরিমাপ করতে এটি ব্যবহার করতে আগ্রহী), কিন্তু এতে প্রকৃত সত্য সাধারণ চতুর্থ মানযুক্ত মুহুর্ত those জিনিসের কোনওটিই যথেষ্ট পরিমাপ করে না।

প্রকৃতপক্ষে, কেন্ডল এবং স্টুয়ার্টের প্রথম খণ্ডটি এমন প্রতিদ্বন্দ্বী উদাহরণ দেয় যা দেখায় যে উচ্চতর কার্টোসিস অগত্যা উচ্চতর শিখর (একটি মানক পরিবর্তনশীল) বা চর্বিযুক্ত লেজের সাথে জড়িত নয় (বরং একইভাবে তৃতীয় মুহূর্তটি বেশিরভাগ লোককে কি পরিমাপ করে না মনে হয় এটি করে)।

তবে অনেক পরিস্থিতিতে উভয়ের সাথেই কিছুটা যুক্ত হওয়ার প্রবণতা রয়েছে, এর মধ্যে বৃহত্তর শৃঙ্খলা এবং ভারী লেজুভাব প্রায়শই দেখা যায় যখন কুর্তোসিস বেশি হয় - আমাদের কেবল এটি অবশ্যই প্রয়োজন মনে করে সচেতন হওয়া উচিত।

কুর্তোসিস এবং স্কিউনেস দৃ strongly়ভাবে সম্পর্কিত (কুর্তোসিস অবশ্যই স্কিউনেসের বর্গক্ষেত্রের তুলনায় কমপক্ষে 1 টি বেশি হতে হবে; কন্টোসিসের ব্যাখ্যা কিছুটা সহজ যখন বিতরণ প্রায় প্রতিসম হয়)।

ডার্লিংটন (1970) এবং মুর (1986) দেখিয়েছেন যে সূঁচালতা চতুর্থ মুহূর্ত পরিমাপ সম্বন্ধে "কাঁধ" এফেক্ট পরিবর্তনশীলতা হয় - এবং Balanda এবং MacGillivray (1988) যে অর্থে এর সাথে সম্পর্কিত অস্পষ্ট পদ এটা চিন্তা (সুপারিশ এবং এটি পরিমাপ করার অন্যান্য কয়েকটি উপায় বিবেচনা করুন)। বন্টন ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কে ঘনীভূত হয়, তাহলে μ ± σ , তারপর সূঁচালতা যখন যদি বন্টন থেকে দূরে বিছানো হয়েছে, (অগত্যা) হল ছোট μ ± σ (যা একই সাথে এটা কেন্দ্র এবং পদক্ষেপ সম্ভবত পাইল আপ মুদ্রার উলটা পিঠ মধ্যে সাহায্য করে এটি কাঁধ থেকে সরে যাওয়ার জন্য), চতুর্থ মুহুর্তের কুরটোসিস বড় হবে।$\mu\pm\sigma$$\mu\pm\sigma$$\mu\pm\sigma$

ডি কার্লো (1997) কুর্তোসিস সম্পর্কে পড়ার জন্য একটি যুক্তিসঙ্গত সূচনা স্থান (উইকিপিডিয়ার মতো আরও প্রাথমিক উত্সের পরে)।

সম্পাদনা: আমি উচ্চতর শিখরতা (0 টির কাছাকাছি মানগুলি) কুর্তোসিসকে আদৌ প্রভাবিত করতে পারে কিনা তা নিয়ে আমি মাঝে মাঝে কিছু প্রশ্ন দেখছি। উত্তর হ্যাঁ, অবশ্যই এটি করতে পারেন। এই ক্ষেত্রে এটি একটি প্রমিত মানের পরিবর্তনের চতুর্থ মুহূর্ত হওয়ার একটি পরিণতি - একটি মানক পরিবর্তনের চতুর্থ মুহূর্তটি বাড়ানোর জন্য আপনাকে E ( জেড 2 ) ধ্রুবক ধরে রাখার সময় অবশ্যই বৃদ্ধি করতে হবে । এর অর্থ হ'ল পুচ্ছের আরও সম্ভাবনার চলাফেরার সাথে অবশ্যই আরও কিছু ভিতরে ( ভিতরে ( - 1 , 1 $E(Z^4)$$E(Z^2)$ $(-1,1)$); এবং তদ্বিপরীত - যদি আপনি 1 এ ভেরিয়েন্সটি ধরে রাখার সময় কেন্দ্রে আরও বেশি ওজন রাখেন তবে আপনি লেজটিতে কিছুটা রেখে দিন।

[এনবি মন্তব্য হিসাবে আলোচিত হিসাবে এটি সাধারণ বিবৃতি হিসাবে ভুল; এখানে কিছুটা আলাদা বিবৃতি প্রয়োজন]]

ধ্রুবক অনুষ্ঠিত হচ্ছে বৈকল্পিকতার এই প্রভাবটি ডার্লিংটন এবং মুরসের কাগজপত্রগুলিতে "কাঁধ সম্পর্কে প্রকরণ" হিসাবে কুর্তোসিসের আলোচনার সাথে সরাসরি যুক্ত। ফলাফলটি কিছু হস্তবাহী ধারণা নয়, তবে একটি সাধারণ গাণিতিক সমতুল্যতা - কুর্তোসিসকে ভুলভাবে উপস্থাপন না করে কেউ এটিকে অন্যথায় বলে ধরে রাখতে পারে না।

$(-1,1)$$(-1,1)$ লেজকে হালকা করার সময় কুর্তোসিস বাড়ানো (উদাহরণস্বরূপ মাঝখানে উভয় দিকের 2sd এর বাইরে হালকা লেজ থাকা, বলুন)।

[রেফারেন্সগুলিতে কেন্ডল এবং স্টুয়ার্টের আমার অন্তর্ভুক্তি কারণ তাদের কুর্তোসিস নিয়ে আলোচনাও এই বিষয়টির সাথে প্রাসঙ্গিক।]

তাহলে আমরা কী বলতে পারি? ক্রুটোসিস প্রায়ই একটি উচ্চ শিখর সঙ্গে এবং একটি গুরুতর লেজ সঙ্গে যুক্ত করা হয় ছাড়া থাকার পারেন নির্জীব ঘটতে। অবশ্যই এটি পুচ্ছের সাথে খেলে কুর্তোসিস তুলতে সহজ (যেহেতু 1 sd এর বেশি দূরে পাওয়া সম্ভব) তারপরে ভেরিয়েন্সটি স্থির রাখতে কেন্দ্রকে সামঞ্জস্য করা, তবে এর অর্থ এই নয় যে শিখরের কোনও প্রভাব নেই; এটি অবশ্যই নিশ্চিত করে এবং এর পরিবর্তে কেউ কুর্তোসিসকে ফোকাস করতে পারে। কুরটোসিসটি মূলত তবে কেবল লেজ ভারাক্রমে জড়িত নয় - আবার কাঁধের ফলাফল সম্পর্কে বিভিন্নতার দিকে তাকান; যদি কিছু এমন হয় যা কুর্তোসিস অপরিহার্য গাণিতিক দিক থেকে তাকিয়ে থাকে।

তথ্যসূত্র

বলান্ডা, কেপি এবং ম্যাকগিলিভ্রে, এইচএল (1988),
"কুরটোসিস: একটি সমালোচনা পর্যালোচনা।"
আমেরিকান পরিসংখ্যানবিদ 42 , 111-119।

ডার্লিংটন, রিচার্ড বি (
১৯ 1970০ ), "কুর্তোসিস কি আসলেই" পিকনেস? "।
আমেরিকান পরিসংখ্যানবিদ 24 , 19-22।

মুরস, জেজেএ (1986),
"কুর্তোসিসের অর্থ: ডার্লিংটন পুনরায় পরীক্ষা করেছে" "
আমেরিকান পরিসংখ্যানবিদ 40 , 283-284।

ডিকার্লো, এলটি (1997),
"কুর্তোসিসের অর্থ এবং ব্যবহার সম্পর্কে On"
Psychol। পদ্ধতি, 2 , 292-307।

কেন্ডল, এমজি এবং এ। স্টুয়ার্ট,
পরিসংখ্যানের অ্যাডভান্সড থিওরি ,
খণ্ড। 1, 3 য় এড।
(আরও সাম্প্রতিক সংস্করণগুলির স্টুয়ার্ট এবং অর্ড রয়েছে)

Comments

$0$$3$ । (মহান উত্তরের জন্য সুস্পষ্ট +1 টি।)

— usεr11852 পুনর্বহাল Monic বলেছেন

কুর্তোসিস সম্পর্কিত ওয়েস্টফলের নিবন্ধ, শিরোনাম হিসাবে কুর্তোসিস, 1905-2014 আরআইপি বিবেচনা করার মতো। এটি ডেকার্লো (অন্যদের মধ্যে উপরেও তালিকাবদ্ধ) সমালোচনা করেছে যে

— কুর্তোসিস সম্পর্কে জ্ঞানকে শিখরতা

@ লিল আমার মনে হয় ওয়েস্টফোল তার মামলার চেয়ে বেশি আলোচনা করেছেন। সম্পূর্ণরূপে ভারী লেজগুলিতে ফোকাস করে (প্রায়) তিনি কঠোরভাবে ভুল। সূঁচালতা ভারী মুদ্রার উলটা পিঠ সঙ্গে মোটামুটি দৃঢ়ভাবে যুক্ত করা হয়, তখন সূঁচালতা demonstrably হয় না ভারী tailedness (counterexamples যেখানে গুরুতর মুদ্রার উলটা পিঠ নিম্ন সূঁচালতা সঙ্গে যেতে সহজেই খুঁজে পাওয়া যায় হয়, উপরের হিসাবে রেফারেন্স কিছু আচ্ছাদিত করা হয়; তারাও করা সহজ করছি)। কুরটোসিস পীকতার সাথে কম দৃ strongly়ভাবে জড়িত তবে এখনও সেখানে একটি সমিতি রয়েছে; এটি দৃ pe়তা নয় বলে জোর দিয়ে তিনি তাঁর সমালোচনাতে খুব বেশি দূরে যান (অনুরূপ সমালোচনা তার নিজের সিদ্ধান্তে প্রযোজ্য)। ... সিটিডি

— গ্লেন_বি -রেইনস্টেট মনিকা

গ্লেেন_বি, আপনি এবং আমি দুজনেই গণিত পছন্দ করি। যদি আপনি "আমার মামলায় অত্যুক্তি" করার জন্য আমাকে সমালোচনা করতে চলেছেন, দয়া করে আমাকে আপনার গাণিতিক যুক্তি দিন যা পিয়ারসনের কুর্তোসিসকে "শিখর" এর সাথে সংযুক্ত করে।

— পিটার ওয়েস্টফল

জেলেন_বি, আপনার মন্তব্য "এর অর্থ হ'ল পুচ্ছের মধ্যে আরও সম্ভাবনার চলাচল অবশ্যই মি ++ - সিগমা এবং তদ্বিপরীত মধ্যে থাকা উচিত - যদি আপনি 1 এ ভেরিয়েন্সটি ধরে রাখার সময় কেন্দ্রে আরও বেশি ওজন রাখেন তবে আপনি কিছুটা রেখেছেন লেজ মধ্যে আউট "মিথ্যা। এটা অবশ্যই না। আপনি সম্ভাব্যতা (আসলে পুরো বিতরণ) মু ++ সিগমাতে স্থির রাখতে পারেন এবং বিতরণের নির্দিষ্ট প্যারাম্যাট্রিক পরিবারগুলির মধ্যে কুর্তোসিসকে অনন্ততায় বাড়িয়ে তুলতে পারেন। এখানে দেখুন: math.stackexchange.com/questions/167656/…

— পিটার ওয়েস্টফল

Answer 2

"3" সংখ্যাটি সাধারণ বিতরণের কুর্তোসিসের ক্ষেত্রে কী বোঝায় তা বোঝার জন্য এখানে প্রত্যক্ষ দৃশ্যায়ন রয়েছে।

দিন $X$ সাধারণত বিতরণ করা, এবং যাক $Z = (X-\mu)/\sigma$। দিন$V = Z^4$। এর পিডিএফ এর গ্রাফটি বিবেচনা করুন$V$, $p_V(v)$। এই বক্ররেখা শূন্যের ডানদিকে এবং অনন্তে প্রসারিত হয়, ০.৯৯৯ কোয়ান্টাইল ১১7.২ সহ, তবে ভরটির বেশিরভাগ অংশ শূন্যের কাছাকাছি; উদাহরণস্বরূপ, 1.0 এর চেয়ে 68% কম।

এই বিতরণের গড়টি হ'ল কুর্তোসিস। গড় বোঝার একটি সাধারণ উপায় হ'ল পিডিএফ গ্রাফের "পয়েন্ট অফ ব্যালেন্স"। যদি$X$ স্বাভাবিক, এই বক্ররেখা $p_V(v)$ 3.0 এ ব্যালেন্স

এই উপস্থাপনাটি আরও ব্যাখ্যা করে যে কুর্তোসিস কোনও বিতরণের লেজগুলির ভারাক্রিয়াকে কেন পরিমাপ করে। যদি$X$ স্বাভাবিক, বক্ররেখা $p_V(v)$ "ডানদিকে পড়ে" যখন কুর্তোসিসটি 3.0 এর চেয়ে বেশি হয়, এবং এই ক্ষেত্রে এর ঘনত্ব $X$"সাধারণ বিতরণের চেয়ে ভারী-লেজু" বলা যেতে পারে। একইভাবে, বক্ররেখা$p_V(v)$ "বামে পড়ে" যখন কুর্তোসিসটি 3.0 এর কম হয়, এবং এই ক্ষেত্রে এর ঘনত্ব $X$ "সাধারণ বিতরণের চেয়ে হালকা-লেজযুক্ত" বলা যেতে পারে।

এটি সাধারণত ধারণা করা হয় যে উচ্চতর কার্টোসিসটি কেন্দ্রের কাছাকাছি বেশি ভরকে বোঝায় (অর্থাত্ পিডিএফ-তে 0 এর আরও বেশি ভর) $p_V(v)$)। যদিও অনেক ক্ষেত্রে এটি সত্য, এটি স্পষ্টতই শূন্যের কাছাকাছি (সম্ভবত বর্ধিত) ভর নয় যা উচ্চ কুর্তোসিস ক্ষেত্রে গ্রাফটি "ডানদিকে" পড়ে যায়। এটি পরিবর্তে লেজ উত্তোলন হয়।

এই দৃষ্টিকোণ থেকে, কুর্তোসিসের মূলত সঠিক "লেজের ওজন" ব্যাখ্যাটি "লেজের ওজন বাড়িয়ে" বিভ্রান্তিকর "বর্ধিত লেজের ওজন" এড়াতে "লেজ লিভারেজ" হিসাবে চিহ্নিত হতে পারে। সর্বোপরি, এটি সম্ভব যে উচ্চতর কুর্তোসিস লেজের কম ভরগুলির সাথে মিল রাখে তবে যেখানে এই হ্রাসযুক্ত ভর আরও বেশি দূরবর্তী অবস্থান দখল করে।

"আমাকে দাঁড়ানোর জায়গা দিন এবং আমি পৃথিবী সরিয়ে নেব।" -Archimedes