27

একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া এমন একটি প্রক্রিয়া যা সময়ের সাথে সাথে বিকশিত হয়, সুতরাং এটি কি "সময়ের সিরিজ" বলার সত্যই কল্পিত উপায়?

time-series stochastic-processes definition

— বিজেতা
সূত্র

10

একটি টাইম সিরিজ একটি স্বতন্ত্র-সময় পর্যবেক্ষণ সমর্থন সহ একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া। একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া অবিচ্ছিন্ন সময়ে লক্ষ্য করা যায়। (এটি এমনও হতে পারে যে ধারাবাহিকটি পর্যবেক্ষণ এবং স্টকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির সাথে এলোমেলো বস্তুটির সাথে পিছনে যুক্ত থাকে))

— শি'ান

"সিরিজ" "প্রক্রিয়া" এর সম্ভাব্য ধারাবাহিক প্রকৃতির বিপরীতে স্বতন্ত্র বা সীমাবদ্ধ প্রকৃতি বোঝায়।

— আকসকল

7

একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া সময়ের সাথে সাথে বিবর্তনের প্রয়োজন হয় না ; এটি স্থির হতে পারে। আমার মতে, স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া এবং সময় সিরিজের মধ্যে পার্থক্য একটি দৃষ্টিকোণ। স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের সংকলন হয় যখন একটি সময় সিরিজ সংখ্যার সংগ্রহ, বা স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটির উপলব্ধি বা নমুনা পথ । প্রক্রিয়াটি সম্পর্কে অতিরিক্ত অনুমানের সাথে, আমরা প্রক্রিয়াটি সহ সমস্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সাধারণ ঘনত্ব (বা ভর ফাংশন) এর প্রাক্কলন হিসাবে টাইম সিরিজের সংখ্যার মানগুলির হিস্টগ্রাম ব্যবহার করতে পারি

— दिलीপ সরওয়াতে

2

@ দিলিপ সরওয়াতে, সময় সিরিজ স্থির থাকতে পারে বা নাও হতে পারে।

— আকসকল

2

@ আকসাকাল আমি আলাদা হতে অনুরোধ করছি। ধরুন পরিসংখ্যানবিদ সীমাবদ্ধ দৈর্ঘ্যের সময় সিরিজ পর্যবেক্ষণ করেছেন এটি কি কোনও স্থির সিরিজ? আপনি কীভাবে বলতে পারেন যে এটি (বা হয় না)? যদি না আমাদের কাছে বেশ কয়েকটি সময় সিরিজ (একই সময়ে তাত্ক্ষণিকর জন্য) উপলব্ধ থাকে যা থেকে আমরা স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া সম্পর্কে ধারণা তৈরি করতে সক্ষম হতে পারি ("জিআই, দ্বারা নেওয়া মানগুলির হিস্টোগ্রামগুলি এর পছন্দ নির্বিশেষে বেশ কিছুটা একই )" । কিন্তু সংখ্যার একক ক্রম? সিরিজটি স্থির কিনা তা আপনি বলতে পারবেন না তবে আপনি অন্তর্নিহিত স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া মডেলটিকে পুনরায় ধরে নিতে পারেন

1, 0, - 1, 0, 1, 0, - 1

$1,0,-1,0,1,0,-1$

X_{n}

$X_n$

n

$n$

— দিলীপ সরোতে

32

যেহেতু অনেক ঝামেলা বিভেদ মন্তব্য এবং উত্তরে প্রদর্শিত হচ্ছে, আসুন কিছু কর্তৃপক্ষকে উল্লেখ করুন।

জেমস হ্যামিল্টন এমনকি একটি টাইম সিরিজও সংজ্ঞায়িত করেন না, তবে তিনি কী তা সম্পর্কে স্পষ্ট:

... সংখ্যার এই সেটটি অন্তর্নিহিত স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার একমাত্র সম্ভাব্য ফলাফল যা ডেটা উত্পন্ন করে। প্রকৃতপক্ষে, আমরা যদি কল্পনাও করতে পারি যে এই প্রক্রিয়াটি অসীম সময়ের জন্য পর্যবেক্ষণ করেছে, ক্রমটি অসীম অনুক্রম would এখনও সময় সিরিজ প্রক্রিয়া থেকে একক উপলব্ধি হিসাবে দেখা হবে। ... $T$
${y_{t}}_{t = \infty}^{\infty} = {\dots, y_{- 1}, y_{0}, y_{1}, y_{2}, \dots, y_{T}, y_{T + 1}, y_{T + 2}, \dots,},$ $\{y_t\}_{t=\infty}^\infty = \{\ldots, y_{-1}, y_0, y_1, y_2, \ldots, y_T, y_{T+1}, y_{T+2}, \ldots, \},$ $\{y_t\}_{t=\infty}^\infty$
... এর ব্যাটারি কল্পনা করুন কম্পিউটারগুলি ক্রম তৈরি করছে এবং তারিখ সঙ্গে যুক্ত পর্যবেক্ষণ নির্বাচন করার বিষয়ে বিবেচনা প্রতিটি ক্রম: এটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল এর উপলব্ধির নমুনা হিসাবে বর্ণনা করা হবে । ... $I$ $\{y_t^{(1)}\}_{t=-\infty}^{\infty},$ $\{y_t^{(2)}\}_{t=-\infty}^{\infty}, \ldots,$ $\{y_t^{(I)}\}_{t=-\infty}^{\infty}$ $t$
${y_{t}^{(1)}, y_{t}^{(2)}, \dots, y_{t}^{(I)}} .$ $\{y_t^{(1)}, y_t^{(2)}, \ldots, y_t^{(I)}\}.$ $I$ $Y_t$

( সময় সিরিজ বিশ্লেষণ , অধ্যায় 3)

সুতরাং, একটি "টাইম সিরিজ প্রক্রিয়া" হল পূর্ণাঙ্গ দ্বারা সূচিত র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির একটি সেট। ।।। $\{Y_t\}$ $t$

ইন স্টচাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, Bernt Øksendal একটি সাধারণ সম্ভাব্যতার সূত্রাবলি প্রক্রিয়া একটি প্রমিত গাণিতিক সংজ্ঞাটি প্রদান করে:

সংজ্ঞা 2.1.4। একটি সম্ভাব্যতার সূত্রাবলি প্রক্রিয়া একটি parametrized র্যান্ডম ভেরিয়েবল সংগ্রহ একটি সম্ভাব্যতা স্থান সংজ্ঞায়িত এবং মান অভিমানী ।
${X_{t}}_{t \in T}$ $\{X_t\}_{t\in T}$ $(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P})$ $\mathbb{R}^n$
প্যারামিটার স্পেস সাধারণত (এই বইয়ের মতো) অর্ধলাইন ইনফটি) হয় তবে এটি একটি অন্তরাল , অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার এবং এমনকি of এর উপ- পর্ব হতে পারে জন্য । $T$ $[0,\infty)$ $[a,b]$ $\mathbb{R}^n$ $n\ge 1$

দু'জনকে একসাথে রেখে আমরা দেখতে পাই যে একটি টাইম সিরিজ প্রক্রিয়া হ'ল একটি পূর্ণাঙ্গ প্রক্রিয়া যা পূর্ণসংখ্যার দ্বারা সূচিত হয়।

কিছু লোক সময় সিরিজ প্রক্রিয়াটির উপলব্ধি ( উইকিপিডিয়া নিবন্ধের মতো ) বোঝাতে "সময় সিরিজ" ব্যবহার করে । আমরা হ্যামিল্টনের ভাষায় তার "সময় সিরিজ প্রক্রিয়া" ব্যবহারের মাধ্যমে উপলব্ধি থেকে প্রক্রিয়াটিকে পৃথক করার একটি যুক্তিসঙ্গত প্রচেষ্টা দেখতে পাই, যাতে সে উপলব্ধির (বা এমনকি ডেটা) উল্লেখ করতে "সময় সিরিজ" ব্যবহার করতে পারে।

— whuber
সূত্র

2

(+1) আমি মনে করি শেষ অনুচ্ছেদটি বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ (সূক্ষ্ম হলেও)। যদিও আমি যুক্ত করতে চাইনি যে "ধারাবাহিক সময়ের সিরিজ" কখনও কখনও দেখা যায়। মাঝেমধ্যে বাক্যাংশটি সহজেই বোঝাতে ব্যবহৃত হয় যে ভেরিয়েবলটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে বরং অবিচ্ছিন্ন থাকে, তবে আমি এটিও দেখেছি যে সময়টি অবিচ্ছিন্নভাবে নমুনা দেওয়া হচ্ছে , সুতরাং "পূর্ণসংখ্যা অনুসারে সূচিযুক্ত" সর্বজনস্বীকৃত সংজ্ঞা হতে পারে না। টাইম সিরিজের ভিতরে উদাহরণস্বরূপ এখানে দেখুন : ব্রোকওয়েল এবং ডেভিস কর্তৃক থিয়োরি এবং পদ্ধতিগুলি।

— সিলভারফিশ

1

@ সিলভারফিশ আমি এই মন্তব্যগুলির প্রশংসা করি। শেষ পর্যন্ত, যদিও আমি এগুলিকে সাধারণ কারণ হিসাবে গণ্য করতে "সিরিজ" সর্বজনীনভাবে একটি গণনাযোগ্য ডোমেন সহ একটি ফাংশন উল্লেখ করার জন্য ব্যবহার করা হয় তা থেকে আপত্তিহীন find "নমুনাযুক্ত ধারাবাহিকভাবে" সেই ধারণার মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করা যায় না। আমি আপনার পর্যবেক্ষণগুলিকে চ্যালেঞ্জ দিচ্ছি না যে কিছু লেখক অবিচ্ছিন্ন সময়ের স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলিকে "সিরিজ" হিসাবে উল্লেখ করেছেন - আমি কেবল বলছি যদি এটি হয় তবে তারা একটি সুপ্রতিষ্ঠিত পরিভাষাটিকে গালি দিচ্ছে।

— হুবুহু

3

আমি মনে করি এটিতে "বিবরণ বনাম প্রেসক্রিপশন" বিতর্কের একটি ডিগ্রি রয়েছে। একটি "অবিচ্ছিন্ন সময় সিরিজ" ধারণাটি অবশ্যই সংখ্যালঘু ব্যবহার (আমি ভাবছি যদি এটি ক্ষেত্র-নির্ভর হয় তবে আমার সীমিত বোঝা হ'ল সিগন্যাল প্রসেসিংয়ের লোকেরা সাধারণত "সিরিজ" না দিয়ে "ধারাবাহিক সময়ের সংকেত" বোঝায়) এবং ব্যক্তিগতভাবে আমি যৌক্তিকভাবে "সিরিজ" শব্দটি পৃথক নমুনার সাথে আরও সামঞ্জস্যপূর্ণ বলে একমত হতে আগ্রহী। আমি কেবলমাত্র সংখ্যালঘু ব্যবহার শুনতে পেলাম না, এমনকি বিশেষজ্ঞদের মধ্যেও শোনা যায় নি, যা কিছুটা বিভ্রান্তির কারণ হতে পারে।

— সিলভারফিশ

@ সিলভারফিশ, এভাবে এই সংখ্যালঘু যারা নিয়মিত সময় ধারাবাহিকতাও বিবেচনা করে, তাদের জন্য স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া সময় সিরিজের সমান?

— কোড পোপ

3

স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া হ'ল র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির একটি সেট বা সংগ্রহ (অগত্যা স্বতন্ত্র নয়), যেখানে সূচী টি নির্দিষ্ট মান নেয়, এই সেটটি অর্ডার করা হয় এবং সময়ের মুহুর্তের সাথে মিলে যায়। উদাহরণ এলোমেলো হাঁটা। সময় সিরিজ স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া উপলব্ধি। $\left\{X_t\right\}$

— Mwandri
সূত্র

1

স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া সংজ্ঞায়িত করা হচ্ছে

আসুন একটি সম্ভাবনার জায়গা হোক। আর একটি পরিমাপযোগ্য স্থান হতে দিন (যেমন আসল সংখ্যার স্থান )। কিছুটা অসম্পূর্ণভাবে কথা বলা: $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ $S$ $\mathbb{R}$

একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল থেকে পর্যন্ত একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন । $\Omega$ $S$
একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া টাইম দ্বারা সূচিযুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির একটি পরিবার ।
- যে কোনও সময়ের জন্য , এলোমেলো পরিবর্তনশীল $t \in \mathcal{T}$ $X_t$
- , যে কোনও ফলাফলের জন্য হ'ল স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটির উপলব্ধি, সময়ের সাথে সাথে দ্বারা নেওয়া একটি সম্ভাব্য পথ । $\omega \in \Omega$ $X(\omega)$ $X$

একটি সময়ের সিরিজ সংজ্ঞায়িত করা হচ্ছে

স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটিতে একটি স্ফটিক স্বচ্ছ, গাণিতিক সংজ্ঞা রয়েছে। একটি টাইম সিরিজ হ'ল কম সুনির্দিষ্ট ধারণা এবং লোক দুটি সম্পর্কিত তবে ভিন্ন ভিন্ন বস্তুর উল্লেখ করতে সময় সিরিজ ব্যবহার করে:

হুবুবার বর্ণনা করার সাথে সাথে, একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটি ইন্টিজার বা কিছু নিয়মিত, বর্ধনশীল একক দ্বারা সূচকযুক্ত যা কোনও অর্থে পূর্ণসংখ্যার সাথে ম্যাপ করে (যেমন: মাসিক ডেটা)।
নিয়মিত বিরতিতে পর্যবেক্ষণ করা ডেটা সংগ্রহ এটি পূর্ণসংখ্যার সূচকযুক্ত স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটির উপলব্ধি হতে পারে। কখনও কখনও এটি সময় সিরিজের ডেটা হিসাবে উল্লেখ করা হয়।

উদাহরণ: একটি ট্রাক দুটি ফ্লিপ

যাক । যাক উল্টানো 1 এবং 2 এর যথাক্রমে হও। $\Omega = \{ \omega_{HH}, \omega_{HT}, \omega_{TH}, \omega_{TT}\}$ $X_1, X_2$

X_{1} (ω) = {\begin{array}{rr} 1 : & ω \in {ω_{H H}, ω_{H T}} \\ 0 : & ω \in {ω_{T H}, ω_{T T}} \end{array}

$X_1(\omega) = \left\{ \begin{array}{rr} 1: & \omega \in \{ \omega_{HH}, \omega_{HT}\} \\ 0: & \omega \in \{\omega_{TH}, \omega_{TT} \}\end{array} \right.$

X_{2} (ω) = {\begin{array}{rr} 1 : & ω \in {ω_{H H}, ω_{T H}} \\ 0 : & ω \in {ω_{H T}, ω_{T T}} \end{array}

$X_2(\omega) = \left\{ \begin{array}{rr} 1: & \omega \in \{ \omega_{HH}, \omega_{TH}\} \\ 0: & \omega \in \{\omega_{HT}, \omega_{TT} \}\end{array} \right.$

সুতরাং পরিষ্কারভাবে একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া। ইন্ডেক্সগুলি পূর্ণসংখ্যা অনুসারে লোকেরা এটিকে সময় সিরিজও বলতে পারে। লোকেরা এর উপলব্ধিটিকেও ডাকে । , একটি সময় সিরিজ বা সময় সিরিজের ডেটা। $\{X_1, X_2\}$ $X$ $X(\omega_{HH}) = (H, H)$

— ম্যাথু গন
সূত্র

0

স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া এবং একটি টাইম সিরিজের মধ্যে পার্থক্য কিছুটা কী-বোর্ডের বিড়াল এবং স্ট্যাক এক্সচেঞ্জের একটি উত্তরের মধ্যে পার্থক্যের মতো: কী-বোর্ডে বিড়ালগুলি উত্তর সরবরাহ করতে পারে, তবে কিবোর্ডে বিড়ালগুলি উত্তর নয় । তদুপরি, প্রতিটি উত্তর কীবোর্ডে বিড়াল দ্বারা উত্পাদিত হয় না।

একটি সময় সিরিজ সময়-মান – ডেটা-পয়েন্ট জোড়ের সংগ্রহ হিসাবে বোঝা যায়। অন্যদিকে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটি গাণিতিক মডেল বা সময় সিরিজের বিতরণের গাণিতিক বিবরণ ¹ কিছু সময় সিরিজ স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া (উভয় ধরণের) এর উপলব্ধি। অথবা, অন্য দৃষ্টিকোণ থেকে: একটি সময় সিরিজ উত্পন্ন করতে আমি মডেল হিসাবে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটি ব্যবহার করতে পারি।

তদতিরিক্ত, সময় সিরিজ অন্যান্য উপায়েও উত্পন্ন করা যেতে পারে:

এগুলি পর্যবেক্ষণের ফলাফল হতে পারে এবং এভাবে বাস্তবতার দ্বারা উত্পন্ন হয়। যদিও আমি বাস্তবকে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া হিসাবে মডেল করতে পারি (আমি এটিও বলতে পারি যে আমি বাস্তবকে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া হিসাবেই বিবেচনা করি), বাস্তবে কোনওভাবে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া নয় যেভাবে কোনও বাক্সের অভ্যন্তর বিন্দুগুলির সেট নয় (যদিও আমরা প্রায়শই দেখি মডেলিং প্রসঙ্গে দুটি সমতুল্য বিবেচনা করুন)।
এগুলি নির্ধারণকারী প্রক্রিয়াগুলি দ্বারা উত্পন্ন করা যেতে পারে। এখন, কঠোরভাবে বলতে গেলে, আমরা স্টোকাস্টিক প্রসেস এবং ডিটারমিনিস্টিক প্রক্রিয়াগুলি এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি যে পূর্ববর্তীটি বিশেষত বিশেষ ক্ষেত্রে, তবে আমরা স্ট্রোকাস্টিক প্রসেসের বিশেষ বিষয় হিসাবে এটি ব্যবহার এবং নির্বাহী প্রক্রিয়াগুলির কথা খুব কমই বলি make কিছু বিভ্রান্তির কারণ হতে পারে - আপনি এটিকে অ-রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমের সাথে তুলনা করতে পারেন । $x=2$

^{It যদি এটি একটি স্বতন্ত্র সময় স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া হয়। অবিচ্ছিন্ন সময় স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া হ'ল সময় সিরিজের পরিবর্তে ফাংশন বিতরণ।}

— Wrzlprmft
সূত্র

1

আপনি কোনও মডেল এবং একটি ডেটাসেটের মধ্যে পার্থক্য তৈরি করছেন কিনা বা আপনি অন্য কোনও বিষয় তৈরি করার চেষ্টা করছেন কিনা তা পরিষ্কার নয়। আপনি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটি কী গ্রহণ করেন তাও অস্পষ্ট। (আপনি যা বলেছিলেন তা হ'ল এটি "এমনকি" একটি "স্বতন্ত্র-সময় স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াও নয়)") আপনার প্রকাশের এই অনিশ্চয়তাগুলি সমাধানের পরিবর্তে বিভ্রান্তি বাড়িয়ে তুলতে পারে।

— শুক্র

@ ভুবার: আমি কিছু দিক পরিষ্কার করতে আমার উত্তর সম্পাদনা করেছি, তবে আমি মনে করি আপনি কিছু "এমনকি না" বাক্যটিও ভুল বুঝেছেন।

— Wrzlprmft

0

টাইম সিরিজ বনাম স্টোচাস্টিক প্রক্রিয়া সম্পর্কিত সমস্ত অবদান আলোচনা / মন্তব্যগুলির প্রশংসা করি। পার্থক্য সম্পর্কে আমার বোঝার জন্য: সময় সিরিজটি পর্যবেক্ষণের সময়টির সাথে সূচিযুক্ত সংখ্যার একটি সিরিজ হিসাবে রেকর্ড করা একটি ঘটনা; এটি সম্ভবত নিউ ইয়র্ক স্টক এক্সচেঞ্জের শেয়ারের দামের মতো বাস্তব জীবনের ঘটনাগুলির পর্যবেক্ষণগুলির একটি সিরিজ। অন্যদিকে, স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটি সর্বদা সময়-সিরিজের গাণিতিক উপস্থাপনা (উত্পাদন নয়) হিসাবে বরাবরই বোঝা যায়।

— পার্শী পুরোহিত
সূত্র

স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া সময় সিরিজের চেয়ে বেশি সাধারণ। উদাহরণস্বরূপ মার্কভ চেইনগুলি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া যা সময় সিরিজ নয়।

— মাইকেল আর। চেরনিক

1

@ মিশেল চেরনিক: মার্কোভ চেইন সংজ্ঞাগুলির সাথে সামঞ্জস্য নয়: "ইন্টিজার টি দ্বারা সূচিত এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির একটি সেট" এবং "পূর্ণসংখ্যার দ্বারা সূচিত একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া"? এই সংজ্ঞাগুলির কোন অংশটি মার্কভ চেইনগুলি সন্তুষ্ট করে না বা আপনি এই সংজ্ঞাগুলির সাথে একমত নন?

— কালার স্ট্যাটিসটিক্স

একটি সময় সিরিজ স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া হিসাবে একই?

স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া সংজ্ঞায়িত করা হচ্ছে

একটি সময়ের সিরিজ সংজ্ঞায়িত করা হচ্ছে

উদাহরণ: একটি ট্রাক দুটি ফ্লিপ