মিশ্র বিতরণের জন্য বিপরীত সিডিএফ নমুনা

প্রসঙ্গের সংক্ষিপ্ত সংস্করণ

যাক সিডিএফ সঙ্গে একটি দৈব চলক হতে $y$

F (\cdot) \equiv {\begin{cases} θ & y = 0 \\ θ + (1 - θ) \times {CDF}_{log-normal} (\cdot; μ, σ) & y > 0 \end{cases}

$F(\cdot) \equiv \cases{\theta & y = 0 \\ \theta + (1-\theta) \times \text{CDF}_{\text{log-normal}}(\cdot; \mu, \sigma) & y > 0}$

ধরা যাক আমি বিপরীত সিডিএফ পদ্ধতিটি ব্যবহার করে এর অঙ্কনগুলি অনুকরণ করতে চেয়েছিলাম । এটা কি সম্ভব? এই ফাংশনে হুবহু একটি বিপরীত নেই। তারপরে আবার দুটি সাধারণ বিতরণের মিশ্রণ বিতরণের জন্য বিপরীত রূপান্তর নমুনা রয়েছে যা প্রস্তাব দেয় যে এখানে বিপরীত রূপান্তর নমুনা প্রয়োগ করার একটি জ্ঞাত উপায় আছে। $y$

আমি দ্বি-পদক্ষেপের পদ্ধতি সম্পর্কে সচেতন, তবে কীভাবে এটি আমার পরিস্থিতির সাথে প্রয়োগ করতে হয় তা আমি জানি না (নীচে দেখুন)।

ব্যাকগ্রাউন্ড সহ দীর্ঘ সংস্করণ

আমি -মূল্যবান প্রতিক্রিয়ার জন্য নীচের মডেলটি ফিট করেছি, , এমসিএমসি ব্যবহার করে (বিশেষত স্ট্যান): $y^i = \left( y_1 , \dots , y_K \right)^i$

θ_{k}^{i} \equiv {logit}^{- 1} (α_{k} x^{i}), μ_{k}^{i} \equiv β_{k} x^{i} - \frac{σ_{k}^{2}}{2} F (\cdot) \equiv {\begin{cases} θ & y = 0 \\ θ + (1 - θ) \times {CDF}_{log-normal} (\cdot; μ, σ) & y > 0 \end{cases} u_{k} \equiv F (y_{k}), z_{k} \equiv Φ^{- 1} (u_{k}) z \sim N (0, R) \times \prod_{k} f (y_{k}) (α, β, σ, R) \sim priors

$\theta_k^i \equiv \operatorname{logit}^{-1}\left( \alpha_k x^i \right), \quad \mu_k^i \equiv \beta_k x^i - \frac{ \sigma^2_k }{ 2 } \\ F(\cdot) \equiv \cases{\theta & y = 0 \\ \theta + (1-\theta) \times \text{CDF}_{\text{log-normal}}(\cdot; \mu, \sigma) & y > 0} \\ u_k \equiv F(y_k), \quad z_k \equiv\Phi^{-1}{\left( u_k \right)} \\ z \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, R) \times \prod_k f(y_k) \\ \left( \alpha, \beta, \sigma, R \right) \sim \text{priors}$

যেখানে পর্যবেক্ষণগুলি সূচীকরণ , একটি পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স এবং হ'ল পূর্বাভাসকারী / রেজিস্ট্রার / বৈশিষ্ট্যগুলির ভেক্টর। $i$ $N$ $R$ $x$

এটি হ'ল, আমার মডেলটি একটি রিগ্রেশন মডেল যেখানে প্রতিক্রিয়ার শর্তযুক্ত বিতরণ শূন্য-স্ফীত লগ-সাধারণ প্রান্তিকের সাথে গাউসিয়ান কপুলা হিসাবে ধরে নেওয়া হয়। আমি আগে এই মডেল সম্পর্কে পোস্ট করেছি; দেখা যাচ্ছে যে সং, লি এবং ইউয়ান (২০০৯, গেটেড ) এটি তৈরি করেছে এবং তারা এটিকে ভেক্টর জিএলএম বা ভিজিএলএম বলে M নিম্নলিখিতটি ভারব্যাটিমের নিকটবর্তী হ'ল তার স্পেসিফিকেশনটি আমি এটি পেতে পারি: আমার

f (y; μ, φ, Γ) = c {G_{1} (y_{1}), \dots, G_{m} (y_{m}) | Γ} \prod_{i = 1}^{m} g (y_{i}; μ_{i}, φ_{i}) c (u | Γ) = {| Γ |}^{- 1 / 2} \exp (\frac{1}{2} q^{T} (I_{m} - Γ^{- 1}) q) q = {(q_{1}, \dots, q_{m})}^{T}, q_{i} = Φ^{- 1} (u_{i})

$f(\mathbf{y}; \mathbf{\mu}, \mathbf{\varphi}, \Gamma) = c\{ G_1(y_1), \dots, G_m(y_m) | \Gamma \} \prod_{i=1}^m g(y_i; \mu_i, \varphi_i) \\ c(\mathbf{u} | \Gamma) = \left| \Gamma \right|^{-1/2}\exp\left( \frac{1}{2} \mathbf{q}^T \left( I_m - \Gamma^{-1} \right) \mathbf{q} \right) \\ \mathbf{q} = \left( q_1, \dots, q_m \right)^T, \quad q_i = \Phi^{-1}(u_i)$

F_{K}

$F_K$ তাদের সাথে , আমার তাদের to এর সাথে মিলে যায় , এবং আমার তাদের সাথে ; বিবরণগুলি 62 পৃষ্ঠায় (পিডিএফ ফাইলের পৃষ্ঠা 3) তবে তারা অন্যথায় আমি এখানে যা লিখেছি তার সাথে অভিন্ন ical

G_{m}

$G_m$

z

$z$

q

$\mathbf{q}$

R

$R$

Γ

$\Gamma$

শূন্য-স্ফীত অংশটি প্রায় লিউ এবং চ্যানের স্পেসিফিকেশন অনুসরণ করে (২০১০, অবরুদ্ধ )।

এখন আমি আনুমানিক পরামিতিগুলি থেকে ডেটা সিমুলেট করতে চাই, তবে কীভাবে এটি যায় সে সম্পর্কে আমি কিছুটা বিভ্রান্ত। প্রথমে আমি ভেবেছিলাম যে আমি সরাসরি অনুকরণ করতে পারি (আর কোডে): $y$

for (i in 1:N) {
    for (k in 1:K) {
        Y_hat <- rbinom(1, 1, 1 - theta[i, k])
        if (Y_hat == 1)
            Y_hat <- rlnorm(1, mu[i, k], sigma[k])
    }
}

যা মোটেও ব্যবহার করে না । আমি আমার অনুমানের পারস্পরিক সম্পর্ক মেট্রিক্সটি ব্যবহার করার চেষ্টা করতে চাই। $R$

আমার পরবর্তী ধারণাটি ছিল অঙ্কন করা এবং তারপরে এগুলিকে রূপান্তর করা । এই উত্তর প্রতিয়মান হয় যোজক পদ থেকে জেনারেট নমুনা দ এবং Bivariate বিতরণের জন্য স্যাম্পলিং Sklar এর যোজক উপপাদ্য প্রকাশ? । তবে হ্যাকটি আমার এখানে কী? দুটি সাধারণ বিতরণের মিশ্রণ বিতরণের জন্য বিপরীত রূপান্তরের নমুনা এটিকে শোনায় এটি সম্ভব তবে এটি কীভাবে করবেন তা আমার কোনও ধারণা নেই। $z$ $y$ $F^{-1}$

— shadowtalker
সূত্র

@ শি'য়ান এটি উপাদানগুলির মধ্যে নির্ভরতা অনুমান করার জন্য এটি গাউসিয়ান কপুলা ।

y

$y$

— শ্যাডট্যালকার

নরমালসের মিশ্রণগুলি থেকে নমুনা নেওয়ার বিষয়ে আপনি যে থ্রেডটি উল্লেখ করেছেন সেটি কোনও প্রকার প্রয়োজনীয় পরিবর্তন ছাড়াই সরাসরি আপনার সমস্যার জন্য প্রযোজ্য: নরমালসের বিপরীত সিডিএফ ব্যবহার না করে, আপনার দুটি উপাদানগুলির বিপরীত সিডিএফ ব্যবহার করুন। এ পরমাণুর বিপরীত সিডিএফ হল ধ্রুবক কার্য, সর্বদা সমান ।

y = 0

$y=0$

0

$0$

— whuber

@ হুবুহু আমি কেবলমাত্র দুটি উপাদানগুলির বিপরীত সিডিএফগুলি কীভাবে ব্যবহার করব সে সম্পর্কে আমি বিভ্রান্ত : আমি কী আঁকব, আমি এটি থেকে কী আঁকব, এবং তারপরে আমি প্রতিটি জিনিস কি প্লাগ করব?

— শ্যাডোটালকার

@ শি'আন সুন্দরভাবে ব্যাখ্যা করেছেন যে সাধারণ-মিশ্রণ প্রশ্নের উত্তরটিতে: আপনি মিশ্রণ উপাদানটি নির্বাচন করতে অভিন্ন রূপ ব্যবহার করেন এবং তারপরে আপনি সেই উপাদানটি থেকে কোনও মান (আপনার পছন্দ মতো) আঁকেন। আপনার ক্ষেত্রে এটি প্রথম উপাদান থেকে একটি মান আঁকা ব্যতিক্রমী সহজ: এটি সর্বদা ! দ্বিতীয় উপাদান থেকে কোনও মান আঁকতে আপনার পছন্দ মতো লগনরমাল এলোমেলো নম্বর জেনারেটর ব্যবহার করুন। প্রতিটি ক্ষেত্রেই আপনি একটি সংখ্যার সাথে সক্রিয় হন: সম্পাদনের জন্য কোনও "প্লাগ ইন" নেই; এলোমেলো সংখ্যা জেনারেশনের পুরো উদ্দেশ্যটি সেই নম্বরটি অর্জন করা।

0

$0$

— হোবার

@ যে উত্তরটি আমার পক্ষে তা পরিষ্কার হয়ে গেছে। দুজন কেই ধন্যবাদ.

— শ্যাডটলকার

উত্তর:

পটভূমি সহ দীর্ঘ সংস্করণের উত্তর:

দীর্ঘ সংস্করণের এই উত্তরটি কিছুটা অন্য সমস্যার সমাধান করে এবং, যেহেতু আমাদের মনে হয় মডেল এবং সমস্যাটি তৈরি করতে আমাদের অসুবিধা হচ্ছে, তাই আমি আশা করি সঠিকভাবে এটি এখানে পুনর্বিবেচনা করতে বেছে নিয়েছি।

জন্য , লক্ষ্য অনুকরণ ভেক্টর হয় যেমন যে, একটি covariate উপর শর্তাধীন , সহ । অতএব, যদি কেউ এই মডেলটি থেকে ডেটা সিমুলেট করতে চান তবে একজন নিম্নরূপে এগিয়ে যেতে পারেন: $1\le i\le I$ $y^i=(y^i_1,\ldots,y^i_K)$ $x^i$

y_{k}^{i} = {\begin{cases} 0 & with probability {logit}^{- 1} (α_{k} x^{i}) \\ \log (σ_{k} z_{k}^{i} + β_{k} x^{i}) & with probability 1 - {logit}^{- 1} (α_{k} x^{i}) \end{cases}

$y_k^i = \begin{cases} 0 &\text{ with probability }\operatorname{logit}^{-1}\left( \alpha_k x^i \right)\\ \log(\sigma_k z_k^i + \beta_k x^i) &\text{ with probability }1-\operatorname{logit}^{-1}\left( \alpha_k x^i \right)\end{cases}$

z^{i} = (z_{1}^{i}, \dots, z_{K}^{i}) \sim N_{K} (0, R)

$z^i=(z^i_1,\ldots,z^i_K)\sim\mathcal{N}_K(0,R)$

জন্য , $1\le i\le I$

জেনারেট করুন $z^i=(z^i_1,\ldots,z^i_K)\sim\mathcal{N}_K(0,R)$
জেনারেট করুন $u^i_1,\ldots,u^i_K \stackrel{\text{iid}}{\sim} \mathcal{U}(0,1)$
ডাইরিভ জন্য $y^i_k=\mathbb{I}\left\{u^i_k>\operatorname{logit}^{-1}\left( \alpha_k x^i \right)\right\}\, \log\{ \sigma_k z_k^i + \beta_k x^i\}$ $1\le k\le K$

যদি কেউ প্রদত্ত প্রজন্মের প্রজন্মের প্রতি আগ্রহী হন তবে নমুনা বা এবিসি দ্বারা সম্ভব এই সমস্যাটি খুব কঠিন। $(\alpha,\beta,\mu,\sigma,R)$ $y^i_ k$

— সিয়ান
সূত্র

আমি জানতাম আমি কিছু মিস করছি। "অন্ধকারে সমস্ত কিছু সুস্পষ্ট" " আমার অভিপ্রায়: আমি আগ্রহী, তাই হ্যাঁ, আমি প্যারামিটারগুলির যৌথ উত্তরোত্তর থেকে অঙ্কন করতে আগ্রহী। আমি চাই কৃত্রিম 'যদি মডেল তড়কা দেখতে s।

F (y^{i} | x^{i})

$F(y^i | x^i)$

y

$y$

— শ্যাডোটালকার

দ্বিতীয় সমস্যাটি কীভাবে আরও কঠিন? আমি ইতিমধ্যে মডেলটি অনুমান করেছি এবং আমার উত্তরোচিত অঙ্কন রয়েছে। আপনি চাইলে আমরা আড্ডায় চালিয়ে যেতে পারি, এখানে মন্তব্যগুলিতে বিশৃঙ্খলা রক্ষা করা।

— শ্যাডোটালকার

ওহ, সাধারণভাবে, হ্যাঁ ভাগ্যক্রমে আমার কাছে স্ট্যান এবং নো-ইউ-টার্ন স্যাম্পলার আমার জন্য কঠোর পরিশ্রম করছে।

— শ্যাডটলকার

প্রসঙ্গের বাইরে থাকা সংক্ষিপ্ত সংস্করণের উত্তর:

বেশিরভাগ মন্টি কার্লো পাঠ্যপুস্তকে বর্ণিত একটি সিডিএফ যা গাণিতিক অর্থে (আপনার মিশ্র বিতরণের মতো) অবিচ্ছিন্ন নয় তা সম্ভব হয়। ( আমাদের মতো , লেমাকে ২.৪ দেখুন)) যদি আপনি সাধারণীকরণের বিপরীত সংজ্ঞায়িত করেন তারপরে এই মানে যখন যে একটি লাফ হয়েছে এ , জন্য । অন্য কথায়, আপনি যদি ইউনিফর্ম আঁকেন এবং এটি ছোট হয়ে যায় , আপনার প্রজন্ম

F^{-} (u) = inf {x \in R; F (x) \geq u}

$F^{-}(u) = \inf\left\{ x\in\mathbb{R};\ F(x)\ge u \right\}$

X \sim F is equivalent to X = F^{-} (U) when U \sim U (0, 1) .

$X \sim F \text{ is equivalent to } X=F^{-}(U)\text{ when } U\sim\mathcal{U}(0,1)\,.$

F (y)

$F(y)$

θ

$\theta$

y = 0

$y=0$

F^{-} (u) = 0

$F^{-}(u)=0$

u \leq θ

$u\le\theta$

U (0, 1)

$\mathcal{U}(0,1)$

θ

$\theta$

X

$X$ হয় । অন্যথায়, যখন , আপনি অবিচ্ছিন্ন অংশ থেকে উত্পন্ন করেন, যথা আপনার ক্ষেত্রে লগ-সাধারণ। এর অর্থ দ্বিতীয় ইউনিফর্মের এলোমেলো প্রজন্ম, , প্রথম ইউনিফর্মের থেকে পৃথক এবং normal করে লগ-সাধারণ প্রজন্মের জন্য obtain

x = 0

$x=0$

u > θ

$u>\theta$

v

$v$

y = \exp (μ + σ Φ^{- 1} (v))

$y=\exp(\mu+\sigma\Phi^{-1}(v))$

আপনার আর কোডটি প্রায় এটিই

Y_hat <- rbinom(1, 1, theta[i, k]) if (Y_hat == 1) Y_hat <- rlnorm(1, mu[i, k], sigma[k])

করছে. আপনি সম্ভাবনার দিয়ে একটি তৈরি করেন এবং এটি যদি সমান হয় তবে আপনি এটিকে একটি লগ-নরমাল রূপান্তরিত করেন। যেহেতু এটি সম্ভাব্যতার সাথে 1 এর সমান পরিবর্তিত আর কোডের সাথে শেষ না করে পরিবর্তিত শূন্যের সমান হলে এটির পরিবর্তে একটি লগ-সাধারণ সিমুলেশনে পরিণত করা উচিত : $\theta_k^i$ $1$ $\theta_k^i$

Y_hat <- rbinom(1, 1, theta[i, k])
    if (Y_hat == 0)
        Y_hat <- rlnorm(1, mu[i, k], sigma[k])

— সিয়ান
সূত্র

সুতরাং সমস্ত একসাথে, আমার সিমুলেশন পদ্ধতিটি হবে: 1) , 2) , তারপর 3) গণনা যদি এবং অন্যথায় । সঠিক?

z

$z$

u_{k} = Φ (z_{k})

$u_k = \Phi(z_k)$

y_{k} = 0

$y_k = 0$

u_{k} \leq θ

$u_k \leq \theta$

y_{k} = F_{log-normal}^{- 1} (u_{k})

$y_k = F^{-1}_\text{log-normal}(u_k)$

— শ্যাডোটালকার

না, ভুল এবং লগ-স্বাভাবিকের মধ্যে সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য আপনি প্রথম ইউনিফর্ম আঁকেন , তারপরে লগ-নরমালের বিষয়ে সিদ্ধান্ত নিয়েছেন এমন ক্ষেত্রে দ্বিতীয় ইউনিফর্ম। আমার উত্তরের সম্পাদিত সংস্করণটি দেখুন।

0

$0$

— শি'আন

তবে এটি উপাদানটিকে উপেক্ষা করে ; সুতরাং আমার প্রশ্ন। আমি একটি স্পষ্টতামূলক সম্পাদনা করেছি এবং আমার সিউডোকোডের ভুলটিকেও সম্বোধন করেছি।

z

$z$

— শ্যাডট্যালকার

আমার উত্তরটি সংক্ষিপ্ত সংস্করণ এবং আপনার সরবরাহ করা আরআর কোডের জন্য। আমি আশা করি এটি দীর্ঘ সংস্করণে সহায়তা করে তবে যৌথ মডেলের জন্য আপনার সূত্রটি এখনও ভুল is আপনি মডেল সংজ্ঞায়িত করা উচিত ইউনিফর্ম ব্যবহার না করেই এর ...

y

$y$

— সিয়ান

কীভাবে সেই মডেলটি ভুল? আমি স্রেফ আমার কে উল্লিখিত কাগজের দ্বারা প্রদত্ত সূত্রে প্লাগ করেছি ( তাদের )। এটা কি অবৈধ?

F_{1}, \dots, F_{K}

$F_1, \dots, F_K$

G_{1}, \dots, G_{m}

$G_1, \dots, G_m$

— শ্যাডট্যালকার