কেন Wilcoxon পরীক্ষার মধ্যে asymptotic আপেক্ষিক দক্ষতা

এটা যে asymptotic আপেক্ষিক দক্ষতা (হয়) সুপরিচিত হয় Wilcoxon স্বাক্ষরিত র্যাঙ্ক পরীক্ষা স্টুডেন্টস তুলনায় টন -test, ডাটা একটি স্বাভাবিকভাবে বিতরণ জনসংখ্যা থেকে টানা হয় পারেন। এটি প্রাথমিক এক-নমুনা পরীক্ষা এবং দুটি স্বতন্ত্র নমুনার (উইলকক্সন-মান-হুইটনি ইউ) উভয়ের জন্য সত্য। এটি একটি আনোভা এফ -টেষ্টের সাথে তুলনামূলকভাবে সাধারণ তথ্যের জন্য একটি ক্রুসকল-ওয়ালিস পরীক্ষার ARE is $\frac{3}{\pi} \approx 0.955$

এই অসাধারণ (আমার জন্য, " এর সবচেয়ে অপ্রত্যাশিত উপস্থিতিগুলির মধ্যে একটি $\pi$ )" এবং উল্লেখযোগ্য সরল ফলাফলের অন্তর্দৃষ্টি, উল্লেখযোগ্য বা সহজ প্রমাণ রয়েছে?

— Silverfish
সূত্র

চেহারাও দেওয়া স্বাভাবিক সিডিএফ-এ, চেহারা সত্যিই হবে না উচিত সব যে বিস্ময়কর। আমি একটি উত্তর বিপত্তি করব তবে একটি ভাল উত্তর তৈরি করতে কিছু সময় লাগবে।

π

$\pi$

π

$\pi$

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

@Glen_b প্রকৃতপক্ষে - আমি দেখা করেছি একটি "কি কারনে চাইছি

সামনে আলোচনা এত পরিসংখ্যান প্রদর্শিত" (যদিও তা সিভি অবস্থানের উপর ভিত্তি করে বা মনে করতে পারেন না) এবং আমি অনেক ফসল জানেন "স্বাভাবিক বিতরণের কারণ", কিন্তু

এখনও pleasantly, প্রথমবার আপনি এটি দেখতে বিস্ময়কর। তুলনার জন্য মান-হুইটনি বনাম দ্বি-নমুনা টি-টেস্টের এআরআর হ'ল তাত্পর্যমূলক ডেটাতে 3, ডাবল এক্সপোনেনশিয়ালে 1.5 এবং ইউনিফর্মটিতে - অনেকগুলি রাউন্ডার!

π

$\pi$

3 / π

$3/\pi$

— সিলভারফিশ

@ সিলভারফিশ আমি ভ্যান ডার ভার্ট "অ্যাসিম্পটোটিক স্ট্যাটিস্টিকস" এর 197 পৃষ্ঠাটি লিঙ্ক করেছি। এক-নমুনার জন্য, সাইন-টেস্টে টি-টেস্টের তুলনায়

।

2 / π

$2/\pi$

— খাসা

@ সিলভারফিশ ... এবং যৌক্তিকভাবে এটি

। সেখানে বেশ একটি সুপরিচিত Ares (হয় এক বা দুই নমুনা ক্ষেত্রে) কয়েক জড়িত হয়

এবং বেশ কিছু সংখ্যক পূর্ণসংখ্যার সহজ অনুপাত আছে।

(π / 3)^{2}

$(\pi/3)^2$

π

$\pi$

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

এক-নমুনা স্বাক্ষর র্যাঙ্ক পরীক্ষা জন্য, এটি মনে করা হয়

। এক-নমুনা চিহ্ন পরীক্ষার জন্য, এটা

। সুতরাং, আমরা আমাদের অবস্থান পরিষ্কার করে দিয়েছি। আমি এটি একটি ভাল চিহ্ন মনে করি।

3 / π

$3/\pi$

2 / π

$2/\pi$

— খাসা

উত্তর:

এক-নমুনা জন্য হয় ব্রিফ স্কেচ -test সাইনড পরীক্ষা এবং সাইন-র্যাঙ্ক পরীক্ষা $t$

আমি আশা করি @ Glen_b এর উত্তরের দীর্ঘ সংস্করণটিতে ARE এর স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যা সহ দু'-নমুনা স্বাক্ষরিত র‌্যাঙ্ক পরীক্ষার জন্য বিশদ বিশ্লেষণ অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। সুতরাং আমি বেশিরভাগ উপকরণকে এড়িয়ে যাব। (এক-নমুনার কেস, আপনি লেহম্যান টিএসএইচে অনুপস্থিত বিশদটি পেতে পারেন)।

পরীক্ষার সমস্যা : শূন্যের সমান্তরাল অবস্থানের মডেল থেকে এলোমেলো নমুনা হতে দিন। আমরা স্বাক্ষরিত পরীক্ষার ARE গণনা করতে হবে, টি-পরীক্ষার তুলনায় অনুমানের জন্য স্বাক্ষরিত র‌্যাঙ্ক পরীক্ষার জন্য । $X_1,\ldots,X_n$ $f(x-\theta)$ $H_0: \theta=0$

পরীক্ষাগুলির আপেক্ষিক দক্ষতা নির্ধারণের জন্য, কেবলমাত্র স্থানীয় বিকল্প বিবেচনা করা হয় কারণ ধারাবাহিক পরীক্ষায় স্থির বিকল্পের বিপরীতে 1 তে পাওয়ার ট্রেন্ডিং থাকে। স্থানীয় বিকল্প যে nontrivial মধ্যে asymptotic ক্ষমতা দিতে বৃদ্ধি ফর্মের প্রায়ই হয় নির্দিষ্ট, যাকেকিছু সাহিত্যেপিটম্যান ড্রিফটবলা হয়। $\theta_n=h/\sqrt{n}$ $h$

আমাদের কাজ এগিয়ে

শূন্যের অধীনে প্রতিটি পরীক্ষার পরিসংখ্যানের সীমা বন্টন সন্ধান করুন
বিকল্পের অধীনে প্রতিটি পরীক্ষার পরিসংখ্যানের সীমা বন্টন সন্ধান করুন
প্রতিটি পরীক্ষার স্থানীয় অ্যাসিম্পোটিক শক্তি গণনা করুন

পরীক্ষার স্ট্যাটিস্টিকস এবং অ্যাসেম্পটিক্স

t-test ( এর অস্তিত্ব প্রদত্ত ) t n = √t n = under এর নীচে √
$t_{n} = \sqrt{n} \frac{\bar{X}}{\hat{σ}} \to_{d} N (0, 1) under the null$

$t_{n} = \sqrt{n} \frac{\bar{X}}{\hat{σ}} \to_{d} N (h / σ, 1) under the alternative θ = h / \sqrt{n}$
- সুতরাং যে পরীক্ষাটি বাতিল করে যদি এর অ্যাসিম্পটোটিক পাওয়ার ফাংশন $t_n>z_\alpha$ $1 - Φ (z_{α} - h \frac{1}{σ})$ $1-\Phi\left(z_\alpha-h\frac{1}{\sigma}\right)$
স্বাক্ষরিত পরীক্ষা $S_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}1\{X_i>0\}$ $\sqrt{n} (S_{n} - \frac{1}{2}) \to_{d} N (0, \frac{1}{4}) under the null$ $\sqrt{n}\left(S_n-\frac{1}{2}\right)\to_dN\left(0,\frac{1}{4}\right)\quad \text{under the null }$ এবং স্থানীয় অ্যাসিম্পোটিক শক্তি $\sqrt{n} (S_{n} - \frac{1}{2}) \to_{d} N (h f (0), \frac{1}{4}) under the alternative$ $\sqrt{n}\left(S_n-\frac{1}{2}\right)\to_dN\left(hf(0),\frac{1}{4}\right)\quad \text{under the alternative }$ $1 - Φ (z_{α} - 2 h f (0))$ $1-\Phi\left(z_\alpha-2hf(0)\right)$
সাইন-র্যাঙ্ক পরীক্ষা $W_{n} = n^{- 2 / 3} \sum_{i = 1}^{n} R_{i} 1 {X_{i} > 0} \to_{d} N (0, \frac{1}{3}) under the null$ $W_n=n^{-2/3}\sum_{i=1}^{n}R_i1\{X_i>0\}\to_dN\left(0,\frac{1}{3}\right)\quad \text{under the null }$ এবং স্থানীয় অ্যাসিম্পোটিক শক্তি $W_{n} \to_{d} N (2 h \int f^{2}, \frac{1}{3}) under the alternative$ $W_n\to_dN\left(2h\int f^2,\frac{1}{3}\right)\quad \text{under the alternative }$ $1 - Φ (z_{α} - \sqrt{12} h \int f^{2})$ $1-\Phi\left(z_\alpha-\sqrt{12}h\int f^2\right)$

A R E (S_{n}) = (2 f (0) σ)^{2}

$ARE(S_n)=(2f(0)\sigma)^2$

A R E (W_{n}) = (\sqrt{12} \int f^{2} σ)^{2}

$ARE(W_n)=(\sqrt{12}\int f^2\sigma)^2$

f

$f$

A R E (S_{n}) = 2 / π

$ARE(S_n)=2/\pi$

A R E (W_{n}) = 3 / π

$ARE(W_n)=3/\pi$

$f$ $ARE(S_n)=1/3$ $ARE(W_n)=1/3$

বিকল্পের অধীনে বিতরণ উপার্জনের বিষয়ে মন্তব্য করুন

বিকল্পের অধীনে সীমাবদ্ধ বিতরণটি অর্জন করার জন্য অবশ্যই অনেকগুলি উপায় রয়েছে। একটি সাধারণ পদ্ধতি হ'ল লে ক্যামের তৃতীয় লিমা ব্যবহার করা। এর সরলিকৃত সংস্করণে বলা হয়েছে

$\Delta_n$ $W_n$
$(W_{n}, Δ_{n}) \to_{d} N [(\begin{matrix} μ \\ - σ^{2} / 2 \end{matrix}), (\begin{array}{cc} σ_{W}^{2} & τ \\ τ & σ^{2} / 2 \end{array})]$ $(W_n,\Delta_n)\to_d N\left[\left(\begin{array}{c} \mu\\ -\sigma^2/2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} \sigma^2_W & \tau \\ \tau & \sigma^2/2 \end{array}\right)\right]\\$ $W_{n} \to_{d} N (μ + τ, σ_{W}^{2}) under the alternative$ $W_n\to_d N\left(\mu+\tau,\sigma^2_W\right)\quad\text{under the alternative}$

$\mathrm{cov}(W_n,\Delta_n)$ $\Delta_n$

Δ_{n} \approx \frac{h}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} l (X_{i}) - \frac{1}{2} h^{2} I_{0}

$\Delta_n\approx \frac{h}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n}l(X_i)-\frac{1}{2}h^2I_0$

l

$l$

I_{0}

$I_0$

S_{n}

$S_n$

c o v (\sqrt{n} (S_{n} - 1 / 2), Δ_{n}) = - h c o v (1 {X_{i} > 0}, \frac{f^{'}}{f} (X_{i})) = h \int_{0}^{\infty} f^{'} = h f (0)

$\mathrm{cov}(\sqrt{n}(S_n-1/2),\Delta_n)=-h\mathrm{cov}\left(1\{X_i>0\},\frac{f'}{f}(X_i)\right)=h\int_0^\infty f'=hf(0)$

— Khashaa
সূত্র

+1 আমি এই বিষয়ে আরও বিস্তারিতভাবে যেতে যাচ্ছি না (সত্যিই ইতিমধ্যে, আপনার উত্তরগুলি ইতিমধ্যে বেশ সুন্দরভাবে কভার করা হয়েছে, আমি সম্ভবত আমার এখনকার কিছুতে যুক্ত করব না) তাই আপনি যদি আরও বিশদ বিবরণ রাখতে চান তবে ডন ' আমার অ্যাকাউন্টে টিপুন না আমি এখনও বেশ কয়েক দিন থাকতে পারি (এবং এখনও আপনার আগে থেকে

— কমের

এটি বিশেষ করে লে ক্যামের লেমা (+1) যুক্ত করার জন্য একটি দুর্দান্ত উত্তর। আমার কাছে মনে হয় 1, 2, এবং 3 তে অ্যাসিম্পটিকগুলি স্থাপনের মধ্যে এবং "আর" বিট যেখানে আপনি আরআরই লিখছেন তার মধ্যে বেশ বড় একটা লাফালাফি রয়েছে। আমি মনে করি আমি যদি এটি লিখতে থাকি তবে আমি এই মুহুর্তে অ্যাসিম্পোটিক দক্ষতাটি সংজ্ঞায়িত করতাম (বা আগে হতে পারে, সুতরাং পয়েন্ট 1, 2 এবং 3-এর প্রতিফলন প্রতিটি ক্ষেত্রে কেবল স্থানীয় অ্যাসিম্পটোটিক শক্তি নয়) এবং তারপরে পদক্ষেপটি ছিল ভবিষ্যতের পাঠকদের পক্ষে অনুসরণ করা আরও সহজ হবে।

— সিলভারফিশ

H_{1}

$H_1$

আমার উত্তর সম্পাদনা করতে বা এটিকে ওপিতে সংযোজন করতে দ্বিধা বোধ করবেন

— খাসা

*

$*$

$\pi$ $t$ $Y$ $t$ $n\rightarrow \infty$ $\frac{\pi}{3}$

n <- 1000000; x <- qnorm((1:n)/(n+1)); cor(1:n, x)^2; 3/pi
[1] 0.9549402
[1] 0.9549297
n <- 100000000; x <- qnorm((1:n)/(n+1)); cor(1:n, x)^2; 3/pi
[1] 0.9549298
[1] 0.9549297

— ফ্র্যাঙ্ক হ্যারেল
সূত্র

এটি আসলে একটি খুব সহায়ক মন্তব্য। এটি কি কিছুটা কাছে থেকে ধারণাগতভাবে নিকটবর্তী n <- 1e6; x <- rnorm(n); cor(x, rank(x))^2(যা স্পষ্টত একই ফলাফল উত্পন্ন করে)?

— সিলভারফিশ

(যাদের ফ্র্যাঙ্কের মন্তব্য দ্বারা চক্রান্ত তাকান করতে পারেন Wilcoxon-মান-হুইটনি ইউ এর সমানতা এবং একটি সম্বন্ধে প্রশ্নগুলির টি পদমর্যাদার উপর -test ।)

— Silverfish

n

$n$

n

$n$

n

$n$

আমার স্মৃতিচারণে উইলকক্সন স্বাক্ষরিত র‌্যাঙ্ক পরীক্ষা এবং ডাব্লুএমডাব্লু উভয়েরই ছোট নমুনা দক্ষতা সাধারণ বিতরণে শিফট বিকল্পগুলিতে অ্যাসিম্পটোটিক মানের থেকে কিছুটা কম।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

$12\sigma^2[\int f^2(x) dx]^2$ $f$ $\sigma$

$f^2$ $f$ $\frac{1}{\sqrt{\pi}}$ $\frac{ \;}{\pi}$

একই পদ - একই অবিচ্ছেদ্য - স্বাক্ষরিত র‌্যাঙ্ক পরীক্ষার জন্য ARE তে জড়িত, তাই এটি একই মান গ্রহণ করে।

$4\sigma^2f(0)^2$ $f(0)^2$ $\frac{ \;}{\pi}$

$\pi$

রেফারেন্স:

জেএল হজস এবং ই এল লেহম্যান (1956),
"টি-টেস্টের কিছু ননপ্যারমেট্রিক প্রতিযোগীদের দক্ষতা",
আন। ম্যাথ। পরিসংখ্যানবিৎ। , 27 : 2, 324-335।

— গ্লেন_বি -রাইনস্টেট মনিকা
সূত্র

π

$\pi$

\int f^{2} d x

$\int f^2 dx$

α = 2

$\alpha=2$