প্রাক-নির্দিষ্ট স্পারসিটি প্যাটার্ন সহ প্রতিসম ধনাত্মক সুনির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স উত্পন্ন করুন

আমি একটি পূর্বনির্ধারিত স্পারসিটি কাঠামো ( নোডগুলিতে একটি গ্রাফ দ্বারা নির্দিষ্ট) সহ একটি পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স (প্রতিসম পিএসডি) উত্পন্ন করার চেষ্টা করছি । গ্রাফের সাথে সংযুক্ত নোডগুলির মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক রয়েছে , বাকি সব 0 এবং তির্যক সমস্ত 1। $p\times p$ $p$ $\rho \sim U(0,1)$

আমি এই ম্যাট্রিক্সটি বেশ কয়েকবার উত্পন্ন করার চেষ্টা করেছি তবে খুব কমই একটি বৈধ পারস্পরিক সম্পর্ক মেট্রিক্স পাই।

এমন কোনও উপায় আছে যে আমি কোনও সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স whpকে আশ্বস্ত করতে পারি? নোট করুন যে আমি কেবলমাত্র ইতিবাচক পারস্পরিক সম্পর্ক রাখতে পারি তাই ইত্যাদি কোনও বিকল্প নয়। $\rho \sim U(-1,1)$

কোন সাহায্য ব্যাপকভাবে প্রশংসা করা হয়!

— ব্লেড রানার
সূত্র

আর প্যাকেজের ম্যাট্রিক্সের কাছাকাছি পিডি ফাংশনটি সাহায্য করতে পারে।

— niandra82

আপনার স্পারসিটির পরিমাপ কী আপনার জন্য স্থির? আপনার ডেটা বাইনারি বা nonnegative অবিচ্ছিন্ন হওয়া উচিত?

— ttnphns

@ নায়েন্দ্র ৮২: নিকটস্থ পিডি ভাল না কারণ এটি ম্যাট্রিক্সের স্পারসিটি নষ্ট করে দেবে।

— ব্লেড রানার

সাধারণভাবে এই প্রশ্নের বর্ণিত ম্যাট্রিক্স বিতরণ নেই। উদাহরণস্বরূপ, তিন সহগ সহ কেস বিবেচনা করুন । যদি এবং , তবে যদি হয় এবং ম্যাট্রিক্স ইতিবাচক নিশ্চিত হয় তবেই। তবে তারপরে আপনার এবং উভয়ই থাকতে পারে ।

3 \times 3

$3\times 3$

ρ, σ, τ

$\rho,\sigma,\tau$

τ = 0

$\tau=0$

ρ > 0, σ > 0

$\rho\gt 0, \sigma\gt 0$

ρ^{2} + σ^{2} < 1

$\rho^2+\sigma^2\lt 1$

ρ \sim U (0, 1)

$\rho\sim U(0,1)$

σ \sim U (0, 1)

$\sigma\sim U(0,1)$

— হোয়াইট

তাহলে প্রথমে পারস্পরিক সম্পর্ক মেট্রিক্স কেন তৈরি করা যায় না। তারপরে সেই ম্যাট্রিক্সের জন্য একটি সিমেট্রিক সূচক তৈরি করুন যেখানে আপনি সূচকযুক্ত উপাদানগুলিকে 0 এ জোর করে Sp আপনি কতগুলি তির্যক উপাদানগুলিকে 0 তে বাধ্য করেছেন তা বিবেচনা না করে, ম্যাটিক্সটি এখনও পিডি হবে

— জাচারি ব্লুমেনফেল্ড

উত্তর:

@ রডরিগো দে আজেভেদোর জন্য বন্ধ করুন তবে কোনও সিগার নেই।

সমাধানটি হ'ল প্রোগ্রামিং ব্যবহার করে সর্বাধিক মান, , এবং সর্বনিম্ন মান ( বিষয় সাপেক্ষে), , যেমন নির্ধারিত স্পারসিটি প্যাটার্ন সহ পারস্পরিক সম্পর্ক মেট্রিক্স ইতিবাচক সেমিডেফাইনেট (পিএসডি) এর সমস্ত মান যেমন , ম্যাট্রিক্স তৈরি করবে (পাঠকের জন্য অনুশীলন) $\rho_{max}$ $\rho_{min}$ $\rho$ $\rho$ $\rho_{max}\le \rho \le \rho_{max}$

অতএব, আপনাকে অবশ্যই বিতরণ বেছে নিতে হবে যা কেবলমাত্র মান নিতে পারে $\rho$ $[\rho_{max},\rho_{max}]$ , বা আপনাকে অবশ্যই গ্রহণযোগ্যতা / প্রত্যাখ্যান এবং কোনও উত্পন্ন মানকে প্রত্যাখ্যান করতে হবে $\rho$ যা একটি পিএসডি ম্যাট্রিক্স উত্পাদন করে না।

ম্যাটল্যাবের অধীনে YALMIP ব্যবহার করে 4 বাই 4 ম্যাট্রিক্সের উদাহরণ

sdpvar rho % declare rho to be a scalar variable
% find maximum value of rho (by minimizing -rho) subject to prescribed matrix being psd.
optimize([1 0 rho 0;0 1 rho 0;rho rho 1 rho;0 0 rho 1] >= 0,-rho) 
% find minimum value of rho subject to prescribed matrix being psd and rho being >= 0.
optimize([[1 0 rho 0;0 1 rho 0;rho rho 1 rho;0 0 rho 1] >= 0,rho >= 0],rho)

ফলাফল: সর্বোচ্চ rho = 0.57735, সর্বনিম্ন rho = 0 এটি সহজেই প্রতীয়মান যে শূন্য হ'ল rho এর ন্যূনতম এবং নির্ধারিত ম্যাট্রিক্সের পিএসডি হওয়ার ক্ষেত্রে ন্যূনতম মান হবে, মাত্রা বা স্পারসিটির বিন্যাস নির্বিশেষে। অতএব, সর্বনিম্ন ননজেটিভ মানটি খুঁজে পেতে সেমাইডাইফিনেট অপটিমাইজেশন চালানো অপ্রয়োজনীয় $\rho$ ।

— মার্ক এল স্টোন
সূত্র

এটি প্রশ্নের একটি আকর্ষণীয় ব্যাখ্যা: এটি ধরে নিয়েছে যে সমস্ত ননজারো অফ-ডায়াগোনাল সহগগুলি সমান (যার ফলে সমস্যাটি খুব সহজতর করা)। এটি ইচ্ছাকৃত ব্যাখ্যা ছিল কিনা তা স্পষ্ট নয়, বা সমস্ত ননজারো অফ-ডায়াগোনাল সহগগুলি সাধারণ বন্টন থেকে স্বতন্ত্র আদায় হিসাবে বিবেচিত হয়েছিল কিনা ।

— whuber

এটাই আমি ব্যাখ্যা করেছি। এখন যেহেতু আপনি এটি উল্লেখ করেছেন, আমি দেখতে পাচ্ছিলাম একটি আলাদা ব্যাখ্যা সম্ভব। কমপক্ষে আমার ব্যাখ্যায় মোটামুটি সু-সংজ্ঞায়িত সমস্যা হওয়ার গুণ রয়েছে ue আমি মনে করি যে কোনও সমস্যা তৈরি করা যেতে পারে, যার সমাধানটি আমি গবেষণা করে দেখিনি, সর্বাধিক মান সন্ধান করতে ρ যেমন পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্সের একটি ত্রিভুজের সমস্ত অ-শূন্য অফ-তির্যক উপাদানগুলি অগত্যা সমান ননজেটিভ মানগুলির সাথে পূরণ করা যায় ≤ এই মানটি এবং প্রয়োজনীয়ভাবে সম্পূর্ণ জনবহুল ম্যাট্রিক্সকে পিএসডি করা উচিত।

— মার্ক এল। স্টোন

একটি পারস্পরিক সম্পর্ক মেট্রিক্স প্রতিসম, ধনাত্মক অর্ধবৃত্তীয় এবং রয়েছে has $1$ এর প্রধান তির্যক উপর। এক খুঁজে পেতে পারেন একটি $n \times n$ নিম্নোক্ত সেমিডেফাইনেট প্রোগ্রাম (এসডিপি) সমাধান করে পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স যেখানে উদ্দেশ্য ফাংশনটি নির্বিচারে বলা হয়, বলুন, শূন্য ফাংশন

\begin{array}{ll} কমান & ⟨ {হে}_{এন}, এক্স ⟩ \\ বিষযে & {এক্স}_{11} = {এক্স}_{22} = \dots = {এক্স}_{এন এন} = 1 \\ এক্স ⪰ {হে}_{এন} \end{array}

$\begin{array}{ll} \text{minimize} & \mathrm \langle \mathrm O_n, \mathrm X \rangle\\ \text{subject to} & x_{11} = x_{22} = \cdots = x_{nn} = 1\\ & \mathrm X \succeq \mathrm O_n\end{array}$

যদি কারও অতিরিক্ত বাধা থাকে যেমন স্পারসিটি সীমাবদ্ধতা

{এক্স}_{আমি ঞ} = 0 সবার জন্য (আমি, ঞ) \in জেড \subset [এন] \times [এন]

$x_{ij} = 0 \text{ for all } (i,j) \in \mathcal Z \subset [n] \times [n]$

এবং নেতিবাচকতা সীমাবদ্ধতা, $\mathrm X \geq \mathrm O_n$ , তারপরে একটি নীচের এসডিপি সমাধান করে

\begin{array}{ll} কমান & ⟨ {হে}_{এন}, এক্স ⟩ \\ বিষযে & {এক্স}_{11} = {এক্স}_{22} = \dots = {এক্স}_{এন এন} = 1 \\ {এক্স}_{আমি ঞ} = 0 সবার জন্য (আমি, ঞ) \in জেড \subset [এন] \times [এন] \\ এক্স \geq {হে}_{এন} \\ এক্স ⪰ {হে}_{এন} \end{array}

$\begin{array}{ll} \text{minimize} & \mathrm \langle \mathrm O_n, \mathrm X \rangle\\ \text{subject to} & x_{11} = x_{22} = \cdots = x_{nn} = 1\\ & x_{ij} = 0 \text{ for all } (i,j) \in \mathcal Z \subset [n] \times [n]\\ & \mathrm X \geq \mathrm O_n\\ & \mathrm X \succeq \mathrm O_n\end{array}$

একজন $3 \times 3$ উদাহরণ

মনে করুন আমরা চাই $x_{13} = 0$ এবং $x_{12}, x_{23} \geq 0$ । এখানে একটি ম্যাটল্যাব + সিভিএক্স স্ক্রিপ্ট রয়েছে,

cvx_begin sdp

    variable X(3,3) symmetric

    minimize( trace(zeros(3,3)*X) )
    subject to

        % put ones on the main diagonal
        X(1,1)==1
        X(2,2)==1
        X(3,3)==1

        % put a zero in the northeast and southwest corners
        X(1,3)==0

        % impose nonnegativity
        X(1,2)>=0
        X(2,3)>=0

        % impose positive semidefiniteness
        X >= 0

cvx_end

স্ক্রিপ্ট চলছে,

Calling sedumi: 8 variables, 6 equality constraints
------------------------------------------------------------
SeDuMi 1.21 by AdvOL, 2005-2008 and Jos F. Sturm, 1998-2003.
Alg = 2: xz-corrector, Adaptive Step-Differentiation, theta = 0.250, beta = 0.500
eqs m = 6, order n = 6, dim = 12, blocks = 2
nnz(A) = 8 + 0, nnz(ADA) = 36, nnz(L) = 21
 it :     b*y       gap    delta  rate   t/tP*  t/tD*   feas cg cg  prec
  0 :            3.00E+000 0.000
  1 : -1.18E-001 6.45E-001 0.000 0.2150 0.9000 0.9000   1.86  1  1  1.2E+000
  2 : -6.89E-004 2.25E-002 0.000 0.0349 0.9900 0.9900   1.52  1  1  3.5E-001
  3 : -6.48E-009 9.72E-007 0.097 0.0000 1.0000 1.0000   1.01  1  1  3.8E-006
  4 : -3.05E-010 2.15E-009 0.000 0.0022 0.9990 0.9990   1.00  1  1  1.5E-007
  5 : -2.93E-016 5.06E-015 0.000 0.0000 1.0000 1.0000   1.00  1  1  3.2E-013

iter seconds digits       c*x               b*y
  5      0.3   5.8  0.0000000000e+000 -2.9302886987e-016
|Ax-b| =  1.7e-015, [Ay-c]_+ =  6.1E-016, |x|= 2.0e+000, |y|= 1.5e-015

Detailed timing (sec)
   Pre          IPM          Post
1.563E-001    2.500E-001    1.094E-001    
Max-norms: ||b||=1, ||c|| = 0,
Cholesky |add|=0, |skip| = 0, ||L.L|| = 1.
------------------------------------------------------------
Status: Solved
Optimal value (cvx_optval): +0

সিভিএক্স কী সমাধান পেয়েছে তা দেখুন,

>> X

X =

    1.0000    0.4143         0
    0.4143    1.0000    0.4143
         0    0.4143    1.0000

এই ম্যাট্রিক্স কি ইতিবাচক অর্ধেকটি? ইতিবাচক নিশ্চিত?

>> rank(X)

ans =

     3

>> eigs(X)

ans =

    1.5860
    1.0000
    0.4140

এটি ইতিবাচক সুনিশ্চিত, যেমনটি প্রত্যাশিত। আমরা ননজারো (লিনিয়ার) অবজেক্টিভ ফাংশনটি বেছে নিয়ে ইতিবাচক সেমাইডাইফিনেট রিলেশনশিপ ম্যাট্রিক্সগুলি খুঁজে পেতে পারি।

— রদ্রিগো দে আজেভেদো
সূত্র

কারণ এই সাইটে "জেনারেট" মানে "এলোমেলো বিতরণ থেকে আঁকুন" বোঝানো হবে, আপনি কী ব্যাখ্যা করতে পারবেন যে কীভাবে আপনার কোডটি এলোমেলো পারস্পরিক সম্পর্কের ম্যাট্রিক্স তৈরি করে এবং তারা কী বিতরণ অনুসরণ করে তা নির্দেশ করতে পারে?

— হোবার

@ শুভ ওপি অসম্ভবকে জিজ্ঞাসা করছে। আপনি জানুয়ারী 1, 2015 এ মন্তব্য করেছিলেন you আপনি যদি এলোমেলো পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স তৈরি করতে চান তবে একটি এলোমেলো বর্গ ম্যাট্রিক্স উত্পন্ন করুন এবং উপরের সেমিডেফিনাইট প্রোগ্রামের অবজেক্টিভ ফাংশনে এটি ব্যবহার করুন। অথবা, ঘনক্ষেত্রের মতো অভিন্ন একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের উপলব্ধি তৈরি করুন

[- 1, 1]^{(\binom{এন}{2})}

$[-1,1]^{\binom{n}{2}}$ এগুলি (পারস্পরিক সম্পর্ক) ম্যাট্রিক্সের অফ-ডায়াগোনাল এন্ট্রিগুলিতে রাখুন

1

$1$ মূল তির্যকটিতে এবং যেগুলি ইতিবাচক অর্ধ-চূড়ান্ত নয় তা বাতিল করুন। যদি অযৌক্তিকতা বাধা থাকে তবে কিউবকে সমানভাবে নমুনা করুন

[0, 1]^{(\binom{এন}{2})}

$[0,1]^{\binom{n}{2}}$

— রডরিগো দে আজেভেদো

@ শুভ এখানে 3 ডি উপবৃত্ত [ পিএনজি ] রয়েছে, যা মানচিত্রের সেটে মানচিত্র করে

3 \times 3

$3 \times 3$ পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স। ওপি যা চায় তা হ'ল অলিগটোপটি ননেজেটিভ অক্ট্যান্টের সাথে ছেদ করা, তারপরে ফর্মের প্লেনগুলি দিয়ে ছেদ করা

x_{i j} = 0

$x_{ij} = 0$ । যদি ম্যাট্রিক্স হয়

≻ 0

$\succ 0$ , তবে এটি অবশ্যই উপবৃত্তের অভ্যন্তরে থাকতে হবে । ননজারো অবজেক্টিভ ফাংশন সহ এসডিপি ব্যবহার করে, উপবৃত্তির পৃষ্ঠের নমুনা নেওয়া যায়। উপবৃত্তাকারটি উত্তল হিসাবে, পৃষ্ঠের পয়েন্টগুলির উত্তল সংমিশ্রণগুলি ম্যাট্রিক্সের সাথে সম্পর্কিতও মানচিত্র তৈরি করতে পারে।

— রডরিগো ডি আজেভেদো

পরিস্থিতি বর্ণনা করার জন্য এটি একটি দুর্দান্ত উপায়।

— হোবার

আপেক্ষিক ভলিউম সঙ্কুচিত হওয়ার বিষয়ে আপনি সঠিক। ঠিক এই কারণেই এটি একটি কঠিন সমস্যা।

— হোবার