এম-এসিমেটরের শর্তগুলি প্রকৃত গড়তে রূপান্তরিত করতে

10

গাউসীয় ডিস্ট্রিবিউশন এবং এম-অনুমানকারী, , , কী বৈশিষ্ট্য গ্যারান্টি যথেষ্ট হয় সম্ভবত? কি কঠোরভাবে উত্তল এবং কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে? $X_1,...,X_n \sim N(\mu,\sigma)$ $\mu_m = \underset{a}{\operatorname{argmin}} \sum\rho(|X_i-a|)$ $\rho$ $\mu_m \rightarrow \mu$ $\rho$

estimation

— শুঁয়াপোকা
সূত্র

যেহেতু আপনি নিতে পারেন এবং তারপরে হ'ল নমুনাটির অর্থ, এর অর্থ এটি এমনকি কঠোরভাবে উত্তল নয়, তবে কঠোরভাবে হ্যাঁ বাড়ানো যেতে পারে, সুতরাং ... আমি হয় কঠোরভাবে উত্তল বা কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাবো, উভয়ই যথেষ্ট বলে মনে হচ্ছে, যদিও এটি এখনও প্রমাণ করতে হবে। স্বতঃস্ফূর্তভাবে কঠোর বেহালতা অনন্য গ্লোবাল ন্যূনতমকে নিশ্চিত করে, এটি গাউসিটি অনুমানের কঠোরভাবে বৃদ্ধি করার জন্য।

ρ (x) = x

$\rho(x) = x$

μ_{m}

$\mu_m$

— দিমিত্রিজ কেলভ

1

জর্জ্ট এবং পোলার্ডের উত্তল প্রক্রিয়াগুলির ন্যূনতমদের জন্য কাগজ অ্যাসিম্পটিকগুলি এখানে সহায়তা করতে পারে, যদিও এটি গাউসীয় বিতরণগুলিতে বিশেষীকরণ করে না, এবং এটি বিপরীতে ফাংশনটির আরও একটি সাধারণ রূপ হিসাবে বিবেচনা করে, যাকে , যদিও তাদের স্বীকৃতিটি । এর ন্যুব্জতা ছাড়াও মধ্যে , তারা একজন সম্প্রসারণ প্রয়োজন মধ্যে প্রায় , একটি নির্দিষ্ট অর্থে যে ডেটা বন্টন এর সাথে সম্পর্কিত হচ্ছে না। সুতরাং, না সহজ শুধু বলে হয় উত্তল বা বৃদ্ধি, কিন্তু সম্ভবত আপনি গসিয়ান পরিবেশনে এবং উপপাদ্য সীমিত করেন তাহলে $\rho(x,a)$ $g(y,t)$ $g$ $t$ $g$ $t$ $\theta_0$ $\rho$ $g$ আপনি যে ফর্মটি নির্দিষ্ট করেছেন তা পেতে, আপনি শর্তগুলির একটি আরও সুন্দর সেট পেতে পারেন। আমি এখানে তাদের উপপাদ্য সম্পূর্ণরূপে আবার লিখব, কিছুটা প্যারাফ্রেসড:

ধরুন আমাদের আছে

$Y,Y_{1},Y_{2},\ldots$ distribution iid বিতরণ থেকে $F$
আগ্রহের প্যারামিটার $\theta_{0}=\theta(F)\in\cal{R}^{p}$
$\theta_{0}\in\arg\min_{t\in\cal{R}^{p}}\mathbb{E} g(Y,t)$ , যেখানে উত্তল হয় । $g(y,t)$ $t$
আমরা একটি "দুর্বল সম্প্রসারণ" have মধ্যে প্রায় : একটি এবং অধীনে গড় শূন্য সহ positive ধনাত্মক সুনির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স । $g(y,t)$ $t$ $\theta_{0}$ $g (y, θ_{0} + t) - g (y, θ_{0}) = D (y)^{T} t + R (y, t),$ $g(y,\theta_{0}+t)-g(y,\theta_{0})=D(y)^{T}t+R(y,t),$ $D(y)$ $F$ $E R (Y, t) = \frac{1}{2} t^{T} J t + o ({| t |}^{2}), as t \to 0$ $\mathbb{E} R(Y,t)=\frac{1}{2}t^{T}Jt+o(\left|t\right|^{2}),\mbox{ as }t\to0$ $J$
$\mbox{Var}[ R(Y,t) ]=o(\left|t\right|^{2})$ হিসাবে । $t\to0$
$D(Y)$ এর একটি সীমাবদ্ধ কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স । $K=\int D(y)D(y)^{T}\, dF(y)$

Esti কোনও অনুমানকারী হয় -consistent জন্য , এবং এসিম্পটোটিকভাবে সাথে স্বাভাবিক $\hat{\theta}_{n}\in\arg\min_{\theta\in\cal{R}^{p}}\sum_{i=1}^{n}g(Y_{i},t)$ $\sqrt{n}$ $\theta_{0}$

\sqrt{n} ({\hat{θ}}_{n} - θ_{0}) \overset{d}{\to} N_{p} (0, J^{- 1} K J^{- 1}) .

$\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_{n}-\theta_{0}\right)\stackrel{d}{\rightarrow}\mathcal{N}_{p}(0,J^{-1} K J^{-1}).$

— DavidR
সূত্র

0

এটি কোনও উত্তর হবে না, যেহেতু এটি আপনার সমস্যাটিকে অন্য একটিতে হ্রাস করবে, তবে আমি মনে করি এটি কার্যকর হতে পারে। আপনার প্রশ্নটি মূলত এম-এসিমেটরের ধারাবাহিকতা সম্পর্কে। সুতরাং প্রথমে আমরা সাধারণ ফলাফলগুলি দেখতে পারি। এখানে ভ্যান ডের ভার্ট বইয়ের ফলাফল (উপপাদ্য 5.7, পৃষ্ঠা 45):

উপপাদ্য আসুন র্যান্ডম ফাংশন হতে হবে এবং দিন একটি নির্দিষ্ট ফাংশন হবে যেমন যে জন্য প্রতি $M_n$ $M$ $\theta$ $\varepsilon>0$

sup_{θ \in Θ} | M_{n} (θ) - M (θ) | \overset{P}{\to} 0,

$\sup_{\theta\in\Theta}|M_n(\theta)-M(\theta)|\xrightarrow{P}0,$

sup_{θ : d (θ, θ_{0}) \geq ε} M (θ) < M (θ_{0}) .

$\sup_{\theta:d(\theta,\theta_0)\ge\varepsilon} M(\theta)<M(\theta_0).$

তারপর estimators কোন ক্রম সঙ্গে সম্ভবত এগোয় করার $\hat\theta_n$ $M_n(\hat\theta_n)\ge M_n(\theta_0)-o_P(1)$ $\theta_0$

আপনার ক্ষেত্রে , এবং $\theta_0=\mu$ $M(\theta)=E\rho(|X-\theta|)$ $M_n(\theta)=\frac{1}{n}\sum \rho(|X_i-\theta|)$

এখানে মূল শর্তটি হল ইউনিফর্ম কনভার্জেশন। 46 পৃষ্ঠায় ভ্যান ডের ভার্ট বলেছেন

যে গড় যা আপনার কেস জন্য এই অবস্থা ফাংশন সেট সমতূল্য ( আপনার ক্ষেত্রে) হচ্ছে Glivenko -ক্যান্তেলি । পর্যাপ্ত শর্তগুলির একটি সহজ সেট হ'ল কমপ্যাক্ট হওয়া, যে ফাংশনগুলি প্রতিটি জন্য অবিচ্ছিন্ন থাকে এবং যে> তারা একটি সংহত ফাংশন দ্বারা প্রভাবিত হয়। $\{m_\theta, \theta\in\Theta\}$ $m_\theta=\rho(|x-\theta|)$ $\Theta$ $\theta\to m_\theta(x)$ $x$

ইন Wooldridge এই ফলাফল প্রণয়ন করা হয় উপপাদ্য বৃহৎ সংখ্যক, পৃষ্ঠা 347 (প্রথম সংস্করণ), উপপাদ্য 12.1 এর ইউনিফর্ম দুর্বল আইন বলা হয়। এটি কেবল ভ্যান ডার ভার্ট যা বলে তাতে পরিমাপের প্রয়োজনীয়তা যুক্ত করে।

আপনার যদি আপনি নিরাপদে বাছাই করতে পারেন কিছু , আপনাকে দেখাতে হবে সেখানে ফাংশন বিদ্যমান প্রয়োজন তাই যেমন যে $\Theta=[\mu-C,\mu+C]$ $C$ $b$

| ρ (| x - θ |) | \leq b (x)

$|\rho(|x-\theta|)|\le b(x)$

সব , যেমন যে । উত্তল ফাংশন তত্ত্ব এখানে সহায়ক হতে পারে, যেহেতু আপনি মৌলিকভাবে নিতে পারেন $\theta\in\Theta$ $Eb(X)<\infty$

b (x) = sup_{θ \in Θ} | ρ (| x - θ |) | .

$b(x)=\sup_{\theta\in\Theta}|\rho(|x-\theta|)|.$

যদি এই ফাংশনটিতে চমৎকার বৈশিষ্ট্য থাকে তবে আপনি যেতে ভাল।

— mpiktas
সূত্র