প্রকার I এবং II ত্রুটির সম্ভাব্যতা কি নেতিবাচকভাবে সম্পর্কযুক্ত?

11

আমি একটি প্রাথমিক পরিসংখ্যান শ্রেণিতে যেটির জন্য আমি টিএ ছিলাম, অধ্যাপক বলেছিলেন যে প্রথম ধরণের ত্রুটি হওয়ার সম্ভাবনা বৃদ্ধি দ্বিতীয় ধরণের ত্রুটি- হওয়ার সম্ভাবনা হ্রাস পায় এবং রূপান্তরটিও সত্য। সুতরাং এটি আমার কাছে পরামর্শ দেয় যে । $\alpha$ $\beta$ $\rho_{\alpha, \beta} < 0$

তবে একজন সাধারণ অনুমানের পরীক্ষার জন্য কীভাবে এটি প্রমাণ করবেন? বক্তব্যটি কি সাধারণভাবে সত্য?

আমি একটি নির্দিষ্ট কেস চেষ্টা করতে পারি (বলুন এবং ) তবে স্পষ্টতই, এই প্রশ্নটি পরিচালনা করার পক্ষে এটি যথেষ্ট সাধারণ নয়। $H_0: \mu = \mu_0$ $H_1: \mu < \mu_0$

probability hypothesis-testing type-i-and-ii-errors

— Clarinetist
সূত্র

13

এই পরিমাণগুলি ( এবং ) এলোমেলো পরিবর্তনশীল নয়, তাই আমি তাদের পিয়ারসন পারস্পরিক সম্পর্কের কথা বলতে দ্বিধা করি; আমি কোন অর্থে প্রযোজ্য তা নিশ্চিত নই। $\alpha$ $\beta$

দু'টি নেতিবাচকভাবে এই অর্থে জড়িত যে, সাধারণত যুক্তিযুক্তভাবে কথা বলা (তবে নীচে দেখুন *) - এবং অন্যান্য জিনিস (যেমন নমুনার আকার এবং আপনি যে আকারে গণনা করেন তার আকারের আকার ) সমান - যদি আপনি পরিবর্তন করেন , তবে বিপরীত দিকে অগ্রসর হবে (বিশেষত, সাধারণ পরিস্থিতিতে, একটি ফাংশন ; determine নির্ধারণের জন্য পর্যাপ্ত পরিমাণ নির্দিষ্ট করে এবং এটি উপর নির্ভর করবে - এবং সেই সম্পর্কটি বেশ যুক্তিসঙ্গত পরিস্থিতিতে - যেমন আপনার মত 'প্রকৃত পরীক্ষায় ব্যবহার করতে চান - নেতিবাচকভাবে নির্ভর করুন)। $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\alpha$

উদাহরণস্বরূপ, কিছু পাওয়ার বক্ররেখা বিবেচনা করুন। সরানো এর সাথে পাওয়ার বক্ররেখা ( ) উপরের দিকে বা নীচে চাপিয়ে দেবে, সুতরাং কিছু সময় বক্ররেখায় (যা বক্ররেখা এবং 1 এর মধ্যবর্তী দূরত্ব) হ্রাস পায় বৃদ্ধি । এখানে একটি দ্বি-পুচ্ছ পরীক্ষা (একটি টি-পরীক্ষা বলুন) সহ একটি উদাহরণ। $\alpha$ $1-\beta$ $\beta$ $\alpha$

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

এক-লেজযুক্ত কেসটি একই রকম, তবে আপনি উপরের ছবিটির ডান-অর্ধেকের দিকে মনোযোগ দিন (ছবির বাম অর্ধের দুটি বাঁকাই শূন্যের দিকে লেগে থাকবে)

* কিছু পরিস্থিতি রয়েছে যেখানে এটি হওয়ার দরকার নেই। কোলমোগোরভ-স্মারনভ পরীক্ষার মাধ্যমে ইউনিফর্মের (0,1) পরীক্ষার কথা বিবেচনা করুন।

আসুন সম্ভাবনা বিবেচনা পরিবর্তে আমরা একটি অভিন্ন আছে (অথবা প্রকৃতপক্ষে, ইউনিট ব্যবধান বাইরে কিছু সম্ভাবনা সঙ্গে কোনো বন্টন)। $(0,1+\epsilon)$ $^\dagger$

যদি আমি এমন কোনও মান পর্যালোচনা করি যা (0,1) থাকে না, কলমোগোরভ-স্মারনভ পরীক্ষা অগত্যা নালটিকে প্রত্যাখ্যান করে না। তবে আমি একটি দ্বিতীয় পরীক্ষা করতে পারি, (আসুন একে কেএস * পরীক্ষা বলি), যা কোলমোগোরভ-স্মারনভের মতো, যখন আমরা বাইরের কোনও মান পর্যবেক্ষণ করি তখন (0,1) আমরা নালাকেও প্রত্যাখাত করি না স্বাভাবিক পরিসংখ্যান বা না সমালোচনামূলক মান পৌঁছে।

তারপরে (0,1) এর বাইরে যে কোনও সম্ভাবনা রয়েছে এমন বিকল্পের জন্য আমরা টাইপ II ত্রুটি হারকে হ্রাস করেছি (সাধারণ কেএস পরীক্ষার জন্য এটি থেকে) পরিবর্তন না করে। $\alpha$

(সেক্ষেত্রে কেএস ব্যবহার করা সাধারণত কোনও দুর্দান্ত ধারণা নয়, সুতরাং যদি আপনি জানেন যে এটির সম্ভাবনা থাকে তবে আপনাকে বিকল্পগুলি সম্পর্কে সাবধানে চিন্তা করতে হবে) $\dagger$

— গ্লেন_বি -রাইনস্টেট মনিকা
সূত্র

3

$X$ $f_0(x)$ $f_1(x)$ $H_0$ $H_1$ $\Gamma_0$ $\Gamma_1$ $\Gamma_0 \cap \Gamma_1 = \emptyset$ $\Gamma_0 \cup \Gamma_1 = \mathbb R$ $H_i$ । তারপরে, প্রকার I এবং টাইপ II ত্রুটির সম্ভাবনাগুলি হ'ল $X \in \Gamma_i$

\begin{aligned} (1) & P (Type I error) & = \int_{Γ_{1}} f_{0} (x) d x \\ (2) & P (Type II error) & = \int_{Γ_{0}} f_{1} (x) d x . \end{aligned}

$\begin{align} P(\text{Type I error}) &= \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx\tag{1}\\ P(\text{Type II error}) &= \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align}$

Γ_{0}^{'}

$\Gamma_0^\prime$

Γ_{1}^{'}

$\Gamma_1^\prime$

Γ_{1} \subset Γ_{1}^{'}

$\Gamma_1 \subset \Gamma_1^\prime$

Γ_{0}^{'} \subset Γ_{0}

$\Gamma_0^\prime \subset \Gamma_0$

যেহেতু ইন্টিগ্রালটি একটি বৃহত্তর সেটের উপরে চলে গেছে যার অর্থ নতুন সিদ্ধান্তের নিয়মে বড় ধরণের আই ত্রুটির সম্ভাবনা থাকে। তবে এটিও নোট করুন যে

\int_{Γ_{1}^{'}} f_{0} (x) d x \geq \int_{Γ_{1}} f_{0} (x) d x

$\int_{\Gamma_1^\prime}f_0(x)\,\mathrm dx \geq \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx$

কারণ অবিচ্ছেদ্য একটি ছোট সেট বেশি, এবং তাই নতুন সিদ্ধান্তের নিয়মের একটি ছোট টাইপ দ্বিতীয় ত্রুটির সম্ভাবনা রয়েছে।

\int_{Γ_{0}^{'}} f_{1} (x) d x \leq \int_{Γ_{0}} f_{1} (x) d x

$\int_{\Gamma_0^\prime}f_1(x)\,\mathrm dx \leq \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx$

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

1

$\alpha$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$

$\alpha$ $\beta$

— আমটন কর্ট
সূত্র

1

"সম্পর্ক কেবল" - মনে হচ্ছে আপনার উত্তরের লেজ শেষ কেটে গেছে?

— সিলভারফিশ