"দৃust় পরিসংখ্যান: প্রভাব কার্যকারণের উপর ভিত্তি করে" এর 2.2a.16 অনুশীলনের সমাধান

দৃust় পরিসংখ্যানের 180 পৃষ্ঠায় : প্রভাব কার্যকারণের উপর ভিত্তি করে দৃষ্টিভঙ্গি নীচের প্রশ্নটি খুঁজে পেয়েছে:

16: দেখান যে সবসময় অবস্থান-পরিবর্তিত estimators জন্য । সীমাবদ্ধ-নমুনা ব্রেকডাউন পয়েন্ট উপরের আবদ্ধ , যেখানে উভয় ক্ষেত্রে বিজোড় বা সমান হয়। $\varepsilon^*\leq\frac{1}{2}$ $\varepsilon^*_n$ $n$ $n$

দ্বিতীয় অংশ (পিরিয়ডের পরে) আসলে তুচ্ছ (প্রথম দেওয়া) তবে আমি প্রশ্নের প্রথম অংশ (বাক্য) প্রমাণ করার উপায় খুঁজে পাচ্ছি না।

এই প্রশ্নের সাথে সম্পর্কিত বইয়ের অংশে একটি আবিষ্কার করেছে (p98):

সংজ্ঞা 2: নমুনা এ অনুমানকারী এর সীমাবদ্ধ-নমুনা ব্রেকডাউন পয়েন্ট দেওয়া হয়েছে: $\varepsilon^*_n$ $T_n$ $(x_l,\ldots, x_n)$

$ε_{n}^{*} (T_{n}; x_{i}, \dots, x_{n}) := \frac{1}{n} max {m : max_{i_{1}, \dots, i_{m}} sup_{y_{1}, \dots, y_{m}} | T_{n} (z_{1}, \dots, z_{n}) | < \infty}$ $\varepsilon^*_n(T_n;x_i,\ldots,x_n):=\frac{1}{n}\max\{m:\max_{i_1,\ldots,i_m}\sup_{y_1,\ldots,y_m}\;|T_n(z_1,\ldots,z_n)|<\infty\}$
যেখানে নমুনা $(z_1,\ldots,z_n)$ প্রতিস্থাপন দ্বারা প্রাপ্ত হয় $m$ ডাটা পয়েন্টের $x_{i_1},\ldots,x_{i_m}$ নির্বিচারে মান দ্বারা $y_1,\ldots,y_m.$

এর আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা $\varepsilon^*$ নিজেই প্রায় একটি পৃষ্ঠার জন্য চলে তবে

ε^{*} = lim_{n \to \infty} ε_{n}^{*}

$\varepsilon^*=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\varepsilon^*_n$ যদিও স্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়নি অনুমান করতে পারে যে অবস্থান-আক্রমণকারীটির অর্থ হল যে

T_{n}

$T_n$ অবশ্যই

T_{n} (x_{1}, \dots, x_{n}) = T_{n} (x_{1} + c, \dots, x_{n} + c), for all c \in R

$T_n(x_1,\ldots,x_n)= T_n(x_1+c,\ldots,x_n+c), \text{ for all } c\in \Bbb{R}$

আমি (চেষ্টা করার) নীচের মন্তব্যে whuber এর প্রশ্নের উত্তর। বইটি অনুমানকারীকে সংজ্ঞায়িত করেছে $T_n$ বিভিন্ন পৃষ্ঠা, p82 থেকে শুরু করে, আমি মূল অংশগুলি পুনরুত্পাদন করার চেষ্টা করি (আমি মনে করি এটি whuber এর প্রশ্নের উত্তর দেবে):

ধরা যাক আমাদের এক-মাত্রিক পর্যবেক্ষণ আছে যা স্বতন্ত্র এবং অভিন্নরূপে বিতরণ করা হয়েছে (iid)। পর্যবেক্ষণগুলি কিছু নমুনা স্থান অন্তর্গত , যা আসল লাইনের (প্রায়শই কেবল সমান সমান হয়, তাই পর্যবেক্ষণগুলি কোনও মান গ্রহণ করতে পারে )। একটি প্যারাম্যাট্রিক মডেল সম্ভাব্যতা বিতরণের একটি পরিবার নিয়ে থাকে , নমুনা স্পেসে, যেখানে অজানা প্যারামিটার কিছু প্যারামিটার জায়গার অন্তর্গত $(X_1,\ldots,X_n)$ $\mathcal{H}$ $\mathbb{R}$ $\mathcal{H}$ $\mathbb{R}$ $F_\theta$ $\theta$ $\Theta$

...

আমরা পর্যবেক্ষণের ক্রম (প্রায় সর্বদা সম্পন্ন হয়) উপেক্ষা করে এর অভিজ্ঞতা অভিজ্ঞতা বিতরণ সহ নমুনা ) সনাক্ত করি। সাধারণত, , দ্বারা দেওয়া হয় যেখানে , 1 পয়েন্টের ভর । অনুমান হিসাবে , আমরা আসল-মূল্যবান পরিসংখ্যানকে । বিস্তৃত অর্থে, একজন প্রাক্কলনকারীকে পরিসংখ্যানগুলির ক্রম হিসাবে দেখা যায় , প্রতিটি সম্ভাব্য নমুনার আকার । আদর্শভাবে, পর্যবেক্ষণগুলি প্যারামেট্রিক মডেলের সদস্য অনুসারে আইআইডি হয় $(X_1,\ldots,X_n)$ $G_n$ $G_n$ $(1/n)\sum_{i=1}^n\Delta_{x_i}$ $\Delta_{X}$ $X$ $\theta$ $T_n=T_n(X_1,\ldots,X_n)=T_n(G_n)$ $\{T_n,n\geq 1\}$ $n$ $\{F_\theta;\theta\in\Theta\}$ কিন্তু শ্রেণী উপর সব সম্ভব সম্ভাব্যতা ডিস্ট্রিবিউশন অনেক বড়। $\mathcal{F}(\mathcal{H})$ $\mathcal{H}$

আমরা অনুমানকারীগুলি বিবেচনা করি যা কার্যকরী [যেমন, সমস্ত এবং ] এর জন্য বা দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে। এর অর্থ হ'ল আমরা ধরে নিলাম যে একটি কার্যকরী [যেখানে এর ডোমেনটি সমস্ত বিতরণের সেট , যার জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়] যেমন যে সম্ভাব্যতা যখন পর্যবেক্ষণের সত্য বন্টন অনুযায়ী IID হয় মধ্যে । আমরা বলি যে $T_n(G_n)=T(G_n)$ $n$ $G_n$ $T:\mbox{domain}(T)\rightarrow\mathbb{R}$ $T$ $\mathcal{F}(\mathcal{H})$ $T$
$T_{n} (X_{1}, \dots, X_{n}) \underset{n \to \infty}{\to} T (G)$ $T_n(X_1,\ldots,X_n)\underset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}T(G)$ $G$ $\mbox{domain}(T)$ $T(G)$ তে মান । $\{T_n;n\geq 1\}$ $G$

...

এই অধ্যায়ে, আমরা সর্বদা অনুমান করি যে অধ্যয়নের অধীনে ফাংশনগুলি হ'ল ফিশার সামঞ্জস্যপূর্ণ (ক্যালিয়ানপুর এবং রাও, ১৯৫৫): যার অর্থ এই মডেলটি অনুমানকারী সঠিক পরিমাণ পরিমাপ করে। ফিশার ধারাবাহিকতার ধারণাটি স্বাভাবিক ধারাবাহিকতা বা অ্যাসিম্পটোটিক পক্ষপাতহীনতার চেয়ে কার্যকারিতার জন্য আরও উপযুক্ত এবং মার্জিত।
$T (F_{θ}) = θ for all θ \in Θ$ $T(F_\theta)=\theta\;\mbox{ for all } \theta\in\Theta$ $\{T_n;n\geq 1\}$

self-study robust

— user603
সূত্র

এই বইটি "অনুমানকারী "টিকে ঠিক কীভাবে সংজ্ঞায়িত করে? আমার কাছে মনে হয় যে কোনও সীমিত অনুমানকারী অবশ্যই ব্রেকডাউন পয়েন্ট থাকতে হবে , তাই এটি অবশ্যই তে একরকম বিশেষ বিধিনিষেধ স্থাপন করছে ; এবং সেখানে সর্বদা সীমাবদ্ধ অবস্থান-আক্রমণকারী অনুমানক উপস্থিত থাকে (তারা ধ্রুবকগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করবে)।

T_{n}

$T_n$

1

$1$

T_{n}

$T_n$

— শুকনো

প্রসারিত উপাদানের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। এটি এখনও প্রচুর পরিমাণে পাল্টে দেওয়া উদাহরণগুলি বলে মনে হচ্ছে। একটি সাধারণ একটি হ'ল সাধারণ বিতরণের এক-প্যারামিটার পরিবারের জন্য ধ্রুবক অনুমানকারী । এটি বৈকল্পিকের অবস্থান-অদম্য প্রাক্কলনকারী। তার ভাঙ্গন বিন্দু । এটি ফিশার সামঞ্জস্যপূর্ণ (তুচ্ছভাবে), তবে আমার সংজ্ঞাটি সাবধানে ব্যাখ্যা করা দরকার: " " প্রয়োজনীয়ভাবে সমস্ত পরামিতিগুলিকে উল্লেখ করতে পারে না , তারপরে কোনও অবস্থান-অদম্য প্রাক্কলনকারী সুসংগত হতে পারে না!

T_{n} (X_{1}, \dots, X_{n}) = 1

$T_n(X_1,\ldots,X_n)=1$

1

$1$

1

$1$

θ

$\theta$

— শুশুক

@ শুভ: ধন্যবাদ, আমি আপনার পাল্টা উদাহরণটি বুঝতে পেরেছি। আমি মনে করি আমি লেখকের সাথে যোগাযোগ করব এবং আরও তথ্যের জন্য জিজ্ঞাসা করব ...

— ব্যবহারিক 603

পুরানো পরিসংখ্যান বইগুলি "প্রত্যাখ্যানকারী" ব্যবহার করে যার প্রত্যাশার চেয়ে কিছুটা আলাদাভাবে; অস্পষ্ট পরিভাষা অব্যাহত থাকে। আরও আধুনিক সমতুল্য হ'ল "সমতুল্য" (এই পোস্টের শেষে উল্লেখগুলি দেখুন)। বর্তমান প্রসঙ্গে এটির অর্থ

T_{n} (X_{1} + c, X_{2} + c, \dots, X_{n} + c) = T_{n} (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}) + c

$T_n(X_1+c,X_2+c,\ldots,X_n+c) = T_n(X_1,X_2,\ldots,X_n) + c$

সমস্ত বাস্তব । $c$

প্রশ্নটি সমাধান করার জন্য, ধরুন, এর এমন সম্পত্তি রয়েছে যা যথেষ্ট পরিমাণে , সমস্ত বাস্তব এবং সমস্ত , $T_n$ $n$ $c$ $m \le \varepsilon^{*}n$

| T_{n} (X + Y) - T_{n} (X) | = o (| c |)

$|T_n(\mathbf{X + Y}) - T_n(\mathbf{X})| = o(|c|)$

যখনই থেকে পৃথক দ্বারা সর্বাধিক সর্বাধিক মধ্যে স্থানাঙ্ক। $\mathbf Y$ $\mathbf{X}$ $c$ $m$

(ব্রেকডাউন বাউন্ডের সংজ্ঞা হিসাবে অনুমানের তুলনায় এটি একটি দুর্বল অবস্থা fact বাস্তবে, আমাদের সত্যিকার অর্থেই ধরে নেওয়া দরকার যে পর্যাপ্ত পরিমাণে বড় হলে " " এক্সপ্রেশনটি চেয়ে কম মানের গ্যারান্টিযুক্ত আকারে।) $n$ $o(|c|)$ $|c|/2$

এর বিরোধিতা দ্বারা প্রমাণ। নিই, সেই অনুযায়ী, যে এই এছাড়াও equivariant এবং অনুমান করা । তারপরে পর্যাপ্ত পরিমাণে বৃহত্তর , একটি পূর্ণসংখ্যা যার জন্য উভয় এবং । যেকোন আসল সংখ্যার জন্য সংজ্ঞা দিন $T_n$ $\varepsilon^{*} \gt 1/2$ $n$ $m(n) = \lfloor \varepsilon^{*}n\rfloor$ $m(n)/n \le \varepsilon^{*}$ $(n-m(n))/n \le \varepsilon^{*}$ $a,b$

t_{n} (a, b) = T_{n} (a, a, \dots, a, b, b, \dots, b)

$t_n(a, b) = T_n(a, a, \ldots, a,\ b, b, \ldots, b)$

যেখানে 's এবং ' s রয়েছে। পরিবর্তন করে স্থানাঙ্ক এর বা তার চেয়ে কম আমরা উভয় উপসংহারে $m(n)$ $a$ $n-m(n)$ $b$ $m(n)$

| t (a, b) - t (0, b) | = o (| a |)

$|t(a,b) - t(0,b)| = o(|a|)$

এবং

| t (a, b) - t (a, 0) | = o (| b |) .

$|t(a,b) - t(a,0)| = o(|b|).$

জন্য ত্রিভুজ বৈষম্য দাবি $c\gt 0$

\begin{aligned} c = | t_{n} (c, c) - t_{n} (0, 0) | & \leq | t_{n} (c, c) - t_{n} (c, 0) | + | t_{n} (c, 0) - t_{n} (0, 0) | \\ = o (c) + o (c) \\ < c / 2 + c / 2 \\ = c \end{aligned}

$\eqalign{ c = |t_n(c, c) - t_n(0, 0)| &\le |t_n(c, c) - t_n(c, 0)| + |t_n(c, 0) - t_n(0,0)| \\&= o(c) + o(c) \\&\lt c/2 + c/2 \\ &= c}$

পেনাল্টিমেট লাইনে কঠোর বৈষম্য যথেষ্ট পরিমাণ জন্য নিশ্চিত করা হয় । এটি দ্বন্দ্ব বোঝায়, , $n$ $c \lt c$ $\varepsilon^{*} \le 1/2.$

তথ্যসূত্র

ই এল লেহম্যান, পয়েন্ট অনুমানের তত্ত্ব । জন উইলে 1983।

পাঠ্যটিতে (অধ্যায় 3, বিভাগ 1) এবং তার সাথে একটি পাদটীকা লেহমান লিখেছেন

একটি মূল্নির্ধারক পরিতৃপ্ত সব জন্য বলা হবে equivariant ... $\delta(X_1+a, \ldots, X_n+a) = \delta(X_1,\ldots,X_n)+a$ $a$

কিছু লেখক এ জাতীয় অনুমানকারীকে "আক্রমণকারী" বলে অভিহিত করে। যেহেতু এটি পরামর্শ দেয় যে অনুমানকারীটি অধীনে অপরিবর্তিত রয়েছে , তাই সমস্ত জন্য সন্তুষ্ট ফাংশনগুলির জন্য এই পদটি সংরক্ষণ করা ভাল । $X_i^\prime = X_i+a$ $u(x+a)=u(x)$ $x,a$

— whuber
সূত্র

হ্যাঁ আমি গতকাল গ্রন্থটির মূল লেখকের সাথে ব্যবহার করা বিপর্যয়ের আসল সংজ্ঞা সম্পর্কে একই প্রশ্নের সাথে যোগাযোগ করেছি (আমি সূচকে দেখেছি এবং বইটিতে এটি স্পষ্টভাবে খুঁজে পাই না)। আমি উত্সাহিত করেছি কারণ আমি মনে করি আপনার উত্তরটি সঠিক, তবে লেখক এটি গ্রহণের আগে নিশ্চিত হওয়ার জন্য কয়েক দিন সময় দেবেন।

— ব্যবহারকারী 60

আমি লেখকের কাছ থেকে একটি উত্তর পাইনি তবে উপরে উপস্থাপন করা যুক্তিগুলি (উত্তর এবং মন্তব্যে) আমাকে নিশ্চিত করেছে যে এটি অবশ্যই সমস্যার সঠিক ব্যাখ্যা হতে হবে।

— ব্যবহারকারী 60