সাধারণ বিতরণের উচ্চতর অর্ডার পণ্যগুলির উপর প্রত্যাশা

আমার দুটি সাধারণত বিতরণযোগ্য ভেরিয়েবলগুলি এবং সাথে শূন্য এবং কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স । আমি এন্ট্রিগুলির ক্ষেত্রে এর মান গণনা করার চেষ্টা করতে আগ্রহী । $X_1$ $X_2$ $\Sigma$ $E[X_1^2 X_2^2]$ $\Sigma$

আমি পেতে সম্পূর্ণ সম্ভাবনার আইনটি ব্যবহার করেছি get তবে আমি নিশ্চিত নই যে অভ্যন্তরীণ প্রত্যাশা কমে যায়। এখানে অন্য পদ্ধতি আছে? $E[X_1^2 X_2^2] = E[X_1^2 E[X_2^2 | X_1]]$

ধন্যবাদ।

সম্পাদনা করুন: ভেরিয়েবলগুলি সাধারণত বহু বিতরণ করা হয়।

normal-distribution conditional-expectation

— AGK
সূত্র

দো এবং একটি ভোগ bivariate এছাড়াও সাধারন বন্টনের? (কেবল এই বলে যে এবং ম্যাট্রিক্সের সাথে স্বাভাবিক যৌথ বন্টন দ্বিবিভক্ত স্বাভাবিক কিনা এই সিদ্ধান্তে যথেষ্ট নয়)।

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

Σ

$\Sigma$

— দিলীপ সরোতে

আমি মনে আছে নির্দিষ্ট আবেদন জন্য, এবং একটি bivariate স্বাভাবিক বন্টন, বহুচলকীয় কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য দ্বারা আছে। আমি আমার মূল পোস্টে এটি উল্লেখ করতে ভুলে গেছি।

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— এজিকে

@ এ কে কে আপনি যদি আপনার পোস্টটি স্পষ্ট করতে চান তবে একটি "সম্পাদনা" বোতাম রয়েছে যা আপনাকে পরিবর্তন করতে দেয়। ভবিষ্যতের পাঠকদের পক্ষে এটি আরও ভাল, যারা প্রশ্নের নীচে মন্তব্যগুলিতে মূল তথ্য সন্ধান করতে হবে না।

— সিলভারফিশ

প্রত্যাশা পরিষ্কারভাবে স্কোয়ারড স্কেল কারণের পণ্য সমানুপাতিক । আনুপাতিকতা লাগাতার ভেরিয়েবল, যা হ্রাস standardizing দ্বারা প্রাপ্ত হয় পারস্পরিক সম্পর্ক সঙ্গে সংগতি ম্যাট্রিক্স থেকে। $\sigma_{11}\sigma_{22}$ $\Sigma$ $\rho = \sigma_{12}/\sqrt{\sigma_{11}\sigma_{22}}$

দ্বিঘাতীয় স্বাভাবিকতা ধরে নিলে, তারপরে https://stats.stackexchange.com/a/71303 এ বিশ্লেষণ অনুসারে আমরা ভেরিয়েবলগুলি এতে পরিবর্তন করতে পারি

X_{1} = X, X_{2} = ρ X + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y

$X_1 = X,\ X_2 = \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y$

যেখানে এর একটি স্ট্যান্ডার্ড (অসংরক্ষিত) দ্বিখণ্ডিত সাধারণ বিতরণ রয়েছে এবং আমাদের কেবল গণনা প্রয়োজন $(X,Y)$

E (X^{2} (ρ X + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y)^{2}) = E (ρ^{2} X^{4} + (1 - ρ^{2}) X^{2} Y^{2} + c X^{3} Y)

$\mathbb{E}\left(X^2 (\rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y)^2\right) = \mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y)$

যেখানে ধ্রুবক এর সুনির্দিষ্ট মান বিবেচনা করে না। ( বিপরীতে কে পুনরায় চাপ দেওয়ার পরে হল অবশিষ্ট ) মানক সাধারণ বিতরণের জন্য অবিচ্ছিন্ন প্রত্যাশা ব্যবহার $c$ $Y$ $X_2$ $X_1$

E (X^{4}) = 3, E (X^{2}) = E (Y^{2}) = 1, E Y = 0

$\mathbb{E}(X^4)=3,\ \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{E}(Y^2)=1,\ \mathbb{E}Y=0$

এবং তিনি লক্ষ করেন এবং হয় স্বাধীন উৎপাদনের $X$ $Y$

E (ρ^{2} X^{4} + (1 - ρ^{2}) X^{2} Y^{2} + c X^{3} Y) = 3 ρ^{2} + (1 - ρ^{2}) + 0 = 1 + 2 ρ^{2} .

$\mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y) = 3\rho^2 + (1-\rho^2) + 0 = 1 + 2\rho^2.$

এটিকে by দিয়ে গুণ করে $\sigma_{11}\sigma_{22}$

E (X_{1}^{2} X_{2}^{2}) = σ_{11} σ_{22} + 2 σ_{12}^{2} .

$\mathbb{E}(X_1^2 X_2^2) = \sigma_{11}\sigma_{22} + 2\sigma_{12}^2.$

এ যে কোনও বহুবর্ষের প্রত্যাশা সন্ধান করতে একই পদ্ধতি প্রযোজ্য , কারণ এটি এবং বহুবর্ষীয় হয়ে যায় যে, যখন প্রসারিত, একটি বহুপদী হয় স্বাধীন স্বাভাবিকভাবে বিতরণ ভেরিয়েবল এবং । থেকে $(X_1,X_2)$ $(X, \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right)Y)$ $X$ $Y$

E (X^{2 k}) = E (Y^{2 k}) = \frac{(2 k)!}{k! 2^{k}} = π^{- 1 / 2} 2^{k} Γ (k + \frac{1}{2})

$\mathbb{E}(X^{2k}) = \mathbb{E}(Y^{2k}) = \frac{(2k)!}{k!2^k} = \pi^{-1/2} 2^k\Gamma\left(k+\frac{1}{2}\right)$

অবিচ্ছেদ্য (প্রতিসাম্য দ্বারা শূন্যের সমান বিজোড় মুহুর্তের সাথে) আমরা পেতে পারি $k\ge 0$

E (X_{1}^{2 p} X_{2}^{2 q}) = (2 q)! 2^{- p - q} \sum_{i = 0}^{q} ρ^{2 i} (1 - ρ^{2})^{q - i} \frac{(2 p + 2 i)!}{(2 i)! (p + i)! (q - i)!}

$\mathbb{E}(X_1^{2p}X_2^{2q}) = (2q)!2^{-p-q}\sum_{i=0}^q \rho^{2i}(1-\rho^2)^{q-i}\frac{(2p+2i)!}{(2i)! (p+i)! (q-i)!}$

(শূন্যের সমান মনোমালিন্যের অন্যান্য সমস্ত প্রত্যাশা সহ)। এটি হাইপারজেমেট্রিক ফাংশনের সমানুপাতিক (প্রায় সংজ্ঞা অনুসারে: জড়িত ম্যানিপুলেশনগুলি গভীর বা শিক্ষণীয় নয়),

\frac{1}{π} 2^{p + q} {(1 - ρ^{2})}^{q} Γ (p + \frac{1}{2}) Γ (q + \frac{1}{2})_{2} F_{1} (p + \frac{1}{2}, - q; \frac{1}{2}; \frac{ρ^{2}}{ρ^{2} - 1}) .

$\frac{1}{\pi} 2^{p+q} \left(1-\rho ^2\right)^q \Gamma \left(p+\frac{1}{2}\right) \Gamma \left(q+\frac{1}{2}\right) \, _2F_1\left(p+\frac{1}{2},-q;\frac{1}{2};\frac{\rho ^2}{\rho ^2-1}\right).$

হাইপারজোমেট্রিক ফাংশন বার নানজারো গুণক সংশোধন হিসাবে দেখা হয় । $\left(1-\rho ^2\right)^q$ $\rho$

— whuber
সূত্র

বিস্তারিত উত্তর দেওয়ার জন্য ধন্যবাদ! আমি অন্যান্য বহুভুজের সাথে সম্পর্কিত প্রশ্নগুলি সম্পর্কেও ভাবছি, সুতরাং এটি সত্যই সহায়ক কাঠামো। এটি খুব চালাক রূপান্তর আমি আগে দেখিনি। শান্ত!

— এজিके

আপনার তদন্তে সহায়তা করার জন্য, আমি সাধারণ বহুভুজের জন্য বিশদ সরবরাহ করেছি। মূলত এই উত্তরটি লেখার সময় আমি বিস্মিত হয়েছিলাম, বুঝতে পেরেছিলাম যে ফ্রেডম্যান, পিসানী এবং পার্ভেসের প্রাথমিক পরিসংখ্যান পাঠ্যপুস্তকটি থেকে আমি এই রূপান্তরটি শিখেছি: আমরা কলেজের নবীনদের এই শিক্ষা দিই!

— শুকনো