সম্ভাবনা ফাংশন গণনা কিভাবে

3 টি ইলেকট্রনিক উপাদানগুলির লাইফটাইম এবং । এই এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি পরামিতি সূচকীয় বিতরণ থেকে 3 মাপের এলোমেলো নমুনা হিসাবে মডেল করা হয়েছিল । সম্ভাবনা ফাংশনটি $X_{1} = 3, X_{2} = 1.5,$ $X_{3} = 2.1$ $\theta$ $\theta > 0$

$f_{3}(x|\theta) = \theta^{3} exp(-6.6\theta)$ , যেখানে । $x = (2, 1.5, 2.1)$

এবং তারপর সমস্যা MLE নির্ধারণ করতে মান ফাইন্ডিং দ্বারা আয় যে সম্ভব । আমার প্রশ্নটি হল, আমি সম্ভাবনার কাজটি কীভাবে নির্ধারণ করব? আমি সূচকীয় বিতরণের পিডিএফটি দেখলাম, তবে এটি আলাদা। সুতরাং সম্ভাবনা ফাংশন সবসময় একটি সমস্যার জন্য আমাকে দেওয়া হয়? নাকি আমাকে নিজেই তা নির্ধারণ করতে হবে? যদি তাই হয়, কিভাবে? $\theta$ $log f_{3}(x|\theta)$

distributions maximum-likelihood exponential

— আদ্রিয়ান
সূত্র

কেন আপনি কেবল 3 টি পর্যবেক্ষণ দিয়ে সম্ভাবনা অনুমান করতে চান? জন্য আপনি যে অনুমানটি পাবেন তা পক্ষপাতদুষ্ট হবে এবং বিপুল পরিমাণে বৈকল্পিক থাকবে। এটা কি এইচডাব্লু?

θ

$\theta$

— জাচারি ব্লুমেনফিল্ড

আপনি কি জানেন সম্ভাবনার সংজ্ঞাটি কী?

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা 10'15

কোনও নমুনার সম্ভাবনা ফাংশন হ'ল এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির যৌথ ঘনত্ব যা জড়িত তবে অজানা প্যারামিটারগুলির একটি কার্য হিসাবে এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি থেকে উপলব্ধির নির্দিষ্ট নমুনা হিসাবে দেখা হয়।

আপনার ক্ষেত্রে, এটি এখানে উপস্থিতি অনুমান করা হয় যে এই বৈদ্যুতিন উপাদানগুলির প্রতিটি জীবন অনুসরণ করে (যেমন এটির একটি প্রান্তিক বিতরণ রয়েছে), অভিন্ন রেট প্যারামিটার সহ একটি ক্ষতিকারক বিতরণ $\theta$ , এবং তাই প্রান্তিক পিডিএফ হ'ল:

চ_{{এক্স}_{আমি}} ({এক্স}_{আমি} | θ) = θ ই^{- θ {এক্স}_{আমি}}, আমি = 1, 2, 3

$f_{X_i}(x_i\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_i}, \;\; i=1,2,3$

এছাড়াও, এটি উপস্থিত হয় যে প্রতিটি উপাদানগুলির জীবন অন্যদের জীবন থেকে সম্পূর্ণ স্বাধীন। এই জাতীয় ক্ষেত্রে যৌথ ঘনত্ব ফাংশন হ'ল তিনটি ঘনত্বের পণ্য,

চ_{এক্স 1, এক্স 2, এক্স 3} ({এক্স}_{1}, {এক্স}_{2}, {এক্স}_{3} | θ) = θ ই^{- θ {এক্স}_{1}} \cdot θ ই^{- θ {এক্স}_{2}} \cdot θ ই^{- θ {এক্স}_{3}} = θ^{3} \cdot মেপুঃ {- θ Σ_{আমি = 1}^{3} {এক্স}_{আমি}}

$f_{X1,X2,X3}(x_1,x_2,x_3\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_1} \cdot \theta e^{-\theta x_2}\cdot \theta e^{-\theta x_3} = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$

এটি নমুনার সম্ভাবনা ফাংশনে রূপান্তর করতে, আমরা এটিকে একটি ফাংশন হিসাবে দেখি $\theta$ একটি নির্দিষ্ট নমুনা দেওয়া $x_i$ 'S।

এল (θ | {{এক্স}_{1}, {এক্স}_{2}, {এক্স}_{3}}) = θ^{3} \cdot মেপুঃ {- θ Σ_{আমি = 1}^{3} {এক্স}_{আমি}}

$L(\theta \mid \{x_1,x_2,x_3\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$

ফাংশনের পরিবর্তনশীল হিসাবে বিবেচনা করা হয় তা চিহ্নিত করার জন্য যেখানে কেবল বাম-হাতের পরিবর্তন হয়েছে। আপনার ক্ষেত্রে উপলভ্য নমুনা হ'ল তিনটি জীবনকাল observed $\{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}$ , এবং তাই $\sum_{i=1}^3x_i = 6.6$ । তারপরে সম্ভাবনা থাকে

এল (θ | {{এক্স}_{1} = 3, {এক্স}_{2} = 1.5, {এক্স}_{3} = 2.1}) = θ^{3} \cdot মেপুঃ {- 6.6 θ}

$L(\theta \mid \{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-6.6\theta \right\}}$

অন্য কথায়, সম্ভবত আপনাকে দেওয়া হয়েছিল, সুনির্দিষ্ট নির্দিষ্ট নমুনা এটি ইতিমধ্যে inোকানো হয়েছে। এটি সাধারণত করা হয় না, অর্থাত্ আমরা সাধারণত সম্ভাবনার তাত্ত্বিক উপস্থাপনায় "থামি" $x_i$ এর, আমরা এর সাথে সম্মানের সাথে এর সর্বাধিককরণের শর্তগুলি উত্পন্ন করি $\theta$ , এবং তারপরে আমরা সুনির্দিষ্ট শর্তগুলির নির্দিষ্ট সংখ্যার নমুনায় প্লাগ করি $x$ - মূল্যগুলি, এর জন্য একটি নির্দিষ্ট অনুমান পাওয়ার জন্য obtain $\theta$ ।

স্বীকার করা হলেও, এর মতো সম্ভাবনার দিকে তাকালে, এই বিষয়টি আরও স্পষ্ট হয়ে উঠতে পারে যে এখানে অনুমানের জন্য (নির্দিষ্ট বুনিয়াদি অনুমানের জন্য) যা গুরুত্বপূর্ণ, তা উপলব্ধির সমষ্টি , এবং তাদের স্বতন্ত্র মূল্যবোধ নয়: উপরের সম্ভাবনাটি "নমুনা নয়" -স্পেসিফিক "তবে বরং" সম-অফ-রিয়েলাইজেশন-নির্দিষ্ট ": যদি আমাদের অন্য কোনও দেওয়া হয় $n=3$ নমুনা যার জন্য এর উপাদানগুলির যোগফল আবার $6.6$ , আমরা এর জন্য একই অনুমান পাবেন $\theta$ (এটি মূলত এটির অর্থ যা বোঝায় $\sum x$ এটি একটি "পর্যাপ্ত" পরিসংখ্যান - এটি সমস্ত তথ্য ধারণ করে যা নমুনা নির্দিষ্ট বিতরণীয় অনুমানের অধীনে অনুমানের জন্য সরবরাহ করতে পারে)।

— আলেকোস পাপাদোপল্লোস
সূত্র