মুহূর্তগুলি ঠিক কী? তারা কীভাবে প্রাপ্ত?

19

জনসংখ্যার সমস্ত পরামিতি অনুমান না করা পর্যন্ত আমরা সাধারণত "জনসংখ্যার মুহুর্তগুলিকে তাদের নমুনা অংশের সাথে তুলনা করে" মুহুর্তের অনুমানের পদ্ধতির সাথে পরিচয় করি; যাতে কোনও সাধারণ বিতরণের ক্ষেত্রে আমাদের কেবল প্রথম এবং দ্বিতীয় মুহুর্তের প্রয়োজন হবে কারণ তারা এই বিতরণটিকে পুরোপুরি বর্ণনা করে।

$E(X) = \mu \implies \sum_{i=1}^n X_i/n = \bar{X}$

$E(X^2) = \mu^2 + \sigma^2 \implies \sum_{i=1}^n X_i^2/n$

এবং আমরা তাত্ত্বিক পর্যন্ত গনা পারে অতিরিক্ত মুহুর্ত: $n$

$E(X^r) \implies \sum_{i=1}^nX_i^r /n$

কী মুহুর্তের জন্য আমি অন্তর্দৃষ্টি তৈরি করতে পারি? আমি জানি যে পদার্থবিজ্ঞানে এবং গণিতে এগুলি একটি ধারণা হিসাবে বিদ্যমান, তবে আমি সরাসরি প্রয়োগযোগ্যও পাই না, বিশেষত কারণ আমি কীভাবে গণ ধারণা থেকে ডেটা পয়েন্টে বিমূর্ততা তৈরি করতে জানি না। শব্দটি পরিসংখ্যানগুলিতে একটি নির্দিষ্ট উপায়ে ব্যবহৃত হয়েছে বলে মনে হয়, যা অন্যান্য শাখায় ব্যবহার থেকে পৃথক।

আমার ডেটাটির কোন বৈশিষ্ট্য নির্ধারণ করে যে সামগ্রিকভাবে কতগুলি ( $r$ ) মুহুর্ত রয়েছে?

— কনস্ট্যান্টিন
সূত্র

7

শব্দটির অর্থ পদার্থবিজ্ঞানে একই জিনিস হয়, যখন সম্ভাব্যতা বন্টনের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়। এখানে দেখুন , যার সমীকরণ রয়েছে

μ_{n} = \int r^{n} ρ (r) d r

$\mu_n=\int r^n\,\rho(r)\,dr$ , " যেখানে $\rho$ হ'ল চার্জের ঘনত্ব, ভর বা যা পরিমাণ বিবেচনা করা হচ্ছে " এর বন্টন । যখন "জিনিস বিবেচনা করা হচ্ছে" সম্ভাবনার ঘনত্ব হয়, আপনার সম্ভাবনার সাথে একই মুহূর্ত থাকে। সেগুলি কাঁচা মুহূর্ত (উত্স সম্পর্কে মুহূর্ত)। তুলনা করে ... (সিটিডি)

— গ্লেন_বি -রাইনস্টেট মনিকা

2

মুহুর্তগুলি কোয়ান্টাইলের মতো এলোমেলো ভেরিয়েবল বিতরণের বৈশিষ্ট্য। মুহুর্তগুলি প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা প্যারামিটারাইজড হয় এবং সম্পূর্ণরূপে একটি বিতরণকে বৈশিষ্ট্যযুক্ত করে তোলে ( মুহুর্তে উত্পন্ন কার্যকারিতা দেখুন )। এটি অস্বীকার করে না যে কিছু বিতরণের জন্য মুহুর্তগুলির মধ্যে নিখুঁত কার্যকরী নির্ভরতা থাকতে পারে, তাই সমস্ত মুহুর্ত সর্বদা বন্টনকে চিহ্নিত করার প্রয়োজন হয় না। (1/2)

— tchakravarty

মুহুর্তগুলি

\geq 3

$\geq 3$ স্বাভাবিক বিতরণের জন্য প্রথম

উপর কার্যকরীভাবে নির্ভর করে, সুতরাং প্রথম দুটি পর্যায়ে এবং ভিন্নতা সহ বিতরণকে বৈশিষ্ট্যযুক্ত করে তোলে। (2/2)

— tchakravarty

5

(সিটিডি) ... গণিতে মুহূর্তগুলি একই ( ), 0 এর চেয়ে প্রায় ছাড়া (যেমন পদার্থবিজ্ঞানের একটি মাত্র একটি সাধারণ রূপ - তবে যেহেতু তারা কেবলমাত্র উত্স পরিবর্তনের সাথে একই, তাই একজন পদার্থবিজ্ঞানী সঠিকভাবে "কীভাবে এটি আলাদা?" বলবেন)। এগুলি সম্ভাবনার মতো একই , যখন ঘনত্ব হয়। আমার কাছে, তিনটিই আলাদা জিনিস না বলে 'মুহুর্ত' বলার সময় একই জিনিস নিয়ে কথা বলছে।

μ_{n} = \int_{- \infty}^{\infty} (x - c)^{n} f (x) d x

$\mu_n=\int_{-\infty}^\infty (x - c)^n\,f(x)\,dx$

c

$c$

f

$f$

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

3

আমি নিশ্চিত যে মুহুর্ত এবং স্বজ্ঞাততা সম্পর্কে পোস্ট করা অনেক থ্রেডে আপনি উত্তরগুলি খুঁজে পেতে পারেন । পরিসংখ্যানগুলি মুহূর্তগুলিকে ঠিক যেমনভাবে পদার্থবিজ্ঞান এবং গণিতে ব্যবহৃত হয় সেগুলি ব্যবহার করে - এটি তিনটি ক্ষেত্রেই একই সংজ্ঞা সহ একই ধারণা।

— হোবল

17

আমি একটি পদার্থবিজ্ঞানের ক্লাস নিয়ে অনেক দিন হয়ে গেছে, সুতরাং এর কোনওটি ভুল হলে আমাকে জানান।

শারীরিক অ্যানালগ সহ মুহুর্তগুলির সাধারণ বিবরণ

এলোমেলো পরিবর্তনশীল নিন । চারপাশে এর তম মুহূর্তটি হ'ল: এটি একটি মুহুর্তের দৈহিক অর্থে হুবহু মিলে যায়। কল্পনা করুন পিডিএফ কর্তৃক প্রদত্ত ঘনত্ব বাস্তব লাইন বরাবর পয়েন্ট সংগ্রহ হিসাবে। এই লাইন অধীনে একটি ফালক্রাম রাখুন এবং গণক যে ফালক্রাম আপেক্ষিক মুহূর্ত শুরু, এবং গণনার পরিসংখ্যানগত মুহূর্ত ঠিক মিলা হবে। $X$ $n$ $X$ $c$

m_{n} (c) = E [(X - c)^{n}]

$m_n(c)=E[(X-c)^n]$

X

$X$

c

$c$

বেশিরভাগ সময়ে এর -th মুহূর্ত : প্রায় 0 মুহূর্ত (মুহূর্ত যেখানে ফালক্রাম 0 এ স্থাপন করা হয়) বোঝায় দ্য -th কেন্দ্রীয় মুহূর্ত হল: এটি এমন মুহুর্তগুলির সাথে সামঞ্জস্য করে যেখানে ভর কেন্দ্রে স্থাপন করা হয়, তাই বিতরণটি ভারসাম্যপূর্ণ। এটি মুহুর্তগুলিকে আরও সহজে ব্যাখ্যা করতে দেয়, যেমন আমরা নীচে দেখব। প্রথম কেন্দ্রীয় মুহূর্ত সর্বদা শূন্য হবে কারণ বিতরণ ভারসাম্যপূর্ণ। $n$ $X$

m_{n} = E [X^{n}]

$m_n=E[X^n]$

n

$n$

X

$X$

{\hat{m}}_{n} = m_{n} (m_{1}) = E [(X - m_{1})^{n}]

$\hat m_n=m_n(m_1) =E[(X-m_1)^n]$

-th আদর্শায়িত মুহূর্ত হল: আবার, সহজ ব্যাখ্যা করার অনুমতি দেয়। প্রথম মানযুক্ত মুহুর্তটি সর্বদা শূন্য, দ্বিতীয়টি সর্বদা এক হবে। এটি কোনও ভেরিয়েবলের স্ট্যান্ডার্ড স্কোর (জেড-স্কোর) এর মুহুর্তের সাথে মিলে যায়। এই ধারণার জন্য আমার কাছে দুর্দান্ত শারীরিক অ্যানালগ নেই। $n$ $X$

{\tilde{m}}_{n} = \frac{{\hat{m}}_{n}}{{(\sqrt{{\hat{m}}_{2}})}^{n}} = \frac{E [(X - m_{1})^{n}]}{{(\sqrt{E [(X - m_{1})^{2}]})}^{n}}

$\tilde m_n = \dfrac{\hat m_n}{\left(\sqrt{\hat m_2}\right)^n}=\dfrac{E[(X-m_1)^n]} {\left(\sqrt{E[(X-m_1)^2]}\right)^n}$

সাধারণত ব্যবহৃত মুহুর্তগুলি

যে কোনও বিতরণের জন্য সম্ভাব্য অসীম মুহুর্ত রয়েছে। পর্যাপ্ত মুহুর্তগুলি প্রায় সর্বদা সম্পূর্ণরূপে বৈশিষ্ট্যযুক্ত এবং বিতরণ হবে (এটি নিশ্চিত হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় শর্তগুলি অর্জন করা মুহূর্ত সমস্যার একটি অংশ ) is চারটি মুহূর্ত সাধারণত পরিসংখ্যানগুলিতে প্রচুর কথা হয়:

গড় - প্রথম মুহূর্ত (প্রায় শূন্যকে কেন্দ্র করে)। এটি বিতরণের গণের কেন্দ্রবিন্দু, বা বিকল্পভাবে এটি 0 এর ফুলক্রামের সাথে সম্পর্কিত বিতরণের টর্কের মুহুর্তের সাথে সমানুপাতিক।
বৈকল্পিক - দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় মুহূর্ত। বিতরণ ছড়িয়ে পড়েছে তার প্রতিনিধিত্বকারী হিসাবে ব্যাখ্যা করা । এটি এর পূর্ণাঙ্গের উপর ভারসাম্যপূর্ণ বন্টনের জড়তার মুহুর্তের সাথে মিলে যায়। $X$
জীবাণু - তৃতীয় কেন্দ্রীয় মুহূর্ত (কখনও কখনও মানযুক্ত )। এক দিক বা অন্য দিকে বন্টনের স্কিউ এর একটি পরিমাপ। একটি সাধারণ বিতরণের সাথে সম্পর্কিত (যার কোনও স্কিউ নেই), ইতিবাচকভাবে স্কিউড বিতরণে অত্যন্ত উচ্চ ফলাফলের কম সম্ভাবনা থাকে, নেতিবাচকভাবে স্কিউড বিতরণে অত্যন্ত কম ফলাফলের একটি ছোট সম্ভাবনা থাকে। শারীরিক অ্যানালগগুলি কঠিন, তবে আলগাভাবে এটি কোনও বন্টনের অসম্পূর্ণতা পরিমাপ করে। উদাহরণ হিসাবে, নীচের চিত্রটি উইকিপিডিয়া থেকে নেওয়া হয়েছে ।
কুর্তোসিস - চতুর্থ মানযুক্ত মুহূর্ত, সাধারণত অতিরিক্ত কুর্তোসিস, চতুর্থ মানযুক্ত মুহুর্তটি বিয়োগ তিনটি। ক্রুটোসিস যা ব্যাপ্তি পরিমাপ বন্টন আপেক্ষিক কেন্দ্রে স্থান তত বেশি! মুদ্রার উলটা পিঠ হয়। উচ্চতর কুরটোসিস মানে গড় থেকে কম ঘন ঘন বিচ্যুতি এবং আরও ঘন ঘন ছোট বিচ্যুতি। এটি প্রায়শই সাধারণ বিতরণের তুলনায় ব্যাখ্যা করা হয়, যার 3 র্থ 4 ম মানের মুহূর্ত রয়েছে, সুতরাং 0 এর একটি অতিরিক্ত কুর্তোসিস এখানে একটি শারীরিক এনালগ আরও জটিল, তবে নীচের চিত্রটিতে উইকিপিডিয়া থেকে নেওয়া , উচ্চ শিখর সহ বিতরণ বৃহত্তর কুরটোসিস আছে। $X$

আমরা কুর্তোসিসের বাইরে কিছু মুহুর্তের কথা খুব কমই বলি, কারণ তাদের কাছে খুব কম অন্তর্দৃষ্টি রয়েছে। এটি দ্বিতীয় মুহুর্তের পরে থেমে থাকা পদার্থবিদদের মতো।

— jayk
সূত্র

6

এটি কিছুটা পুরানো থ্রেড, তবে আমি এফজি নু যে মন্তব্যে লিখেছেন "মুহুর্তগুলি প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা প্যারামিটারাইজড, এবং সম্পূর্ণরূপে একটি বিতরণকে চিহ্নিত করেছে" মন্তব্যে একটি ভুল ব্যাখ্যা সংশোধন করতে চাই।

মুহুর্তগুলি সম্পূর্ণরূপে কোনও বিতরণকে চিহ্নিত করে না। বিশেষত, সমস্ত মুহুর্তের জ্ঞান, এমনকি যদি তা বিদ্যমান থাকে তবে অগত্যা স্বতন্ত্রভাবে বিতরণটি নির্ধারণ করে না।

আমার প্রিয় সম্ভাব্যতা বইয়ের জন্য, ফিলার "প্রব্যাবিলিটি থিওরি এবং এর অ্যাপ্লিকেশনগুলির দ্বিতীয় খণ্ডের পরিচিতি" ( সাধারণ বিতরণের বাস্তব জীবনের উদাহরণগুলিতে আমার উত্তর দেখুন ), বিভাগের অষ্টম পৃষ্ঠা 22.২7-২৮২, পিপি 227-228 তে লগনারমাল নির্ধারিত নয় এর মুহুর্তগুলির দ্বারা, এর অর্থ এমন অন্যান্য বিতরণ রয়েছে যেগুলি সমস্ত অসীম সংখ্যক মুহুর্ত লগনরমাল, তবে বিভিন্ন বিতরণ ফাংশনগুলির সমান। যেমনটি বহুলভাবে জানা যায়, মোমেন্ট জেনারেটিং ফাংশন লগনারমালের জন্য বিদ্যমান নেই এবং একই মুহুর্তগুলির অধিকারী এই অন্যান্য বিতরণগুলির পক্ষেও তা হতে পারে না।

যেমন বলা হয়েছে পি। 228, একটি নরজারো এলোমেলো পরিবর্তনশীল সমস্ত মুহূর্তগুলি উপস্থিত থাকলে এবং তার মুহুর্তগুলি দ্বারা নির্ধারিত হয় $X$

\sum_{n = 1}^{\infty} (E [X^{2 n}])^{- 1 / (2 n)}

$\sum_{n=1}^{\infty} (\mathbb{E}[X^{2n}])^{-1/(2n)}$

অপসারী হয়। মনে রাখবেন যে এটি যদি হয় না এবং কেবল যদি। এই শর্তটি লগনারমালকে ধরে রাখে না এবং প্রকৃতপক্ষে এটি এর মুহুর্তগুলির দ্বারা নির্ধারিত হয় না।

অন্যদিকে, বিতরণগুলি (এলোমেলো ভেরিয়েবল) যা সমস্ত অসীম মুহুর্তগুলিকে ভাগ করে নেয়, কেবলমাত্র অসমতার কারণে যা তাদের মুহুর্তগুলি থেকে উত্পন্ন হতে পারে তার দ্বারা এতটা পৃথক হতে পারে।

— মার্ক এল স্টোন
সূত্র

বিতরণ সীমাবদ্ধ যখন এটি যথেষ্ট সরল করা হয়, এই ক্ষেত্রে মুহুর্তগুলি সর্বদা বিতরণ সম্পূর্ণরূপে নির্ধারণ করে (স্বতন্ত্র)।

— অ্যালেক্স আর।

@ অ্যালেক্স এটি ফেলারে উদ্ধৃত ফলাফলের তাত্ক্ষণিক পরিণতি।

— whuber

এটি সম্পূর্ণরূপে ঠিক বলা যায় না যে লগনরমালটির জন্য মুহুর্ত তৈরির কার্যটি বিদ্যমান নেই। মিগ্রাফের ধারণা সম্পর্কে সর্বাধিক দরকারী উপপাদ্যগুলি শূন্যযুক্ত একটি উন্মুক্ত বিরতিতে উপস্থিত রয়েছে এবং কঠোর অর্থে এটির অস্তিত্ব নেই। তবে এটি শূন্য থেকে উদ্ভূত একটি রশ্মিতে বিদ্যমান, এবং এটি দরকারী তথ্যও দেয়।

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন

@ কেজিটিল বি হালওয়ারসন, আপনি শূন্য থেকে উদ্ভূত একটি রশ্মির উপর কোনও লগমনরমের এমজিএফের অস্তিত্ব থেকে প্রাপ্ত কিছু দরকারী তথ্য বর্ণনা করতে পারেন (কিছু কিছু)? কি রে হবে?

— মার্ক এল স্টোন

@Kjetil বি হালভারসনকে প্রশ্নের উত্তর হিসাবে উপরের মন্তব্যের ঝাঁকুনি ..

— মার্ক এল স্টোন

2

গ্লেন_ বি এর মন্তব্যের একটি অনুসারী, প্রথম মুহূর্তটি, গড়টি কোনও দৈহিক বস্তুর জন্য মহাকর্ষের কেন্দ্রের সাথে মিলে যায় এবং দ্বিতীয় মুহুর্তের চারপাশে, বৈকল্পিকতা তার জড়তার মুহুর্তের সাথে মিলে যায়। এর পরে, আপনি নিজেরাই আছেন।

— মাইক অ্যান্ডারসন
সূত্র

3

আমি প্রথম মুহুর্ত এবং গড়ের সম্পর্কটি পছন্দ করি ... তবে দ্বিতীয় মুহূর্তটি কোনও বৈকল্প নয় ... বৈকল্পিকতাটি দ্বিতীয় দ্বিতীয় মুহূর্তকে কেন্দ্র করে ... ।

E [x^{2}] = \int x^{2} f (x) d x

$E[x^2] = \int x^2f(x)dx$

v a r [x] = E [(x - E [x])^{2}] = \int (x - E [x])^{2} f (x) d x

$var[x]=E[(x-E[x])^2] = \int (x-E[x])^2f(x)dx$

— জাচারি ব্লুমেনফিল্ড 10'15

0

একটি দ্বিপদী গাছের সম্ভবত দুটি উচ্চ স্তরের দুটি শাখা থাকে। আসলে, পি = 0.5 এবং Q = 1-0.5 = 0.5। এটি সমানভাবে বিতরিত সম্ভাব্যতার ভর দিয়ে একটি সাধারণ বিতরণ উত্পন্ন করে।

আসলে, আমাদের ধরে নিতে হবে যে গাছের প্রতিটি স্তর সম্পূর্ণ t যখন আমরা ডেটাগুলি ভাগে বিভক্ত করি, তখন আমরা বিভাগ থেকে একটি আসল নম্বর পাই, তবে আমরা গোল হয়ে যাই। হ্যাঁ, এটি এমন একটি স্তর যা অসম্পূর্ণ, তাই আমরা সাধারণত কোনও হিস্টোগ্রাম দিয়ে শেষ করি না।

ব্রাঞ্চিংয়ের সম্ভাব্যতাগুলিকে পি = 0.9999 এবং কিউ = 0.0001 এ পরিবর্তন করুন এবং এটি আমাদের স্কিউ স্বাভাবিক হয়ে যায়। সম্ভাবনা ভর স্থানান্তরিত। এটি skewness জন্য অ্যাকাউন্ট।

অসম্পূর্ণ স্তর বা বিন্দুতে 2 than n এরও কম সংখ্যক অঞ্চল রয়েছে যেখানে কোনও সম্ভাবনার ভর নেই এমন অঞ্চলগুলির সাথে দ্বিপদী গাছ উত্পন্ন করে। এটি আমাদের কুরটোসিস দেয়।

মন্তব্য প্রতিক্রিয়া:

আমি যখন বিনের সংখ্যা নির্ধারণের বিষয়ে কথা বলছিলাম তখন পরবর্তী পূর্ণসংখ্যা পর্যন্ত গোল করতাম।

কুইঞ্চুনস মেশিনগুলি এমন বল ফেলে দেয় যা অবশেষে দ্বিপদী মাধ্যমে সাধারণ বিতরণ আনুমানিকভাবে আসে। এ জাতীয় একটি যন্ত্র দ্বারা বেশ কয়েকটি অনুমান করা হয়: 1) বিনের সংখ্যা সসীম, 2) অন্তর্নিহিত গাছ বাইনারি এবং 3) সম্ভাবনাগুলি স্থির হয়। নিউইয়র্কের গণিতের যাদুঘরের কুইঞ্চুনস মেশিনটি ব্যবহারকারীকে গতিশীলভাবে সম্ভাবনাগুলি পরিবর্তন করতে দেয়। সম্ভাব্যতা যে কোনও সময়ে পরিবর্তিত হতে পারে, বর্তমান স্তরটি সমাপ্ত হওয়ার আগেই। সুতরাং বিনগুলি পূরণ হচ্ছে না সম্পর্কে এই ধারণা।

আপনার গাছে শূন্যতা থাকার সময় আমি আমার মূল উত্তরে যা বলেছিলাম তার বিপরীতে, বিতরণটি কুরটোসিস প্রদর্শন করে।

আমি এটিকে জেনারেটরি সিস্টেমের দৃষ্টিকোণ থেকে দেখছি। আমি সিদ্ধান্ত গাছগুলি সংক্ষিপ্ত করতে একটি ত্রিভুজ ব্যবহার করি। যখন কোনও অভিনব সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়, ত্রিভুজের গোড়ায় এবং লেজগুলিতে বিতরণের শর্তে আরও বিন্যাস যুক্ত করা হয়। গাছ থেকে সাবট্রিমগুলি ছাঁটাই করা বিতরণের সম্ভাব্যতার ভরগুলিতে শূন্যস্থান ছেড়ে যায়।

আমি কেবল আপনাকে একটি স্বজ্ঞাত জ্ঞান দেওয়ার জবাব দিয়েছি। লেবেল? আমি এক্সেল ব্যবহার করেছি এবং দ্বিপদীটিতে সম্ভাব্যতার সাথে খেলেছি এবং প্রত্যাশিত স্কিউ তৈরি করেছি। আমি কুর্তোসিস নিয়ে এটি করি নি, এটির সাহায্য করে না যে আমরা ভাষা প্রস্তাবের আন্দোলনটি ব্যবহার করার সময় আমরা সম্ভাব্যতাগুলি স্থির হিসাবে গণ্য করার বিষয়ে ভাবতে বাধ্য হই। অন্তর্নিহিত ডেটা বা বলগুলি কুরটোসিসের কারণ হয়। তারপরে, আমরা এটিকে বিভিন্নভাবে বিশ্লেষণ করি এবং বর্ণনামূলক পদগুলি যেমন কেন্দ্র, কাঁধ এবং লেজকে আকার দিতে এইটিকে দান করি। আমাদের কেবলমাত্র কাজগুলিই হ'ল বিনগুলি। ডেটা না পারলেও লাইনে গতিশীল জীবন বিন্দু।

— ডেভিড লক
সূত্র

2

এটি আকর্ষণীয় তবে ভয়ঙ্করভাবে স্কেচি chy উদাহরণস্বরূপ, আপনার দ্বিপদী গাছে কী লেবেল রয়েছে? আপনি যদি সাধারণ বিতরণ পেতে চান তবে এটি আরও ভাল গাছ ছিল - তবে স্পষ্টতই লেবেলগুলি (এলোমেলো হাঁটা ব্যবহার করে বা আসল সংখ্যার বাইনারি উপস্থাপনা ব্যবহার করে) সাধারণ বিতরণে মোটেও নেতৃত্ব দেয় না। এই বিবরণ ছাড়া পাঠকদের কল্পনাশক্তি খুব বেশি বাকি আছে। আপনি তাদের বিস্তারিত বলতে পারেন?

— whuber