যদি এক্স / ওয়াই এর জেড হিসাবে সমান বন্টন থাকে তবে এটি কি সত্য যে এক্সের ওয়াইজেডের মতো একই বিতরণ রয়েছে?

Question

এক্স, ওয়াই এবং জেড তিনটি স্বতন্ত্র এলোমেলো পরিবর্তনশীল হতে দিন। যদি এক্স / ওয়াই এর জেড হিসাবে সমান বন্টন থাকে তবে এটি কি সত্য যে এক্সের ওয়াইজেডের মতো একই বিতরণ রয়েছে?

Comments

না। এবং মানটি সাধারণ এবং একটি স্ট্যান্ডার্ড কচি এলোমেলো পরিবর্তনশীল বিবেচনা করুন (প্রশ্নের তিনটি ভিত্তিতে তিনটিই স্বতন্ত্র)। এটি সুপরিচিত যে একটি স্ট্যান্ডার্ড কাচি বিতরণ ( ), তবে একটি সাধারণ বন্টন নেই (যেহেতু বিদ্যমান নেই)। সুতরাং (সিএফ। সিলভারফিশের উত্তর) এর উপরে অতিরিক্ত বিধিনিষেধের দরকার নেই যেখানে ফলাফলটি থাকতে পারে এমন উদাহরণগুলি খুঁজে পাওয়ার কোনও আশা আছে। $X$$Y$$Z$$X/Y$$Z$$YZ$$E[YZ]$$X, Y, Z$

— দিলিপ সরওতে

@ দিলিপ আমি এটিকে আমার প্রতিসামগ্রী হিসাবে ব্যবহার করে বিবেচনা করেছি কিন্তু এ থেকে দূরে সরে এসেছি কারণ কেন বিদ্যমান নেই তার একটি সংক্ষিপ্ত ব্যাখ্যা আমি ভাবতে পারিনি । যদি আপনি একটি ঝরঝরে তর্ক পেয়ে থাকেন তবে আমার মনে হয় এমন উত্তর হিসাবে আপনার এটি পোস্ট করা উচিত। (আপনি সম্ভবত বলতে পারেন যে, আমি আমার জবাবে জিরো এবং ইনফিনটিটিগুলি খুব জেনে শুনে এড়িয়ে গেছি, তাই এমন কিছু এড়াতে আমি খুব আগ্রহী ছিলাম যা এমনকি $E[YZ]$

— অসীমও

@ দিলিপ যেহেতু কচী তাই অস্তিত্ব নেই বলে মনে হয় প্রোভিসো পূরণ হয়নি এবং বিবৃতিতে সম্পর্কে কিছুই বলা হয়নি । তুলনা করার জন্য: যদি কাচি এবং অধঃপতন বিতরণ থাকে তবে না থাকলেও এটি উপস্থিতি (এবং শূন্যের সমান) প্রদর্শিত হবে । $Z$$E[Z]$$E[YZ]$$Z$$Y$$P(Y=0)=1$$E[YZ]$$E[Z]$

— সিলভারফিশ

সবচেয়ে সহজ এবং সম্ভবত সবচেয়ে স্বজ্ঞাত, সম্ভাব্য মধ্যে একটি হ'ল এবং কোনও বিতরণ হতে পারে না ( এবং এবং এর নির্দিষ্ট পয়েন্টগুলি কোনও ইভেন্টে সংজ্ঞায় সমস্যাযুক্ত )। তারপর স্পষ্টত ধ্রুবক সময় নয় হয়। $X=1$$Y$$\{-1,0,1,\pm\infty\}$$\pm 1$$y\to 1/y$$0,\infty,$$-\infty$$X/Y$$YZ$$X$

— হোয়বার

@ সিলভারফিশ ওয়াইজেড কেবল তখনই সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি সীমাবদ্ধ থাকে। তবে, থেকেএবংস্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয়। তবে, যেহেতু সীমাবদ্ধ নয় এবং , তাই আমরা এই সিদ্ধান্তে যে সীমাবদ্ধ নয় ( মান সম্পর্কে কোনও সমস্যা নেই )। ফলস্বরূপ, সংজ্ঞায়িত করা হয় না (বা বিদ্যমান নেই) তবে অবশ্যই স্পষ্টভাবে উপস্থিত রয়েছে এবং এর মান । $E[YZ]$$E[|YZ|]$$E[|YZ|]=E[|Y|\cdot |Z|]=E[|Y|]E[|Z|]$$|Y|$$|Z|$$E[|Z|]$$E[|Y|]>0$$E[|YZ|]$$0\times\infty$$E[YZ]$$E[X]$$0$

— দিলীপ সরোতে

Answer 1

এটা ঘটতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, , এবং যদি স্বতন্ত্র র‌্যাডম্যাচার ভেরিয়েবল হয় তবে তারা সমান সম্ভাবনার সাথে 1 বা -1 হতে পারে। এই ক্ষেত্রে এছাড়াও Rademacher, তাই হিসাবে একই ডিস্ট্রিবিউশন আছে , যখন Rademacher তাই হিসাবে একই বন্টন হয়েছে ।$X$$Y$$Z$$X/Y$$Z$$YZ$$X$

তবে এটি সাধারণভাবে ঘটবে না। যতক্ষণ উপায় বিদ্যমান, এর সমান বন্টন হওয়ার প্রয়োজনীয় (তবে পর্যাপ্ত নয়) শর্ত রয়েছে এবং এর সমান বন্টন থাকতে পারে: $X/Y$$Z$$YZ$$X$

$$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(XY^{-1}) = \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y^{-1})$$ $$\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(YZ) = \mathbb{E}(Y)\mathbb{E}(Z)$$

দ্বিতীয় সমতা স্বাধীনতার পরে। প্রতিস্থাপনগুলি দেয়:

$$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(Y) \mathbb{E}(Z) \mathbb{E}(Y^{-1})$$

যদি তবে , বা সমতুল্য, এতক্ষণ as ,$\mathbb{E}(Z) \neq 0$$1 = \mathbb{E}(Y) \mathbb{E}(Y^{-1})$$\mathbb{E}(Y) \neq 0$

$$\mathbb{E}(Y^{-1}) = \frac{1}{\mathbb{E}(Y)}$$

এটি সাধারণভাবে সত্য নয়। উদাহরণস্বরূপ, হ'ল অনুবাদিত বার্নউইলি ভেরিয়েবল হতে যা সমান সম্ভাবনার সাথে বা মান গ্রহণ করে , তাই । তারপর মান লাগে বা সমান সম্ভাবনা থাকে, তাই । (আমি এটি পাঠকের কল্পনায় ছেড়ে দিয়েছি, এটি একটি অপরিকল্পিত ব্যবহার করতে হলে কতটা নাটকীয় প্রভাব ফেলতে পারে$Y$$1$$2$$\mathbb{E}(Y)=1.5$$Y^{-1}$$1$$0.5$$\mathbb{E}(Y^{-1})=0.75 \neq 1.5^{-1}$পরিবর্তে বার্নুইলি পরিবর্তনশীল, বা একটি কেবলমাত্র অনুবাদ করা হয়েছে তাই এটি সম্ভবত অর্ধেকের সাথে 0 এর কাছাকাছি। নোট করুন যে র্যাডম্যাচার উদাহরণে এখানে কোনও সমস্যা হয়নি কারণ তিনটি প্রত্যাশা শূন্য ছিল, আরও নোট করুন যে এই শর্তটি যথেষ্ট নয়))

আমরা আরও স্পষ্টভাবে পাল্টা নমুনা তৈরি করে কীভাবে এই ব্যর্থ হবে তা আমরা আবিষ্কার করতে পারি । জিনিসগুলি সহজ রাখতে, ধরুন একটি মাপকাঠি বার্নুইলি এবং সমান সম্ভাবনার সাথে বা মান গ্রহণ করে । তারপরে হয় , , বা সমান সম্ভাবনা সহ। এটি পরিষ্কার হয়ে গেছে যে , এবং । একই বিতরণ থেকে আঁকা একটি স্বাধীন পরিবর্তনশীল হতে দিন । বিতরণ কী ? এটি কি বিতরণ হিসাবে একই?$Y$$X$$0$$2$$X/Y$$0/1$$0/2$$2/1$$2/2$$P(X/Y=0)=\frac{1}{2}$$P(X/Y=1)=\frac{1}{4}$$P(X/Y=2)=\frac{1}{4}$$Z$$YZ$$X$ ? এমনকি এটি হতে পারে না তা দেখার জন্য আমাদের সম্পূর্ণ সম্ভাব্য বিতরণের কাজও করতে হবে না; এটি মনে রাখা যথেষ্ট শুধুমাত্র শূন্য বা দুই হতে পারে যখন কোনো মান তোমাদের মধ্যে একজন গুন থেকে পেতে পারেন নিতে পারেন এক দ্বারা ।$X$$YZ$$\{1,2\}$$\{0,1,2\}$

যদি আপনি এই কাহিনীর জন্য নৈতিক চান, তবে স্কেলড এবং অনূদিত বার্নউইলি ভেরিয়েবলগুলি (যার মধ্যে র‌্যাডম্যাচার ভেরিয়েবলগুলি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে) দিয়ে ঘুরে দেখার চেষ্টা করুন। এগুলি উদাহরণ তৈরির সহজ উপায় হতে পারে - এবং পাল্টা উদাহরণ। এটি সমর্থনগুলিতে কম মান রাখায় সহায়তা করে যাতে ভেরিয়েবলের বিভিন্ন ফাংশন বিতরণ সহজেই হাত দিয়ে কাজ করা যায়।

আরও চরম আমরা হ্রাসকারী ভেরিয়েবলগুলি বিবেচনা করতে পারি যাগুলির সমর্থনে কেবলমাত্র একটি মান রয়েছে। যদি এবং অধঃপতিত হয় ( ) তবে খুব বেশি হবে, এবং তাই এর বিতরণ এর মানের সাথে মিলবে । আমার র‌্যাডম্যাচার উদাহরণের মতো এটিও এমন একটি পরিস্থিতি যা আপনার শর্তগুলি সন্তুষ্ট করতে পারে showing যদি পরিবর্তে, @whuber মন্তব্য প্রস্তাব দেওয়া হিসাবে, আমরা দিন হতে অধ: পতিত সঙ্গে , কিন্তু অনুমতি তারতম্য, তারপর নির্মাণের একটি এমনকি সহজ counterexample খুবই সহজ। যদি দুটি সসীম, নন-শূন্য মানগুলি নিতে পারে - এবং$X$$Y$$Y\neq 0$$Z=X/Y$$YZ$$Z$$X$$P(X=1)$$Y$$Y$$a$$b$ , বলতে - ইতিবাচক সম্ভাবনা, তারপর , তাই , মান গ্রহণ করতে পারেন এবং । এখন তাই হয়েছে তার সমর্থনে, তাই হিসাবে একই বন্টন না অনুসরণ করতে পারেন । এটি আমার যুক্তির মতো, তবে এর চেয়ে সহজ, আমার মূল কাউন্টারেরেক্সামলে সমর্থনগুলি মেলে না।$X/Y$$Z$$a^{-1}$$b^{-1}$$YZ$$ab^{-1} \neq 1$$X$

Comments

$\newcommand\E{\mathbb{E}}$ করুন যে । তারপরে, যেহেতু একটি উত্তল ক্রিয়াকলাপ , জেনসেনের বৈষম্য আমাদের বলে যে condition শর্তটি কেবলমাত্র এর অধঃপতন হলেTrue জন যদি একই হয় তবে 1 / x সমান হয় । সুতরাং যদি স্থির চিহ্নের হয় তবে অধঃপতিত না হয় তবে প্রয়োজনীয় শর্তটি ধরে রাখতে পারে না। $\Pr(Y > 0) = 1$$1/x$$(0, \infty)$$\E Y = \E \frac{1}{Y}$$Y$$\Pr(Y < 0) = 1$$Y$

— ডগল

@ ডাওগাল এটি উল্লেখ করার জন্য ধন্যবাদ। লেখার সময়, আমি এটি অন্তর্ভুক্ত করার বিষয়ে ভেবেছিলাম তবে অনুভব করেছি যে লক্ষণ ইত্যাদির আলোচনাটি প্রবাহকে ভঙ্গ করবে। আমি কেবল "জেনসেনের বৈষম্য দেখুন" বলার এবং একটি উইকিপিডিয়া বা অনুরূপ লিঙ্ক যুক্ত করার বিষয়ে ভেবেছিলাম, কিন্তু তখন সিদ্ধান্ত নিয়েছিলাম যে এটি একটি ভাল ধারণা নয় কারণ আমি যে জাঁকজমক পরিস্থিতিটি এড়াতে চাইছিলাম তা দ্বারা আমি এর প্রবর্তন করি নি। পরিবর্তে, আমার দেখার ছিল সেখানে কোথাও আছে (সম্ভবত কোনও সিভি থ্রেড) আছে যেখানে কোনও আরভি-র অ-লিনিয়ার ফাংশনগুলির প্রত্যাশাটি সাধারণভাবে আলোচিত হয়, যা জেনসেনকে স্বাভাবিকভাবেই একটি কৌতূহলী পাঠককে নিয়ে যেতে পারে, তবে আমি কিছুই খুঁজে পাইনি I আমি এখনও পছন্দ করি

— সিলভারফিশ

@ ডৌগাল এই সময়ের মধ্যে একটি খুব সহজ সুন্দর কাউন্টারিক্স উদাহরণগুলির মধ্যে কিছুটা সংঘর্ষ হয় - খুব সহজেই কিছু গণনা করা হয়, সুতরাং যে কোনও ব্যক্তি যারা অপব্যবহারের অধীনে পরিশ্রম করেছেন তা অবিলম্বে এটি অসম্ভব বা ভুল হিসাবে দেখতে পাবে - এবং আরও একটি সম্পূর্ণ, সাধারণ চিকিত্সা যা আসলে সহায়তা করে কিছু আসলে কী পরিস্থিতিতে থাকতে পারে তার অধীনে দেখান (তবে এটি কিছু পাঠকদের পক্ষে অনুসরণ করা খুব কঠিন হতে পারে এবং তাই তাদের কাছে কম বিশ্বাসযোগ্য) on এর আরভি এমনকি একটি শিক্ষানবিশও দেখায় যে কেন মতো সুন্দরভাবে কাজ করে না তবে জেনসেন কেন আরও কিছু বলেছেন! $\{1,2\}$$E(1/Y)$$E(aY+b)$

— সিলভারফিশ

হ্যাঁ, ভাল কথা, যদিও এই (আপাতদৃষ্টিতে প্রাকৃতিক) সম্পর্কটি কখন ধরে রাখতে পারে এ সম্পর্কে শর্ত সম্পর্কে আমি কৌতূহলী, যা বেশ সীমাবদ্ধ বলে মনে হয়। মনে রাখবেন, উপরে আমার মন্তব্যে আমি শর্ত miswrote: অবশ্যই এটা করা উচিত । $\frac{1}{\E Y} = \E \frac{1}{Y}$

— ডুগল

@ ডুগাল আমি মনে করি যে আরভিগুলির অবক্ষয়কে অতিক্রম করার পরেও এই জাতীয় সম্পর্কগুলি প্রথম প্রদর্শিত হওয়ার মতো "প্রাকৃতিক" নয়। বিবেচনা করুন হিসাবে একই ডিস্ট্রিবিউশন আছে এবং হিসাবে একই ডিস্ট্রিবিউশন আছে , এবং সমস্ত তিনটি স্বাধীন হয় ... আবার এটা সাধারণভাবে ধরে রাখেন না। $Z$$X+Y$$Y$$Z-X$

— সিলভারফিশ