লম্বা আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্স দ্বারা একটি এলোমেলো পরিবর্তনকের লিনিয়ার রূপান্তর

ধরা যাক আমাদের একটি এলোমেলো ভেক্টর , সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন সহ একটি বিতরণ থেকে আঁকা । আমরা সুসংগত একটি পূর্ণ র্যাঙ্ক দ্বারা এটি রুপান্তর তাহলে ম্যাট্রিক্স পেতে , তারপর ঘনত্ব দেওয়া হয় $\vec{X} \in \mathbb{R}^n$ $f_\vec{X}(\vec{x})$ $n \times n$ $A$ $\vec{Y} = A\vec{X}$ $\vec{Y}$

f_{\vec{Y}} (\vec{y}) = \frac{1}{| det A |} f_{\vec{X}} (A^{- 1} \vec{y}) .

$f_{\vec{Y}}(\vec{y}) = \frac{1}{\left|\det A\right|}f_{\vec{X}}(A^{-1}\vec{y}).$

এখন আমরা বলতে রুপান্তর পরিবর্তে একটি দ্বারা ম্যাট্রিক্স , সঙ্গে , দান । স্পষ্টত , তবে এটি একটি ডাইমেনশনাল সাবস্পেস " লাইভ " । এর শর্তসাপেক্ষ ঘনত্বটি কী , আমরা জানি যে এটি মধ্যে রয়েছে ? $\vec{X}$ $m \times n$ $B$ $m > n$ $\vec{Z} = B\vec{X}$ $Z \in \mathbb{R}^m$ $n$ $G \subset \mathbb{R}^m$ $\vec{Z}$ $G$

আমার প্রথম প্রবৃত্তি ছিল এর সিউডো-ইনভার্স ব্যবহার করা । তাহলে এর একবচন মান পচানি হয় , তারপর সিউডো-বিপরীত কোথায় নন-জিরো তির্যক ম্যাট্রিক্স এন্ট্রি ইনভার্টারিং দ্বারা গঠিত । আমি অনুমান করেছি যে এটি $B$ $B = U S V^T$ $B$ $B^+ = V S^+ U^T$ $S^+$ $S$ যেখানেবলতে আমি অ-শূন্য একক মানগুলির পণ্য বোঝাই।

f_{\vec{Z}} (\vec{z}) = \frac{1}{| \overset{+}{det} S |} f_{\vec{X}} (B^{+} \vec{z}),

$f_\vec{Z}(\vec{z}) = \frac{1}{\left|\det^+ S\right|} f_\vec{X}(B^+ \vec{z}),$

\overset{+}{det} S

$\det^+ S$

এই যুক্তিটি এখানে দেওয়া এবং এখানে এবং এই ক্রসভিলেটেড পোস্টেও উল্লেখ করা একটি একক সাধারণ (জ্ঞানের ভিত্তিতে পরিবর্তনশীল উপযুক্ত উপস্থানে বাস করে) এর ঘনত্বের সাথে একমত হয় ।

$X \sim \mathcal{N(0, 1)}$

\vec{Y} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) X = (\begin{matrix} X \\ X \end{matrix}) .

$\vec{Y} = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} X = \begin{pmatrix}X \\ X\end{pmatrix}.$

B

$B$

B^{+} = (\begin{matrix} 1 / 2 & 1 / 2 \end{matrix})

$B^+ = \begin{pmatrix}1/2 & 1/2\end{pmatrix}$

\overset{+}{det} B = \sqrt{2}

$\det^+ B = \sqrt{2}$

f_{\vec{Y}} (\vec{y}) = \frac{1}{\sqrt{2 π} \sqrt{2}} \exp (- \frac{1}{2} {\vec{y}}^{T} (B^{+})^{T} B^{+} \vec{y}),

$f_\vec{Y}(\vec{y}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\vec{y}^T (B^+)^T B^+ \vec{y}\right),$

y = x

$y = x$

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

\vec{Y}

$\vec{Y}$

B

$B$

— দেনিযেল
সূত্র

$y = x$ $x$ $\sqrt{2}$ $x \mapsto (x, x)$ $\vec{y}$ $\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$

$B$ $G$ $B$ $m \times n$ $L$ $B$

f_{\vec{Z}} (\vec{z}) = \frac{| \overset{+}{det} L |}{| \overset{+}{det} B |} f_{\vec{X}} (B^{+} \vec{z}) .

$f_{\vec{Z}}(\vec{z}) = \frac{\left|\det^+ L\right|}{\left|\det^+ B\right|}f_{\vec{X}}(B^+ \vec{z}).$

$B$ $\vec{z}$ $\hat B$ $n \times n$ $B$

— দেনিযেল
সূত্র