অবিচ্ছিন্ন পরিবর্তনশীলের শর্তাধীন সম্ভাবনা

মনে করুন যে র্যান্ডম ভেরিয়েবল 0 এবং 10 প্যারামিটারের সাথে অবিচ্ছিন্ন ইউনিফর্ম বিতরণ অনুসরণ করে (যেমন ) $U$ $U \sim \rm{U}(0,10)$

এখন এটিকে = 5 এবং B এর ইভেন্টটি বোঝা যাক যে বা 6 এর সমান হয় আমার ধারণা অনুসারে, উভয় ইভেন্টের শূন্যতার সম্ভাবনা রয়েছে। $U$ $U$ $5$

এখন, আমরা যদি গণনা করার বিষয়টি বিবেচনা করি, তবে আমরা শর্তাধীন আইন , কারণ শূন্যের সমান। যাইহোক, আমার স্বজ্ঞাততা আমাকে বলে যে । $P(A|B)$ $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}$ $P(B)$ $P(A|B) = 1/2$

conditional-probability continuous-data uniform

— অনভিজ্ঞ
সূত্র

তোমার স্বজ্ঞা আপনাকে বলতে যদি হতো ছিল নন-ইউনিফর্ম ঘনত্ব ?

U

$U$

0.02 u, u \in (0, 10)

$0.02u, u \in (0,10)$

— দিলীপ সরোতে

@ দিলিপ সরওয়াতে আমার অন্তর্নিহিততা আমাকে বলবে যে উত্তরটি 0.5 এর চেয়ে কিছুটা কম

— নুব

উত্তর:

"বিচ্ছিন্ন অনুমানের ক্ষেত্রে শর্তযুক্ত সম্ভাবনার ধারণা যার সম্ভাব্যতা 0 এর সমান হয় তা অগ্রহণযোগ্য।" উঃ কোলমোগোরভ

ক্রমাগত এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য, এবং বলেছেন, শর্তাধীন বিতরণগুলি সেই সম্পত্তি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যে তারা আসল সম্ভাব্যতা পরিমাপটি পুনরুদ্ধার করে, অর্থাৎ সমস্ত পরিমাপযোগ্য সেট , , এর দ্বারা বোঝা যায় যে শর্তসাপেক্ষ ঘনত্বটি নির্ধারণ করা হয় নির্ধারিতভাবে শূন্য পরিমাপের সেটগুলিতে বা অন্য কথায়, শর্তসাপেক্ষ ঘনত্ব প্রায় সর্বত্রই সংজ্ঞায়িত করা হয় । যেহেতু সেট Lebesgue পরিমাপ বিরুদ্ধে পরিমাপ শূন্য হয়, এর মানে হল আপনি উভয় সংজ্ঞায়িত করতে পারে $X$ $Y$ $A\in\mathcal{B}(\mathbf{X})$ $B\in\mathcal{B}(\mathbf{Y})$

P (X \in A, Y \in B) = \int_{B} d P_{Y} (y) \int_{B} d P_{X | Y} (x | y)

$\mathbb{P}(X\in A,Y\in B)=\int_B \text{d}P_Y(y) \int_B \text{d}P_{X|Y}(x|y)$

p_{X | Y} (x | y)

$p_{X|Y}(x|y)$

{5, 6}

$\{5,6\}$

p (5)

$p(5)$ এবং একেবারে স্বেচ্ছাচারী আচরণের ফলে এবং সম্ভবত hence কোনও মান নিতে পারে।

p (6)

$p(6)$

P (U = 5 | U \in {5, 6})

$\mathbb{P}(U=5|U\in\{5,6\})$

এর অর্থ এই নয় যে আপনি অনুপাত সূত্র দ্বারা শর্তাধীন ঘনত্ব নির্ধারণ করতে পারবেন না তবে কেবল যে ঘনত্বটি প্রায় সর্বত্রই সংজ্ঞায়িত করা হয় উভয় এবং ।

f (y | x) = f (x, y) / f (x)

$f(y|x)=f(x,y)\big/f(x)$

x

$x$

y

$y$

"অন্যথায় উপযুক্ত সম্ভাব্যবাদীদের মধ্যে - এই ফলাফলগুলির মধ্যে কোনটি 'সঠিক' তা নিয়ে অনেকগুলি নিরর্থক যুক্তি ছড়িয়ে পড়ে। ইটি জেনেস

উপরোক্ত উত্তরে সীমাবদ্ধ যুক্তি (যখন শূন্যে চলে যায়) সত্য যে একটি প্রাকৃতিক এবং স্বজ্ঞাত উত্তর দেওয়ার বিষয়টি বোরেলের প্যারাডক্সের সাথে সম্পর্কিত । সীমাবদ্ধতার বিষয়গুলিতে প্যারামিট্রাইজেশনের পছন্দ, যেমন আমি আমার আন্ডারগ্রাড ক্লাসে ব্যবহার করি নিম্নলিখিত উদাহরণ দ্বারা দেখানো হয়েছে। $\epsilon$

Bivariate স্বাভাবিক নিন এর শর্তসাপেক্ষ ঘনত্ব কি দেওয়া যে ?

X, Y \overset{i.i.d.}{\sim} N (0, 1)

$X,Y\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim}\mathcal{N}(0,1)$ $X$ $X=Y$

যদি কেউ যৌথ ঘনত্ব তবে "স্বজ্ঞাত" উত্তরটি [আনুপাতিক] সাথে । চলক এর পরিবর্তন বিবেচনা করে এটি প্রাপ্ত করা যেতে পারে যেখানে এর ঘনত্ব । অতএব এবং তবে , যদি কেউ পরিবর্তে পরিবর্তনশীল এর প্রান্তিক ঘনত্ব হ'ল কাচি ঘনত্ব $\varphi(x)\varphi(y)$ $\varphi(x)^2$

(x, t) = (x, y - x) \sim φ (x) φ (t + x)

$(x,t)=(x,y-x) \sim \varphi(x)\varphi(t+x)$

T = Y - X

$T=Y-X$

φ (t / \sqrt{2}) / \sqrt{2}

$\varphi(t/\sqrt{2})/\sqrt{2}$

f (x | t) = \frac{φ (x) φ (t + x)}{φ (t / \sqrt{2}) / \sqrt{2}}

$f(x|t)=\dfrac{\varphi(x)\varphi(t+x)}{\varphi(t/\sqrt{2})/\sqrt{2}}$

f (x | t = 0) = \frac{φ (x) φ (x)}{φ (0 / \sqrt{2}) / \sqrt{2}} = φ (x)^{2} \sqrt{2}

$f(x|t=0)=\dfrac{\varphi(x)\varphi(x)}{\varphi(0/\sqrt{2})/\sqrt{2}}=\varphi(x)^2\sqrt{2}$

(x, r) = (x, y / x) \sim φ (x) φ (r x) | x |

$(x,r)=(x,y/x) \sim \varphi(x)\varphi(rx)|x|$

R = Y / X

$R=Y/X$

ψ (r) = 1 / π {1 + r^{2}}

$\psi(r)=1/\pi\{1+r^2\}$ এবং শর্তাধীন ঘনত্ব দেওয়া হয় অতএব, এবং এখানে "প্যারাডক্স" রয়েছে: ইভেন্টগুলি এবং মতো তবে সেগুলি উপরে বিভিন্ন শর্তাধীন ঘনত্বের দিকে পরিচালিত করে ।

X

$X$

R

$R$

f (x | r) = φ (x) φ (r x) | x | \times π {1 + r^{2}}

$f(x|r)=\varphi(x)\varphi(rx)|x| \times \pi \{1+r^2\}$

f (x | r = 1) = π φ (x)^{2} | x | / 2 .

$f(x|r=1)= \pi\varphi(x)^2|x|/2\,.$

R = 1

$R=1$

T = 0

$T=0$

X = Y

$X=Y$

X

$X$

— সিয়ান
সূত্র

এটি কেবল সাধারণ ভুল। আপনি সম্ভাব্যতা তত্ত্ব একটি কঠোর কোর্স নিতে আপনি পরিমাপ শূন্য ঘটনা উপর কন্ডিশনার দেখতে হবে হয় সম্ভব, এবং বাস্তব। বিটিভারিটে গাউসিয়ান বিবেচনা করুন। প্রত্যেকেই জানেন যে শূন্যের মানটি গ্রহণ করে আপনি প্রথম পরিবর্তনশীল হিসাবে শর্ত করতে পারেন, যদিও এই ইভেন্টটির শূন্যতার সম্ভাবনা রয়েছে। উইকিপিডিয়া দেখুন। en.wikedia.org/wiki/…

— ইয়ার দাওন

এখানে একটি বিতর্কিত উত্তর:

শি'আন ঠিক বলেছেন যে আপনি শূন্য সম্ভাবনার সাথে ইভেন্টগুলিতে শর্ত করতে পারবেন না। তবে, ইয়ারও ঠিক বলেছেন যে একবার আপনি সীমাবদ্ধ প্রক্রিয়া স্থির করার পরে আপনি সম্ভাবনার মূল্যায়ন করতে পারেন। সমস্যাটি এমন অনেকগুলি সীমাবদ্ধ প্রক্রিয়া রয়েছে যা পছন্দসই অবস্থায় উপস্থিত হয়।

আমি মনে করি উদাসীনতার নীতি কখনও কখনও এই জাতীয় পছন্দগুলি সমাধান করতে পারে। এটি যুক্তি দেয় যে ফলাফলগুলি লেবেলের একটি স্বেচ্ছাসেবী বিনিময় দ্বারা প্রভাবিত হওয়া উচিত নয়। আপনার ক্ষেত্রে, বলুন, বিরতিটি উল্টিয়ে দিন যাতে এটি অভিন্ন হয় এবং পয়েন্ট 5 এবং 6 স্যুইচ করা হয়েছে। উল্টানো একটি উত্তর কে তে পরিবর্তন করে । সুতরাং আপনি যদি অন্যটির তুলনায় একটি আলাদা সীমাবদ্ধ প্রক্রিয়া বেছে নিয়েছিলেন, তবে আপনি লেবেলের একটি স্বেচ্ছাসেবী পরিবর্তন দ্বারা (এই ক্ষেত্রে, নেতিবাচক অনন্তের জন্য ইতিবাচক অনন্ত পরিবর্তন করে) একটি আলাদা ফলাফল অর্জন করেছেন। উদাসীনতার নীতি অনুসারে এটি হওয়া উচিত নয়। সুতরাং, আপনি অনুমান হিসাবে উত্তর 0.5 হয়। $(1, 11)$ $p$ $1-p$

নোট করুন যে অনেক পরিসংখ্যানবিদ উদাসীনতার নীতি গ্রহণ করেন না। আমি এটি পছন্দ করি কারণ এটি আমার অন্তর্দৃষ্টিগুলি প্রতিফলিত করে। যদিও আমি কীভাবে এটি প্রয়োগ করতে পারি তা সম্পর্কে নিশ্চিত নই, তবে 50 বছরের মধ্যে এটি আরও মূলধারার হয়ে উঠবে?

— নীল জি
সূত্র

একটি চিন্তাশীল পোস্টের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। আমি, একজনের জন্য, "উদাসীনতার নীতি" গুরুত্ব সহকারে সন্দেহ করি যে এটি কখনও কার্যকর হয় না, কারণ এটি কার্যকর হয় না work অন্তর্নিহিত মানগুলি আবার প্রকাশ করা হলে আপনার যুক্তি পৃথক হয়ে যায়। উপর সমবন্টন যার ফলে হতে পারে, বলে, একটি কোশি বন্টন, হতে পারে এবং পরিণত। আপনার "উদাসীনতার নীতি" এখন সম্পূর্ণ ভিন্ন উত্তর দেয় produces (আমি এই উদাহরণটি ব্যবহার করতে সম্ভাব্যতার রূপান্তরগুলি ব্যবহার করেছি))

[0, 10]

$[0,10]$

5

$5$

0

$0$

6

$6$

\sqrt{1 - \frac{2}{\sqrt{5}}}

$\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}$

— হুবুহু

@ হুইবার: ফ্লিপিং আর্গুমেন্ট কোনও কাচির বিতরণের জন্য কাজ করবে না, যদি না আপনি তার মোডের চারপাশে উল্টান।

— নীল জি

নিশ্চিত এটি এটি করেছে: একটি ধারাবাহিক বিতরণকে অন্যটিতে রূপান্তর করার প্রচুর উপায় রয়েছে যা দুটি মানকে অদলবদল করে। আসলে, আপনার "উল্টানো" এমনকি মূল বিতরণ সংরক্ষণ করেনি। (এটির সমর্থন পুরোপুরি বদলে গেছে)) সুতরাং দেখা যাচ্ছে যে আপনি যা করছেন তা হ'ল একটি ডিস্ট্রিবিউশনকে অন্য একটি দ্বারা প্রতিস্থাপন করা। এখানে কোনও নীতিই অপারেটিং বলে মনে হচ্ছে না।

— whuber

@whuber: এটা অন্য যেখানে সঙ্গে এক বন্টন প্রতিস্থাপিত 5 এবং 6 প্রায় অভিন্ন অঞ্চলে অপরিবর্তিত ছিল - একই ভাবে আমি মনে করি যে চেষ্টা জুম কমিয়ে ছেড়ে করার জন্য যে ঘনত্বের মূল চেনাশোনার মধ্যে অপরিবর্তিত মধ্যে বারট্রান্ড প্যারাডক্স ।

— নিল জি

@ শুভঃ আপনি ঠিক বলেছেন। আমার একটি প্রশ্নের আলুর উত্তর আমি সত্যিই পছন্দ করেছি। আমি ব্যক্তিগতভাবে মনে করি যে তত্ত্ব এবং স্বজ্ঞাততার মধ্যে যদি কোনও তাত্পর্য থাকে তবে আমাদের নতুন, আরও সম্পূর্ণ তত্ত্বের সন্ধান করা উচিত। হতে পারে "উদাসীনতার নীতি" বেশ সঠিক নয়, বা সাধারণত কার্যকর হয় না, তবে আমার সম্ভাব্য তত্ত্বের এমন প্রশ্নগুলির উত্তর দেওয়ার জন্য একটি প্রাকৃতিক আকাঙ্ক্ষা রয়েছে যার জন্য আমাদের একটি স্বজ্ঞাত জ্ঞান রয়েছে। রাইমন ইন্টিগ্রেশন নিয়ে লেবেসগু একই ধরণের ক্ষোভ প্রকাশ করেছিলেন যখন তিনি তার অবিচ্ছেদ্য তৈরি করেছিলেন?

— নীল জি

হ্যাঁ আমরা পারি! আপনি শূন্য সম্ভাবনার ইভেন্টগুলিতে শর্ত করতে পারেন ! গণিত জটিল হয়ে যায় - আপনার কিছু পরিমাপ তত্ত্বের প্রয়োজন তবে আপনি এটি করতে পারেন। এর মতো সহজ ক্ষেত্রে আমি এবং । আপনি আগের মতো এখনই সবকিছু করুন এবং । $A = [5 - \frac{\epsilon}{2} , 5 + \frac{\epsilon}{2}]$ $B = [5 - \frac{\epsilon}{4} , 5 + \frac{\epsilon}{4}] \cup [6 - \frac{\epsilon}{4} , 6 + \frac{\epsilon}{4}]$ $\epsilon \to 0$

আমাকে আবার (এবং আবার) চাপ দিন যে উপরের পদ্ধতিটি স্বজ্ঞাততার জন্য ব্যবহৃত হয়। শূন্যতার সম্ভাবনার ইভেন্টগুলির শর্তাবলী খুব বেশি চিন্তাভাবনা না করেই প্রায়শই করা হয়। আমি যে সর্বোত্তম উদাহরণটি ভাবতে পারি তা হ'ল ig একটি বিভাজন গাউসিয়ান। একটি প্রায়শই প্রদত্ত এর ঘনত্ব বিবেচনা করে (বলে) , যা শূন্য পরিমাপের একটি ইভেন্ট। এটি তাত্ত্বিকভাবে ভাল ভিত্তিযুক্ত, তবে মোটেই তুচ্ছ নয়। কোলমোগোরভের @ শি'ানের উক্তি সম্পর্কে - আমি কেবল বারাধনকে উদ্ধৃত করতে পারি: "আমাদের লক্ষ্যগুলির মধ্যে একটি হল এমন একটি সংজ্ঞা খোঁজা যা i " (সম্ভাব্যতা তত্ত্ব, অভিভাবক বক্তৃতা নোট, পৃষ্ঠা 74) । $(X_1, X_2) \sim \mathcal{N}(0, \Sigma)$ $X_1$ $X_2 = 0$ $P(\xi = a) = 0$

সুতরাং, হ্যাঁ, আপনি শূন্যের পরিমাপের ইভেন্টগুলিতে কন্ডিশনারকে অর্থ দিতে পারেন।

— ইয়ার দাওন
সূত্র

ধরুন : অর্থাৎ এবং উভয়ই সম্ভব। এবং when এর সাথে আপনি কীভাবে পরিস্থিতি মোকাবেলা করবেন ? উইল (যা "স্বজ্ঞাগতভাবে" সঠিক উত্তর কারণ সমস্ত সংখ্যার একই ঘনত্ব রয়েছে) বা সম্ভবত (যা আপনার থেকে এর একটি সাধারণ পরিবর্তন সূত্র দেবে) বা এমনকি ?

U \sim U [0, 10]

$U\sim \text{U}[0,10]$

0

$0$

10

$10$

A = {0}

$A=\{0\}$

B = {0, 6}

$B=\{0,6\}$

P (A | B) = 1 / 2

$P(A|B)=1/2$

[0, 10]

$[0,10]$

1 / 3

$1/3$

5

$5$

0

$0$

0

$0$

— whuber

@ ইয়ায়ারডাউন উত্তর দেওয়ার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ! যদি আমি ভালভাবে বুঝতে পারি তবে আপনি নীচেরটি বোঝাতে চাইছেন: ছোট , আমাদের কাছে রয়েছে:

ε

$\varepsilon$

P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{\int_{5 - \frac{ε}{4}}^{5 + \frac{ε}{4}} f (u) d u}{\int_{5 - \frac{ε}{4}}^{5 + \frac{ε}{4}} f (u) d u + \int_{6 - \frac{ε}{4}}^{6 + \frac{ε}{4}} f (u) d u} = \frac{\frac{ε}{2}}{\frac{ε}{2} + \frac{ε}{2}} = 0.5

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\int\limits_{5 - \frac{\varepsilon }{4}}^{5 + \frac{\varepsilon }{4}} {f\left( u \right)du} }}{{\int\limits_{5 - \frac{\varepsilon }{4}}^{5 + \frac{\varepsilon }{4}} {f\left( u \right)du} + \int\limits_{6 - \frac{\varepsilon }{4}}^{6 + \frac{\varepsilon }{4}} {f\left( u \right)du} }} = \frac{{\frac{\varepsilon }{2}}}{{\frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2}}} = 0.5$

— নুব

@ ইয়ারডাওন তবে আমি মনে করি যে ফলাফলটি অদলিত নয় যদি মূলত আমরা A কে হিসাবে হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছিলাম () এবং বি পূর্বের মতোই)। এরকম ক্ষেত্রে ফলাফলটি হবে

[5 - \frac{ε}{8}, 5 + \frac{ε}{8}]

$\left[ {5 - \frac{\varepsilon }{8},5 + \frac{\varepsilon }{8}} \right]$

\frac{1}{8}

${\frac{1}{8}}$

— নূব

কোনও অনন্য উত্তর নেই তা দেখিয়ে অনুজ্ঞার পক্ষে এটি দুর্দান্ত: এটিই কোচমোগোরভের @ শিয়ানের উদ্ধৃত বক্তব্যের ভিত্তি। বিষয়গুলি প্রকাশের জন্য আপনার পদ্ধতিটি পরিবর্তন করতে হয়েছিল কারণ আপনি ভেবেছিলেন তাদের এই পদ্ধতির সমস্যাগুলির বিষয়ে আপনাকে সতর্ক করা উচিত।

— whuber

ঘনত্ব দেওয়া ভালভাবে সংজ্ঞায়িত ঘনত্ব বিপরীত দেওয়া ।

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1} = 0

$X_1=0$

— শি'য়ান