কেন একটি संचयी বিতরণ ফাংশন (সিডিএফ) স্বতন্ত্রভাবে একটি বিতরণ সংজ্ঞায়িত করে?

Question

আমাকে সবসময় বলা হয়েছে একটি সিডিএফ অনন্য তবে পিডিএফ / পিএমএফ অনন্য নয়, কেন? আপনি একটি উদাহরণ দিতে পারেন যেখানে পিডিএফ / পিএমএফ অনন্য নয়?

Comments

স্বতন্ত্রতা সম্পর্কিত, আপনি অভিন্ন বন্টনের পিডিএফ এবং এর অভ্যন্তরে অভিন্ন বিতরণ, মধ্যে পার্থক্যটি বিবেচনা করতে পছন্দ করতে পারেন । আর একটি মজার অনুশীলন - যা পিডিএফ এমনকি উপস্থিত কিনা এই প্রশ্নের সমাধান করে - যৌক্তিক সংখ্যার উপর বিতরণের পিডিএফটি কেমন হবে তা চিন্তা করা। উদাহরণস্বরূপ, যাক যখনই , , এবং j বিজোড় হয়। $[0,1]$$(0,1)$$\Pr(j2^{-i})=2^{1-2i}$$0\lt j2^{-i}\lt 1$$i\ge 1$$j$

— whuber

সমস্ত ডিস্ট্রিবিউশনে এমনকি পিডিএফও থাকে না বা পিএমএফ থাকে না, সিডিএফটির দিকে তাকানোর সময় জিনিসগুলিকে একীভূত দৃষ্টিভঙ্গি দেওয়া হয়। অবিচ্ছিন্ন ভেরিয়েবলের মসৃণ চেহারার সিডিএফ থাকে, পৃথক ভেরিয়েবলগুলির একটি "সিঁড়ি" থাকে এবং কিছু সিডিএফ মিশ্রিত হয়।

— সিলভার ফিশ

@ সিলভারফিশ: ... এবং কেউ কেউ উপরের কেউ নয়! :-)

— অঙ্কবাচক

শিরোনামটি সম্বোধন করতে (সম্ভবত কিছুটা looseিলে )ালাভাবে), সিডিএফ একটি বন্টনকে সংজ্ঞায়িত করে কারণ সিডিএফ (বা সমানভাবে কেবল ডিএফ / 'বিতরণ ফাংশন'; "সি" কেবলমাত্র আমরা যে বিষয়টির সাথে কথা বলছি তা স্পষ্ট করতে কাজ করে) শব্দটি কী 'বিতরণ' আক্ষরিক অর্থে বোঝায়; "ডি" হ'ল অংশটির সূত্র। এটি "এফ" থেকে অনন্য অনুসরণ করে - ফাংশনগুলি একক-মূল্যবান হয়, সুতরাং যদি দুটি বিতরণ ফাংশন একইরূপ হয় তবে তারা নির্ধারিত বস্তুটি একই; যদি ডিএফ-এর কোথাও তফাত হয় তবে তাদের সংজ্ঞাটি সেই পয়েন্টগুলিতে আলাদা different এটা কি টোটোলজি? আমি ভাবছি এটাই সেটা.

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

@ গ্লেেন_ বি এটি কেবল প্রশিক্ষিত অন্তর্নিহিতের কাছে টোটোলজিক্যাল। ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন $F$ কেবলমাত্র ফর্ম (x) = \ PR \ {ome ওমেগা \ \ ওমেগা \, | \, এক্স (ome ওমেগা) \ লে x \ form রূপের সম্ভাব্যতা দেয় $F(x)=\Pr\{\omega\in\Omega\,|\,X(\omega)\le x\}$যখন পুরো বিতরণটি ফর্মের সম্ভাব্যতাগুলি নির্দিষ্ট করে \ PR (\ ওমেগা \, \ \ ওমেগা \ \ ওমেগা \, | \, এক্স (\ ওমেগা) \ ইন \ গণিত c বি} \ ar$\Pr(\{\omega\in\Omega\,|\,X(\omega)\in\mathcal{B}\}$ স্বেচ্ছাসেবী পরিমাপযোগ্য সেটগুলির জন্য $\mathcal{B}\subset\mathbb R$ । আপনাকে $F$ নির্ধারণগুলি দেখাতে হবে নিকোলাসবি যেমন উল্লেখ করেছে, এটি অর্ধ-রিং (অর্ধ-খোলা অন্তর) থেকে প্রাক-পরিমাপ প্রসারিত করার বিষয়, $\mu((a,b])=F(b)-F(a)$ , পূর্ণ Lebesgue সিগমা-ক্ষেত্র প্রয়োজন এবং দেখাচ্ছে এটি অনন্য করে।

— whuber

Answer 1

আসুন কিছু জিনিস স্মরণ করি। যাক একটি হতে সম্ভাব্যতা স্থান , আমাদের নমুনা সেট করা হয়, আমাদের হয় -algebra, এবং একটি সম্ভাব্যতা ফাংশন উপর সংজ্ঞায়িত । একটি দৈব চলক একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন অর্থাত জন্য কোনো Lebesgue পরিমাপযোগ্য উপসেট মধ্যে । আপনি যদি এই ধারণার সাথে পরিচিত না হন তবে আমি পরে যা বলব তার কোনও অর্থ হবে না।$(\Omega,A,P)$$\Omega$$A$$\sigma$$P$$A$$X:\Omega \to \mathbb{R}$$X^{-1}(S) \in A$$\mathbb{R}$

যে কোনও সময় আমাদের র্যান্ডম ভেরিয়েবল, , এটি শ্রেণিবদ্ধ পুশফোর্ডের দ্বারা on এর সম্ভাব্যতা পরিমাপ প্ররোচিত করে । অন্য কথায়, । এটা যে চেক করতে তুচ্ছ হয় উপর সম্ভাব্যতা পরিমাপ । আমরা কল বন্টন এর ।$X:\Omega \to \mathbb{R}$$X'$$\mathbb{R}$$X'(S) = P(X^{-1}(S))$$X'$$\mathbb{R}$$X'$$X$

এখন এই ধারণার সাথে সম্পর্কিত এমন একটি বিষয় যা একটি ফাংশন ভেরিয়েবলের বিতরণ ফাংশন বলে । এলোমেলো পরিবর্তনশীল আমরা সংজ্ঞায়িত করি । বিতরণ ফাংশন মধ্যে নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:$X:\Omega \to \mathbb{R}$$F(x) = P(X\leq x)$$F:\mathbb{R} \to [0,1]$

1. $F$ হয় ডান-একটানা ।

2. $F$ কমছে না

3. $F(\infty) = 1$ এবং ।$F(-\infty)=0$

স্পষ্টত র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি যা সমান হয় একই বন্টন এবং বিতরণ ফাংশন রয়েছে।

প্রক্রিয়াটি বিপরীত করা এবং প্রদত্ত বিতরণ ফাংশনটির সাথে একটি পরিমাপ অর্জন করা বেশ প্রযুক্তিগত। আমাদের বলুন যে আপনাকে একটি বিতরণ ফাংশন । নির্ধারণ করুন আপনি দেখাতে হবে যে আছে। অন্তর সেমি-বীজগণিত উপর একটি পরিমাপ পরবর্তীতে আপনি আবেদন করতে পারেন। Carathéodory এক্সটেনশন উপপাদ্য প্রসারিত করতে একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ ।$F(x)$$\mu(a,b] = F(b) - F(a)$$\mu$$(a,b]$$\mu$$\mathbb{R}$

Comments

এটি উত্তরের একটি শুভ সূচনা, তবে অজান্তেই বিষয়টি কিছুটা অস্পষ্ট করে দিতে পারে। মূল ইস্যুতে দেখা যাচ্ছে যে একই বিতরণ ফাংশন সহ দুটি ব্যবস্থা আসলে বাস্তবে সমান। এর জন্য ডিনকিনের - উপপাদ্য এবং ফর্মের সেটগুলি একটি সিস্টেম গঠন করে যা বোরেল আলজেব্রা তৈরি করে rates তারপরে একটি ঘনত্বের অদ্বিতীয়তা (ধরে নেওয়া এটি বিদ্যমান!) উপরের সাথে সম্বোধন এবং বিপরীত হতে পারে$\pi$$\lambda$$(-\infty, b]$$\pi$$\sigma$

— কার্ডিনাল

(একটি অতিরিক্ত মাইনাল কোবলبل: এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি সাধারণত লেবেসগু সেটের পরিবর্তে বোরেল সেটের ক্ষেত্রে সংজ্ঞায়িত হয়।) আমি মনে করি কিছু ছোটখাটো সম্পাদনা দিয়ে এই উত্তরটি বেশ স্পষ্ট হয়ে উঠবে। :-)

— মূল

@ কার্ডিনাল আমি বিশ্লেষণের কথা আগে ভাবি, সম্ভাবনা দ্বিতীয়। সুতরাং, আমি কেন লেবেসগু সেট সম্পর্কে চিন্তা করতে পছন্দ করি তা এটি ব্যাখ্যা করতে পারে। উভয় ক্ষেত্রেই এটি যা বলেছিল তা প্রভাবিত করে না।

— নিকোলাস বাউরবাকি

Answer 2

একই অবিচ্ছেদের সাথে দুটি ঘনত্বের উদাহরণের অনুরোধের উত্তর দেওয়ার জন্য (যেমন একই বিতরণ ফাংশন রয়েছে) প্রকৃত সংখ্যাগুলিতে সংজ্ঞায়িত এই ফাংশনগুলি বিবেচনা করুন:

 f(x) = 1 ; when x is odd integer
 f(x) = exp(-x^2)  ; elsewhere

এবং তারপর;

 f2(x) = 1  ; when x is even integer
 f2(x) = exp(-x^2) ;  elsewhere

এগুলি মোটেও x এর সমান নয়, তবে একই বিতরণের জন্য উভয় ঘনত্ব, তাই ঘনত্বগুলি (संचयी) বিতরণ দ্বারা স্বতন্ত্রভাবে নির্ধারিত হয় না। যখন সত্যিকারের ডোমেনের সাথে ঘনত্বগুলি কেবলমাত্র x মানগুলির একটি গণনাযোগ্য সেটগুলিতে পৃথক হয়, তখন সংহতগুলি একই হবে be গাণিতিক বিশ্লেষণটি হৃদয়ের বেহুশতা বা নির্ধারিত দৃ concrete় মনের জন্য নয়।

Answer 3

"আপনার সম্ভাব্যতা বিতরণ কার্যটি কোনও সম্ভাব্যতা পরিমাপ স্বতন্ত্রভাবে নির্ধারণ করে না" এই বিবৃতিটির সাথে আমি একমত নই, আপনি আপনার উদ্বোধনী প্রশ্নে বলেছেন। এটি অনন্যভাবে এটি নির্ধারণ করে।

যাক দুই সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন হও। পারেন, কোন পরিমাপযোগ্য সেট জন্য তারপর প্রায় সর্বত্র। এটি অনন্যভাবে পিডিএফ নির্ধারণ করে (কারণ বিশ্লেষণে তারা পরিমাপ শূন্যের একটি সেট নিয়ে একমত না হলেও আমরা তাদের চিন্তা করি না)।f 1 , f 2 : R → [ 0 , ∞ ) ∫ E f 1 = ∫ E f 2 E f 1 = f $f_1,f_2:\mathbb{R}\to [0,\infty)$

$$\int_E f_1 = \int_E f_2$$ $E$$f_1=f_2$

আমরা উপরের অবিচ্ছেদ্যগুলিতে আবার লিখতে পারি, যেখানে একটি সমন্বিত ফাংশন।। E g=0g= f 1 - f

$$\int_E g = 0$$ $g=f_1-f_2$

নির্ধারণ , সুতরাং । আমরা সুপরিচিত উপপাদ্যটি ব্যবহার করি যে অ-নেতিবাচক ফাংশনের একটি অবিচ্ছেদ্য যদি শূন্য হয় তবে ফাংশনটি প্রায় সর্বত্রই শূন্য। বিশেষ করে AE উপর । সুতরাং AE উপর । এবার সাথে অন্য দিকে যুক্তির পুনরাবৃত্তি করুন । আমরা যে পাবেন চ 1 = চ 2 উপর AE এফ । সুতরাং, চ 1 = চ 2 উপর AE ই ∪ এফ = আর$E = \{ x \in \mathbb{R} ~ | ~ g \geq 0 \}$$\int_E g = 0$$g=0$$E$$f_1 = f_2$$E$$F = \{ x\in \mathbb{R} ~ | ~ g \leq 0 \}$$f_1 = f_2$$F$$f_1 = f_2$$E\cup F = \mathbb{R}$।