কুপন সংগ্রাহক সমস্যার সাধারণ ফর্মের জন্য কোনও সূত্র আছে কি?

Question

আমি কুপন সংগ্রহকারীদের সমস্যায় পড়ে গিয়ে সাধারণীকরণের জন্য একটি সূত্র তৈরির চেষ্টা করছিলাম।

তাহলে আছে স্বতন্ত্র বস্তু এবং অন্তত সংগ্রহ করতে চান ট কোনো প্রতিটি কপি মি তাদের (যেখানে মি \ Le এন ), আপনি কত র্যান্ডম বস্তু কিনতে হবে প্রত্যাশা কি ?. সাধারণ কুপন সংগ্রাহক সমস্যাটিতে এম = এন এবং কে = 1 রয়েছে ।কে এম এম ≤ এন এম = এন কে = $N$$k$$m$$m \le N$$m = N$$k = 1$

একটি সংগ্রহে 12 টি পৃথক LEGO চিত্র রয়েছে। আমি প্রতিটি 10 ​​(যে কোনও 10) চিত্রের 3 টি অনুলিপি সংগ্রহ করতে চাই। আমি এগুলি একবারে এলোমেলোভাবে কিনতে পারি। আমি তাদের 10 টির প্রত্যেকটির 3 অনুলিপি রাখার আগে আমার কয়টি কিনতে হবে?

Comments

আমি সেই বিশেষ জেনারালাইজের জন্য কোনও সূত্র দেখেছি তা মনে নেই, তবে এর মতো এক-অফ নির্দিষ্ট প্রশ্নের জন্য আমি সিমুলেশনটি ব্যবহার করার প্রবণতা রাখি।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

Answer 1

এটি গণনা করা সহজ নয়, তবে এটি করা যেতে পারে, তবে provided $\binom{m+k}{k}$ too খুব বড় না। (এই সংখ্যাটি কুপন সংগ্রহের সময় আপনার যে ট্র্যাক করতে হবে তা সম্ভাব্য রাজ্যের গণনা করে))

আসুন উত্তরটি কিছুটা বোঝার জন্য একটি সিমুলেশন দিয়ে শুরু করি । এখানে, আমি দশ মিলিয়ন বার লেগো পরিসংখ্যান সংগ্রহ করেছি। এই প্লটের কালো রেখাটি দশটি বিভিন্ন চিত্রের মধ্যে কমপক্ষে তিনটি সংগ্রহের জন্য প্রয়োজনীয় ক্রয়ের সংখ্যার ফ্রিকোয়েন্সি ট্র্যাক করে।

ধূসর ব্যান্ডটি প্রতিটি গণনার জন্য আনুমানিক দ্বিমুখী 95% আস্থার ব্যবধান। এর নীচে সমস্ত একটি লাল বক্ররেখা: এটি আসল মান।

সত্য মান পাওয়ার জন্য বিষয়ক রাষ্ট্র বিবেচনা যখন আপনি পরিসংখ্যান, যার আছে সংগ্রহ করছেন সম্ভব ধরনের এবং অন্তত সংগ্রহ করতে ইচ্ছুক এর বিভিন্ন ধরনের। আপনার কেবলমাত্র তথ্য ট্র্যাক রাখতে হবে তা হ'ল আপনি কতগুলি পরিসংখ্যান দেখেন নি, আপনি একবার মাত্র কতজন দেখেছেন, কতবার আপনি দুবার দেখেছেন এবং কতগুলি আপনি তিন বা ততোধিক বার দেখেছেন । আমরা এটিকে একটি monomial হিসাবে করতে যেখানে সম্পর্কিত গণনা, থেকে সূচী । সাধারণভাবে, আমরা ফর্মটির মনোমালিন্য ব্যবহার করব would$n=12$$k=3$$m=10$$x_0^{i_0} x_1^{i_1} x_2^{i_2} x_3^{i_3}$$i_j$$k=0$$k=t$$\prod_{j=0}^k x_j^{i_j}$ ।

একটি নতুন র্যান্ডম বস্তুর সংগ্রহ করার পরে, এটা এক হতে হবে সম্ভাব্যতা সঙ্গে অদেখা বস্তু , বস্তু সঙ্গে সম্ভাব্যতা মাত্র একবার দেখা এক , এবং তাই ঘোষণা। ফলাফল মনোমালিক্যের একটি রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে,$i_0$$i_0/n$$i_1/n$

$$x_0^{i_0} x_1^{i_1} x_2^{i_2} x_3^{i_3}\to \frac{1}{n}\left(i_0 x_0^{i_0-1}x_1^{i_1+1}x_2^{i_2}x_3^{i_3} + \cdots + i_3 x_0^{i_0}x_1^{i_1}x_2^{i_2-1}x_3^{i_3}\right).$$

এটি রৈখিক ডিফারেনশিয়াল অপারেটর প্রয়োগের ফলাফল । স্পষ্টতই, প্রারম্ভিক অবস্থায় পুনরাবৃত্ত অ্যাপ্লিকেশনগুলি একটি পলিনোমিয়াল , যার মধ্যে সর্বাধিক পদ রয়েছে, যেখানে of এর সহগ রয়েছে হ'ল রাজ্যে উপস্থিত হওয়ার সম্ভাবনা দ্বারা নির্দেশিত। আমাদের কেবলমাত্র সাথে ফোকাস করা দরকার : তাদের সহগের যোগফলগুলি কুপন সংগ্রহ শেষ করার সুযোগ হবে the পুরো গণনাটির জন্য তাই$(x_1 D_{x_0} + x_2 D_{x_1} + x_3 D_{x_2} + x_3 D_{x_3})/n$$x_0^{12}=x_0^n$$p$$\binom{n+k}{k}$$\prod_{j=0}^k x_j^{i_j}$$p$$i_3 \ge t$$(m+1)\binom{n+k}{k}$ প্রতিটি ধাপে সহজ গণনা, সংগ্রহের সাথে সাফল্যের বিষয়ে প্রায় নিশ্চিত হওয়ার জন্য যতবার পুনরাবৃত্তি করা হয়।

এই ফ্যাশনে প্রক্রিয়াটি প্রকাশ করা কম্পিউটার বীজগণিত সিস্টেমগুলির দক্ষতা কাজে লাগানো সম্ভব করে। উদাহরণস্বরূপ, ড্র পর্যন্ত সম্ভাবনাগুলি গণনা করার জন্য একটি সাধারণ গণিত সমাধান । এটি কিছু সম্ভাবনা বাদ দেয় তবে তাদের মোট সম্ভাবনা than এর চেয়ে কম হয় , যা আমাদের বিতরণের প্রায় সম্পূর্ণ চিত্র দেয়।$6nk=216$$10^{-17}$

n = 12;
threshold = 10;
k = 3;

(* Draw one object randomly from an urn with `n` of them *)
draw[p_] := 
  Expand[Sum[Subscript[x, i] D[#, Subscript[x, i - 1]], {i, 1, k}] + 
      Subscript[x, k] D[#, Subscript[x, k]] & @ p];

(* Find the chance that we have collected at least `k` each of `threshold` objects *)
f[p_] := Sum[
  Coefficient[p, Subscript[x, k]^t] /. 
   Table[Subscript[x, i] -> 1, {i, 0, k - 1}], {t, threshold, n}]

(* Compute the chances for a long series of draws *)
q = f /@ NestList[draw[#]/n &, Subscript[x, 0]^n, 6 n k];

ফলাফল, যা গণনা করতে প্রায় দুই সেকেন্ড সময় নেয় (সিমুলেশনের চেয়ে দ্রুত!) অঙ্কের সংখ্যা দ্বারা সূচকযুক্ত সম্ভাবনার একটি অ্যারে। এখানে তার পার্থক্যের একটি প্লট এখানে দেওয়া হয়েছে, যা গণনার ক্রিয়া হিসাবে আপনার ক্রয়ের সমাপ্তির সম্ভাবনাগুলি:

এগুলি হ'ল প্রথম চিত্রটিতে লাল পটভূমির বক্ররেখা আঁকতে ব্যবহৃত নম্বরগুলি। (একটি চি-স্কোয়ার্ড পরীক্ষা নির্দেশ করে যে অনুকরণটি এই গণনা থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে পৃথক নয়))

আমরা করে অঙ্কিত প্রত্যাশিত সংখ্যাটি অনুমান করতে পারি ; ফলাফল 14-15 দশমিক জায়গায় ভাল হওয়া উচিত। আমি (যা প্রতিটি সঠিক, একটি দীর্ঘ গণনা দ্বারা নির্ধারিত হিসাবে) প্রাপ্ত করে।$1-q$$50.7619549386733$