কোনও ইভেন্টের সম্ভাবনা যা পরিমাপযোগ্য নয়

Question

আমরা পরিমাপ তত্ত্ব থেকে জানি যে এমন কিছু ইভেন্ট রয়েছে যা পরিমাপ করা যায় না, অর্থাৎ সেগুলি লেবেসগু পরিমাপযোগ্য নয়। সম্ভাব্যতার পরিমাপটি সংজ্ঞায়িত নয় এমন সম্ভাব্যতা সহ আমরা কোন ইভেন্টটিকে কী বলি? এই জাতীয় ঘটনা সম্পর্কে আমরা কী ধরণের বক্তব্য দেব?

Comments

এটি গণনা করে না। হয়তো আমার কফির দরকার আছে বা আমি এটি ভুলভাবে লিখছি। একটি পরিমাপের ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত না করা এবং সেটকে অ-পরিমাপযোগ্য নয় এর মধ্যে পার্থক্য রয়েছে। যদি প্রশ্নটি ফাংশনের সাথে সম্পর্কিত হয়, তবে এটি কেবলমাত্র এমন একটি বিন্দু যেখানে ফাংশনটি অপরিজ্ঞাত। এটি কোনও ফাংশনের সম্ভাব্যতার সংজ্ঞা দেয় না যা সংজ্ঞায়িত হয় এবং এটি একটি বৈধ সম্ভাব্যতা পরিমাপ।

— Iterator

যদি আপনি পছন্দের অক্ষর ব্যতীত একটি লেবেসগ-পরিমাপযোগ্য সেটটি স্থাপন করতে না পারেন, তবে কোনও পরিমাপযোগ্য না হওয়ার সম্ভাবনাযুক্ত কোনও নির্দিষ্ট ঘটনা ঘটেছে কিনা তা আপনি কীভাবে প্রস্তাব করবেন?

— হেনরি

@ হেনরি: ওপিটি কেবলমাত্র পরিভাষাটির উল্লেখ করছে। কীভাবে আমি হিসাবে পারে এমন একটি ঘটনা পড়ুন, আমি ডগলাস অ্যাডামস 'অসীম অসম্ভাব্যতা ড্রাইভ ডাকা হবে। বা একে হোয়াইট কুইন ঘটনা হিসাবে অভিহিত করুন, কারণ তিনি প্রাতঃরাশের আগে impossible টি অসম্ভব জিনিস বিশ্বাস করতে পারতেন। :)

— Iterator

কার্ডিনাল হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে যে, সম্ভাবনাময় তত্ত্বে ননমেজিউটেবল সেটগুলি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। ভ্যান ডের ভার্টের দুর্বল রূপান্তর এবং অভিজ্ঞতামূলক গ্রন্থটি খুব ভাল পরিচয় দেয়। এই বইটি পড়ার জন্য গণিতে বেশ ভাল পটভূমি প্রয়োজন, তবে উপস্থাপিত তত্ত্বটি আমার মতামতটি সুন্দর।

— এমপিটিকাস

আপনি কেবল সম্ভাব্যতা তত্ত্বের কাঠামোর মধ্যে লেবেসগু পরিমাপ বা আরও সাধারণভাবে জড়িত ফলাফলগুলিতে আগ্রহী? এখানে অংশগ্রহণকারীদের মধ্যে এটি সম্পর্কে কিছু সন্দেহ রয়েছে বলে মনে হচ্ছে।

— কার্ডিনাল

Answer 1

আমি যেমন মন্তব্যগুলিতে বলেছি যে কীভাবে এই ধরণের ঘটনাগুলি (অ-পরিমাপযোগ্য সেটগুলি) মোকাবেলা করতে হবে বইটিতে বর্ণিত হয়েছে: এ ভ্যান ডের ভার্ট এবং এ ওয়েলনার দ্বারা দুর্বল রূপান্তর এবং অভিজ্ঞতামূলক প্রক্রিয়া । আপনি প্রথম কয়েকটি পৃষ্ঠা ব্রাউজ করতে পারেন।

এই সেটগুলি কীভাবে মোকাবেলা করা যায় তা সমাধান বেশ সহজ। পরিমাপযোগ্য সেট সহ তাদের আনুমানিক। সুতরাং ধরুন আমাদের একটি সম্ভাবনার জায়গা আছে । যে কোনও সেট বি জন্য বাহ্যিক সম্ভাব্যতা সংজ্ঞায়িত করুন (এটি বইয়ের 6 পৃষ্ঠায় রয়েছে):$(\Omega,\mathcal{A},P)$$B$

$$P^*(B)=\inf\{(P(A), B\subset A, A\in \mathcal{A}\}$$

দেখা যাচ্ছে যে আপনি এই ধরণের সংজ্ঞা দিয়ে খুব ফলপ্রসূ তত্ত্ব তৈরি করতে পারেন।

Comments

যদিও আমি অভিজ্ঞতাবাদী প্রক্রিয়া তত্ত্বের বিশেষজ্ঞ নই, তবে আমার ধারণা যে বাহ্যিক সম্ভাবনার ব্যবহার সত্যিই অ-পরিমাপযোগ্য সেটগুলিতে সম্ভাব্যতা নির্ধারণের ইচ্ছাটির উপর ভিত্তি করে নয়, তবে আপনি এর ঝামেলা ছাড়তে চান না বলে আসলে সব সময় পরিমাপযোগ্যতা প্রমাণ করে। এবং যদি আপনি ফুবিনির উপপাদ্যের মতো জিনিসগুলি ছাড়া বাঁচতে পারেন তবে আপনি কেবল বাহ্যিক সম্ভাবনাগুলি গণনা করে কোনও কিছুই আলগা করেন না।

— এনআরএইচ

Answer 2

সম্পাদনা: কার্ডিনালের মন্তব্যের আলোকে: আমি নীচে যা বলছি তা লেবেসগু পরিমাপ (সম্পূর্ণ পরিমাপ) সম্পর্কে স্পষ্টভাবে is আপনার প্রশ্নটি পুনরায় পড়ার পরে মনে হচ্ছে আপনি এটিই জিজ্ঞাসা করছেন। সাধারণ বোরেল পরিমাপের ক্ষেত্রে আপনার সেটটি অন্তর্ভুক্ত করার জন্য পরিমাপটি বাড়ানো সম্ভব হতে পারে (লেবেসগু পরিমাপের সাথে এটি সম্ভব নয় কারণ এটি ইতিমধ্যে যতটা বড়)

এই জাতীয় ইভেন্টের সম্ভাবনা সংজ্ঞায়িত করা হবে না। সময়কাল। অনেকটা বাস্তব মূল্যবান ফাংশন যেমন একটি (অ-বাস্তব) জটিল সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয় না, একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ পরিমাপযোগ্য সেটগুলিতে সংজ্ঞায়িত হয় তবে অ-পরিমাপযোগ্য সেটগুলিতে নয়।

সুতরাং এই জাতীয় ঘটনা সম্পর্কে আমরা কী বক্তব্য রাখতে পারি? আচ্ছা, শুরু করার জন্য, এই জাতীয় ইভেন্টটি পছন্দগুলির অক্ষর ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করতে হবে। এর অর্থ হ'ল যে সমস্ত সেট যা আমরা কিছু নিয়মে বর্ণনা করতে পারি তা বাদ দেওয়া হয়। অর্থাত্, আমরা সাধারণত যে সকল সেটে আগ্রহী সেগুলি বাদ দেওয়া হয়।

কিন্তু আমরা কি মাপ-পরিমাপযোগ্য ইভেন্টের সম্ভাবনা সম্পর্কে কিছু বলতে পারি না ? তার উপর বাধা আছে কিছু? বনচ-তারস্কির প্যারাডক্স দেখায় যে এটি কার্যকর হবে না। বানচ-তারস্কি যে গোলকটিকে বিচ্ছিন্ন করে তার সীমাবদ্ধ সংখ্যার পরিমাপের উপরের একটি বাউন্ড থাকে (বলুন, গোলকের পরিমাপ) যদি পর্যাপ্ত গোলক তৈরি করে আমরা একটি বৈপরীত্যে চলে যেতে পারি। পিছনের দিকে একই অনুরূপ যুক্তি দিয়ে আমরা দেখতে পাই যে টুকরোগুলিগুলির একটি অপ্রয়োজনীয় নিম্ন সীমানা থাকতে পারে না।

আমি দেখাইনি যে সমস্ত অ-পরিমাপযোগ্য সেট এই সমস্যাযুক্ত, যদিও আমি বিশ্বাস করি যে আমার চেয়ে চতুর একজন ব্যক্তি এমন যুক্তি দিয়ে আসতে সক্ষম হবেন যা দেখায় যে আমরা কোনও সামঞ্জস্যপূর্ণভাবে কোনও তুচ্ছ বাধাটিকে "পরিমাপ" করতে পারি না "কোনও অ-পরিমাপযোগ্য সেট (সম্প্রদায়ের কাছে চ্যালেঞ্জ)।

সংক্ষেপে, আমরা এই জাতীয় সেটটির সম্ভাব্যতা পরিমাপ সম্পর্কে কোনও বিবৃতি দিতে পারি না, এটি বিশ্বের শেষ নয় কারণ সমস্ত প্রাসঙ্গিক সেটগুলি পরিমাপযোগ্য।

Comments

এটি একটি আকর্ষণীয় উত্তর এবং তথ্যমূলক উত্তর। তবে, আপনি লেবেসগু পরিমাপক্ষমতা সম্পর্কে অত্যধিক দৃষ্টি নিবদ্ধ করতে পারেন। সম্ভাবনাময় তত্ত্বে ননমেজিউটেবল সেটগুলি আরও বেশি প্রচলিত।

— কার্ডিনাল

Answer 3

$\sigma$$\sigma$$\sigma$$\sigma$$\mathbb{R}$$\sigma$

$\sigma$$\sigma$