সর্বাধিক দুটি পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত সাধারণ ভেরিয়েবল বিতরণ

18

আমি দুই আদর্শ স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল আছে বলুন এবং যে যৌথভাবে স্বাভাবিক পারস্পরিক সম্পর্কের সহগের সঙ্গে । $X_1$ $X_2$ $r$

এর বিতরণ ফাংশনটি কী ? $\max(X_1, X_2)$

correlation normal-distribution extreme-value

— জাতিবৈর
সূত্র

সম্পর্কিত: stats.stackexchange.com/questions/173064/… ।

— জেদীআটম

22

মতে Nadarajah এবং Kötz, 2008 , দুই গসিয়ান এলোমেলো ভেরিয়েবল সর্বোচ্চ / ন্যূনতম এর সঠিক বিতরণ , এর পিডিএফ উপস্থিত হতে পারে $X = \max(X_1, X_2)$

f (x) = 2 \cdot ϕ (x) \cdot Φ (\frac{1 - r}{\sqrt{1 - r^{2}}} x),

$f(x) = 2 \cdot \phi(x) \cdot \Phi\left( \frac{1 - r}{\sqrt{1 - r^2}} x\right),$

যেখানে পিডিএফ এবং হ'ল মানক বিতরণের সিডিএফ। $\phi$ $\Phi$

$\hskip2in$ এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

— লুকাস
সূত্র

কি মত এই চেহারা যদি (কোন সব সময়ে পারস্পরিক সম্পর্ক)? এটি দেখার জন্য আমার সমস্যা হচ্ছে।

r = 0

$r = 0$

— মিচ

3

আমি বিতরণ কল্পনা একটি চিত্র যোগ করা হয়েছে। দেখে মনে হচ্ছে একটি চেঁচানো গৌসিকে ডান দিকে কিছুটা আঁকিয়ে দেওয়া হয়েছে।

— লুকাস

22

যাক জন্য bivariate সাধারন পিডিএফ হতে মান marginals এবং পারস্পরিক সম্পর্ক সঙ্গে । সর্বাধিকের সিডিএফ হ'ল সংজ্ঞা অনুসারে, $f_\rho$ $(X,Y)$ $\rho$

Pr (max (X, Y) \leq z) = Pr (X \leq z, Y \leq z) = \int_{- \infty}^{z} \int_{- \infty}^{z} f_{ρ} (x, y) d y d x .

$\Pr(\max(X, Y)\le z) = \Pr(X\le z,\ Y\le z) = \int_{-\infty}^z\int_{-\infty}^z f_\rho(x,y)dy dx.$

দ্বিখণ্ডিত নরমাল পিডিএফটি তির্যকের চারপাশে প্রতিসম (প্রতিবিম্বের মাধ্যমে) হয়। সুতরাং, থেকে বাড়ানো মূল আধা-অসীম বর্গক্ষেত্রে সমতুল্য সম্ভাবনার দুটি স্ট্র্যাপ যুক্ত করে: অসীমভাবে ঘন উপরের একটি তবে এর প্রতিফলিত প্রতিরূপ, ডান হাতের স্ট্রিপটি হ'ল । $z$ $z+dz$ $(-\infty, z]\times (z, z+dz]$ $(z, z+dz]\times (-\infty, z]$

ব্যক্তিত্ব

ডানদিকের ফালা সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ঘনত্ব হয় এ মোট শর্তাধীন সম্ভাব্যতা বার যে , ফালা হয় । শর্তাধীন বিতরণ সর্বদা স্বাভাবিক, সুতরাং এই মোট শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনাটি খুঁজে পেতে আমাদের কেবলমাত্র গড় এবং বৈকল্পিক প্রয়োজন। এ এর শর্তসাপেক্ষ মানে হ'ল রিগ্রেশন পূর্বাভাস এবং শর্তসাপেক্ষ প্রকরণটি হ'ল "অব্যক্ত" ভেরিয়েন্স । $X$ $z$ $Y$ $\Pr(Y\le z\,|\, X=z)$ $Y$ $Y$ $X$ $\rho X$ $\text{var}(Y) - \text{var}(\rho X) = 1-\rho^2$

এখন যেহেতু আমরা জানি শর্তসাপেক্ষ গড় এবং ভ্যারিয়েন্স, এর শর্তাধীন সিডিএফ দেওয়া standardizing পাওয়া যেতে পারে এবং প্রয়োগের আদর্শ স্বাভাবিক সিডিএফ : $Y$ $X$ $Y$ $\Phi$

Pr (Y \leq y | X) = Φ (\frac{y - ρ X}{\sqrt{1 - ρ^{2}}}) .

$\Pr(Y \le y\,|\, X) = \Phi\left(\frac{y-\rho X}{\sqrt{1-\rho^2}}\right).$

এই মূল্যায়ন এবং এবং ঘনত্ব দ্বারা গুন এ (ক আদর্শ স্বাভাবিক পিডিএফ ) দ্বিতীয় সম্ভাবনা ঘনত্ব দেয় (ডানদিকের) ফালা $y=z$ $X=z$ $X$ $z$ $\phi$

ϕ (z) Φ (\frac{z - ρ z}{\sqrt{1 - ρ^{2}}}) = ϕ (z) Φ (\frac{1 - ρ}{\sqrt{1 - ρ^{2}}} z) .

$\phi(z)\Phi\left(\frac{z-\rho z}{\sqrt{1-\rho^2}}\right) = \phi(z)\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right).$

সর্বোচ্চ হিসাবে পিডিএফ প্রদান করে, সমতুল্য সম্ভাব্য উপরের স্ট্রিপের জন্য এই অ্যাকাউন্টগুলিকে দ্বিগুণ করা

\frac{d}{d z} Pr (max (X, Y) \leq z) = 2 ϕ (z) Φ (\frac{1 - ρ}{\sqrt{1 - ρ^{2}}} z) .

$\frac{d}{dz}\Pr(\max(X,Y)\le z) = \color{blue}{2}\color{black}{\phi(z)}\color{darkred}{\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right)}.$

অনুচিন্তা

আমি তাদের উত্সকে বোঝাতে কারণগুলি : দুটি প্রতিসাম্য স্ট্রিপের জন্য ; অসীম স্ট্রিপ প্রস্থের জন্য ;; এবং ফালা দৈর্ঘ্যের জন্য । পরের যুক্তি, , উপর শর্তাধীন একটি মানক সংস্করণ । $\color{blue}2$ $\color{black}{\phi(z)}$ $\color{darkred}{\Phi\left(\cdots\right)}$ $\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z$ $Y=z$ $X=z$

— whuber
সূত্র

এটিকে প্রদত্ত পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স সহ আরও দুটি স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ ভেরিয়েবলগুলিতে বাড়ানো যেতে পারে?

— এ। ডোন্ডা

1

@ এডোন্ডা হ্যাঁ - তবে প্রকাশটি আরও জটিল হয়ে ওঠে। প্রতিটি নতুন মাত্রার সাথে আবার আরও সংহত করার প্রয়োজন আসে।

— whuber