পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি তৈরির সূত্র কীভাবে কাজ করে?

Question

যদি আমাদের কাছে 2 টি সাধারণ, আনঅর্কিলিটেড এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি তবে আমরা সূত্রটি সহ 2 টি সম্পর্কযুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবল তৈরি করতে পারি$X_1, X_2$

$Y=\rho X_1+ \sqrt{1-\rho^2} X_2$

এবং তারপর $Y$ একটি পারস্পরিক সম্পর্ক থাকবে $\rho$ সঙ্গে $X_1$ ।

এই সূত্রটি কোথা থেকে এসেছে কেউ ব্যাখ্যা করতে পারেন?

Comments

আমার এবং উত্তর সম্পর্কিত এ সম্পর্কিত এবং এর সম্পর্কিত একটি বিস্তৃত আলোচনা stats.stackexchange.com/a/71303 এ প্রদর্শিত হবে । অন্যান্য বিষয়ের মধ্যে, এটা স্পষ্ট করে যে (1) স্বাভাবিক ধৃষ্টতা অপ্রাসঙ্গিক এবং (2) আপনি অতিরিক্ত অনুমানের করা প্রয়োজন: এর ভেরিয়ানস $X_1$ এবং $X_2$ এর পারস্পরিক সম্পর্ক জন্য অনুক্রমে সমান হতে হবে $Y$ সঙ্গে $X_1$ হতে $\rho$ ।

— whuber

খুব আকর্ষণীয় লিঙ্ক। আমি নিশ্চিত নই যে আপনি স্বাভাবিকতা অপ্রাসঙ্গিক হয়ে কী বোঝাতে চেয়েছেন তা আমি বুঝতে পেরেছি। যদি বা এক্স 2 স্বাভাবিক না হয় এবং কায়সার-ডিকম্যান অ্যালগরিদমের মাধ্যমে Y এর ঘনত্ব নিয়ন্ত্রণ করা আরও শক্ত হয়ে যায় । নন-নরমাল কোলেলেটেড ডেটা উত্পন্ন করার জন্য বিশেষায়িত অ্যালগরিদমগুলির পুরো কারণ এটি (উদাহরণস্বরূপ, হেড্রিক, ২০০২; রুসিও এবং ক্যাসেটো, ২০০;; ভ্যালে এবং মরেলি, ১৯৮৩) উদাহরণস্বরূপ, কল্পনা করুন আপনার লক্ষ্যটি এক্স -নরমাল, ওয়াই ~ ইউনিফর্ম তৈরি করা , ρ = .5 সহ। ব্যবহার এক্স 2 একটি ~ অভিন্ন ফলাফল ওয়াই যে অভিন্ন নয় ( ওয়াই একটি স্বাভাবিক এবং অভিন্ন একটি রৈখিক সমন্বয় হচ্ছে শেষ পর্যন্ত)।$X_1$$X_2$$Y$$X$$Y$$\rho$$X_2$$Y$$Y$

— অ্যান্থনি

@ অ্যান্টনি প্রশ্নটি কেবলমাত্র পারস্পরিক সম্পর্ক সম্পর্কিত জিজ্ঞাসা করে , যা নিখুঁতভাবে প্রথম এবং দ্বিতীয় মুহুর্তের একটি কাজ। উত্তর বিতরণের অন্য কোনও বৈশিষ্ট্যের উপর নির্ভর করে না। আপনি যা আলোচনা করছেন তা সম্পূর্ণ আলাদা একটি বিষয়।

— শুক্র

Answer 1

ধরুন আপনার একটি রৈখিক সমন্বয় খুঁজে পেতে চান এবং এক্স 2 যেমন যে$X_1$$X_2$

$$\text{corr}(\alpha X_1 + \beta X_2, X_1) = \rho$$

লক্ষ্য করুন যে আপনি যদি সংখ্যাবৃদ্ধি উভয় এবং β একই (নন-জিরো) ধ্রুবক দ্বারা, পারস্পরিক সম্পর্ক পরিবর্তন হবে না। সুতরাং, আমরা বৈকল্পিকতা সংরক্ষণের জন্য একটি শর্ত যুক্ত করতে যাচ্ছি: var ( α X 1 + β X 2 ) = var ( এক্স 1$\alpha$$\beta$$\text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) = \text{var}(X_1)$

এটি সমান

$$\rho = \frac{\text{cov}(\alpha X_1 + \beta X_2, X_1)}{\sqrt{\text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) \text{var}(X_1)}} = \frac{\alpha \overbrace{\text{cov}(X_1, X_1)}^{=\text{var}(X_1)} + \overbrace{\beta \text{cov}(X_2, X_1)}^{=0}}{\sqrt{\text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) \text{var}(X_1)}} = \alpha \sqrt{\frac{\text{var}(X_1)}{\alpha^2 \text{var}(X_1) + \beta^2 \text{var}(X_2)}}$$

ধরে নেওয়া যাক উভয় র্যান্ডম ভেরিয়েবল একই ভেরিয়ানস (এই একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ধৃষ্টতা হয়!) ( ), আমরা পেতে$\text{var}(X_1) = \text{var}(X_2)$

$$\rho \sqrt{\alpha^2 + \beta^2} = \alpha$$

এই সমীকরণের অনেকগুলি সমাধান রয়েছে, সুতরাং সময়টি পরিবর্তিত-সংরক্ষণের শর্তটি স্মরণ করার জন্য:

$$\text{var}(X_1) = \text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) = \alpha^2 \text{var}(X_1) + \beta^2 \text{var}(X_2) \Rightarrow \alpha^2 + \beta^2 = 1$$

এবং এটি আমাদের দিকে পরিচালিত করে

$$\alpha = \rho \\ \beta = \pm \sqrt{1-\rho^2}$$

ইউপিডি । দ্বিতীয় প্রশ্ন সংক্রান্ত: হ্যাঁ, এই হিসাবে পরিচিত হয় ঝকঝকে ।

Answer 2

সমীকরণটি কোলেস্কি পচে যাওয়ার সরল বিভাজন রূপ । এই সরলিকৃত সমীকরণটিকে কখনও কখনও কায়সার-ডিকম্যান অ্যালগরিদম (কায়সার এবং ডিকম্যান, 1962) বলা হয়।

দ্রষ্টব্য যে সঠিকভাবে কাজ করতে এই অ্যালগরিদমের জন্য এবং এক্স 2 এর একই বৈচিত্র থাকতে হবে। এছাড়াও, অ্যালগরিদম সাধারণত সাধারণ ভেরিয়েবলের সাথে ব্যবহৃত হয়। যদি এক্স 1 বা এক্স 2 সাধারণ না হয়, তবে এক্স এর 2 এর মতো বিতরণ ফর্মটি Y নাও থাকতে পারে ।$X_1$$X_2$$X_1$$X_2$$Y$$X_2$

তথ্যসূত্র:

কায়সার, এইচএফ, এবং ডিকম্যান, কে। (1962)। একটি স্বেচ্ছাসেবী জনসংখ্যা সম্পর্কিত ম্যাট্রিক্স থেকে নমুনা এবং জনসংখ্যা স্কোর ম্যাট্রিক্স এবং নমুনা পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স। সাইকোমেট্রিকা, 27 (2), 179-182।

Comments

আমি মনে করি আপনার মানকীয় সাধারণ ভেরিয়েবলের প্রয়োজন নেই, কেবল একই বৈকল্পিক হওয়া যথেষ্ট হবে should

— আর্টেম সোবোলেভ

না, বিতরণের হয় না একটি মিশ্রণ বন্টন হিসাবে আপনি দাবি করুন। $Y$

— দিলীপ সরোতে

পয়েন্ট নেওয়া হয়েছে, @ দিলিপ সরোতে। যদি বা এক্স 2 দুটি যদি অস্বাভাবিক হয় তবে Y দুটি দুটি ভেরিয়েবলের রৈখিক সংমিশ্রণে পরিণত হয় যার ফলে কাঙ্ক্ষিত বন্টন হতে পারে না। উত্পাদিত অ-স্বাভাবিক সম্পর্কিত সম্পর্কিত ডেটার জন্য বিশেষায়িত অ্যালগরিদমগুলির (কায়সার-ডিকম্যানের পরিবর্তে) কারণ। $X_1$$X_2$$Y$

— অ্যান্টনি

Answer 3

$\cos$$n^{th}$$n^{th}$$\cos\theta$$sin\theta$$X_1,X_2$
$\rho = cos \theta$$\sqrt{1-{\rho}^2}=\pm sin \theta$

$X_1, X_2$

Comments

আমাদের সাইটে আপনাকে স্বাগতম! আমি বিশ্বাস করি যে আপনি ব্যবহার করে গাণিতিক প্রকাশগুলি চিহ্নিত করলে আপনার পোস্টটি আরও মনোযোগ পাবে$\TeX$