ইতিবাচক নির্ধারকটির অভিন্ন র্যান্ডম অर्थোগোনাল ম্যাট্রিকগুলি কীভাবে উত্পন্ন করা যায়?

আমি সম্ভবত একটি নির্বোধ প্রশ্ন পেয়েছি যা সম্পর্কে, আমি অবশ্যই স্বীকার করব, আমি বিভ্রান্ত। কিছু আকারের এর অভিন্ন বিতরণ করা এলোমেলো অর্থোগোনাল (অর্থনোমরমাল) ম্যাট্রিক্সের বারবার উত্পন্ন কল্পনা করুন । কখনও কখনও উত্পন্ন ম্যাট্রিক্স নির্ধারক এবং কখনও কখনও এটি নির্ধারক । (কেবল দুটি সম্ভাব্য মান রয়েছে or অরথোগোনাল ঘোরার দৃষ্টিকোণ থেকে অর্থ হল যে আবর্তনের পাশাপাশি আরও একটি অতিরিক্ত প্রতিবিম্ব রয়েছে)) $p$ $1$ $-1$ $\det=-1$

আমরা এর অরথোগোনাল ম্যাট্রিক্সের চিহ্নটি $\det$ মাইনাস থেকে প্লাসে পরিবর্তন করতে পারি এর যে কোনও একটিতে (বা আরও সাধারণভাবে, কোনও বিজোড় সংখ্যার) সাইন পরিবর্তন করে ।

আমার প্রশ্ন হয়: প্রদত্ত যে আমরা এই ধরনের র্যান্ডম ম্যাট্রিক্স বারবার উৎপন্ন, আমরা হবে কিছু পক্ষপাত পরিচয় করিয়ে শুধুমাত্র নির্দিষ্ট কলামের প্রত্যাবর্তন চিহ্ন তাদের অভিন্ন র্যান্ডম প্রকৃতিতে যদি প্রতিটি সময় আমরা পছন্দ করে (বলুন, সবসময় 1st বা সবসময় শেষ)? নাকি আমরা উচিত আছে অর্ডার ম্যাট্রিক্স রাখার প্রতিনিধিত্ব র্যান্ডম অবিশেষে বিতরণ সংগ্রহে এলোমেলোভাবে কলাম বাছাই কিভাবে?

— ttnphns
সূত্র

কলামের পছন্দটি কোনও বিষয় নয়: বিশেষ অরথোগোনাল ম্যাট্রিক্স, এর ফলাফল বিতরণ $SO(n)$ এখনও অভিন্ন।

আমি গ্রুপের উপাদানগুলির ইউনিফর্ম প্রজন্মের সম্পর্কিত অনেক সম্পর্কিত প্রশ্নের সাথে একটি সুস্পষ্ট উপায়ে, যুক্তি ব্যবহার করে এটি ব্যাখ্যা করব। এই তর্কটির প্রতিটি পদক্ষেপ তুচ্ছ, যথাযথ সংজ্ঞা বা একটি সাধারণ গণনা (যেমন ম্যাট্রিক্স লক্ষণীয় $\mathbb{I}_1$ এবং স্ব-বিপরীতমুখী হিসাবে উল্লেখ করা) উল্লেখ ছাড়া আর কিছুই প্রয়োজন

যুক্তিটি একটি পরিচিত পরিস্থিতির একটি সাধারণীকরণ। নির্দিষ্ট ক্রমাগত বিতরণ অনুযায়ী ধনাত্মক আসল সংখ্যা আঁকার কাজ বিবেচনা করুন । এটি একটি ধ্রুবক ডিস্ট্রিবিউশন থেকে যে কোনও আসল সংখ্যা অঙ্কন করে এবং ফলাফলটিকে অগ্রাহ্য করে, যদি প্রয়োজন হয় তবে একটি ইতিবাচক মান (প্রায় অবশ্যই) গ্যারান্টি দিয়ে করা যেতে পারে। এই প্রক্রিয়াটি বিতরণ করার জন্য , অবশ্যই সম্পত্তি থাকতে হবে $F$ $G$ $F$ $G$

G (x) - G (- x) = F (x) .

$G(x) - G(-x) = F(x).$

এটি সম্পাদন করার সহজতম উপায় হ'ল প্রায় টির প্রতিসম হয় যাতে , এনটেলিং : সমস্ত ধনাত্মক সম্ভাবনা ঘনত্বগুলি কেবল দ্বিগুণ হয় এবং সমস্ত নেতিবাচক ফলাফলগুলি মুছে ফেলা হয়। অর্ধ-স্বাভাবিক বিতরণ ( ) এবং সাধারণ বিতরণ ( ) এর মধ্যে পরিচিত সম্পর্কটি এই ধরণের। $G$ $0$ $G(x) - 1/2 = 1/2 - G(-x)$ $F(x) = 2G(x) - 1$ $F$ $G$

নিম্নলিখিতটিতে, গ্রুপ অ-শূন্য আসল সংখ্যার (একটি গুণক গোষ্ঠী হিসাবে বিবেচিত ভূমিকা পালন করে এবং এর উপগোষ্ঠী ইতিবাচক বাস্তব সংখ্যাগুলির ভূমিকা পালন করে । হার পরিমাপ উপেক্ষার অধীনে আক্রমণাত্মক, সুতরাং যখন এটি থেকে থেকে "ভাঁজ" করা হয় তখন ইতিবাচক মানগুলির বিতরণ পরিবর্তন হয় না । (দুর্ভাগ্যক্রমে, এই ব্যবস্থাটি সম্ভাব্যতা পরিমাপের ক্ষেত্রে সাধারণ করা যায় না - তবে এটিই একমাত্র উপায় যা উপমাটি ভেঙে যায়)) $O(n)$ $SO(n)$ $\mathbb{R}_{+}$ $dx/x$ $\mathbb{R}-\{0\}$ $\mathbb{R}_{+}$

অরথোগোনাল ম্যাট্রিক্সের নির্দিষ্ট কলামে নেগেট করা (যখন এর নির্ধারকটি নেতিবাচক থাকে) এটি কোনও ধনাত্মক সাবগ্রুপে ভাঁজ করার জন্য একটি নেতিবাচক বাস্তব সংখ্যাটিকে অবহেলা করার এনালগ। আরও সাধারণভাবে, আপনি নেতিবাচক নির্ধারকের যেকোন অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স advance অগ্রিম চয়ন করতে পারেন এবং এটি এর পরিবর্তে ব্যবহার করতে পারেন : ফলাফলগুলি একই হবে। $\mathbb{J}$ $\mathbb{I}_1$

যদিও প্রশ্নটি এলোমেলো ভেরিয়েবল উত্পন্ন করার শর্তে চিহ্নিত করা হয়েছে, এটি সত্যই ম্যাট্রিক্স গ্রুপ এবং সম্ভাব্যতা বিতরণের বিষয়ে জিজ্ঞাসা করছে । এই গ্রুপগুলির মধ্যে সংযোগটি অर्थোগোনাল ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে বর্ণিত হয়েছে $O(n, \mathbb{R}) = O(n)$ $SO(n, \mathbb{R}) = SO(n)$

I_{1} = (\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix})

$\mathbb{I}_1 = \pmatrix{-1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1}$

কারণ অরথোগোনাল ম্যাট্রিক্স এর প্রথম কলামটি উপেক্ষা করার অর্থ হ'ল ডান-গুণক দ্বারা । লক্ষ্য করুন যে এবং হ'ল বিচ্ছিন্ন ইউনিয়ন $\mathbb X$ $\mathbb{X}$ $\mathbb{I}_1$ $SO(n)\subset O(n)$ $O(n)$

O (n) = S O (n) \cup S O (n) I_{1}^{- 1} .

$O(n) = SO(n) \cup SO(n)\,\mathbb{I}_1^{-1}.$

উপর সংজ্ঞায়িত একটি সম্ভাব্য স্থান , প্রশ্নে বর্ণিত প্রক্রিয়া একটি মানচিত্রকে সংজ্ঞায়িত করে $(O(n), \mathfrak{S}, \mathbb{P})$ $O(n)$

f : O (n) \to S O (n)

$f:O(n)\to SO(n)$

সেট করে

f (X) = X

$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}$

যখন এবং $\mathbb{X}\in SO(n)$

f (X) = X I_{1}

$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}\mathbb{I}_1$

জন্য । $\mathbb{X}\in SO(n)\,{\mathbb{I}_1}^{-1}$

প্রশ্নে র্যান্ডম উপাদান উৎপাদিত সম্পর্কে উদ্বিগ্ন র্যান্ডম উপাদান প্রাপ্তির দ্বারা যে "তাদের এগিয়ে ঠেলাঠেলি" হয় মাধ্যমে: উত্পাদন করতে । Pushforward একটি সম্ভাব্যতা স্থান তৈরি করে সঙ্গে $SO(n)$ $\omega\in O(n)$ $f$ $f_{*}\omega = f(\omega)\in SO(n)$ $(SO(n), \mathfrak{S}^\prime, \mathbb{P}^\prime)$

S^{'} = f_{*} S = {f (E) | E \subset S}

$\mathfrak{S}^\prime = f_{*}\mathfrak{S} = \{f(E)\,|\,E\subset\mathfrak{S}\}$

এবং

P^{'} (E) = (f_{*} P) (E) = P (f^{- 1} (E)) = P (E \cup E I_{1})

$\mathbb{P}^\prime(E) = (f_{*}\mathbb{P})(E) = \mathbb{P}(f^{-1}(E)) = \mathbb{P}(E \cup E\,\mathbb{I}_1)$

সবার জন্য । $E \subset \mathfrak{S}^\prime$

দ্বারা ডান গুণটি ধরে নেওয়া পরিমাপ-সংরক্ষণ এবং লক্ষ্য করা যায় যে কোনও ইভেন্ট event , এটি অবিলম্বে অনুসরণ করবে যে সমস্ত would for , $\mathbb{I}_1$ $E \cap E\,\mathbb{I}_1 = \emptyset$ $E\in\mathfrak{S}^\prime$

P^{'} (E) = P (E \cup E I_{1}^{- 1}) = P (E) + P (E I_{1}^{- 1}) = 2 P (E) .

$\mathbb{P}^\prime(E) = \mathbb{P}(E\cup E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = \mathbb{P}(E) + \mathbb{P}(E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = 2\mathbb{P}(E).$

বিশেষত, যখন (যা "ইউনিফর্ম" বলতে সাধারণত বোঝায়) তে ডান-গুণনের আওতায় আক্রমণ করে , তখন obvious এবং এর বিপরীত (যেটি সমান হয় নিজেই) উভয় অর্থোথোনাল মানে পূর্বোক্ত হোল্ডগুলি বোঝায় যে অভিন্ন। সুতরাং অবহেলার জন্য এলোমেলো কলাম নির্বাচন করা অপ্রয়োজনীয়। $\mathbb{P}$ $O(n)$ $\mathbb{I}_1$ $\mathbb{I}_1$ $\mathbb{P}^\prime$

— whuber
সূত্র

+1 টি। এটি একটি খুব সুন্দর লেখার আপ, এই উত্তর পোস্ট করার জন্য ধন্যবাদ।

— অ্যামিবা

একটি ভয়ঙ্কর উত্তর। তবে The question is concerned about generatingআমি থেকে শুরু করে প্রতীকবাদের মধ্য দিয়ে আমাকে এগিয়ে নিয়ে যাওয়া কঠিন বলে মনে হয়েছিল। আপনি কি খুব তাড়াতাড়ি কোনও সাধারণ লোকের জন্য কথায় কথায় যুক্তি সংক্ষিপ্ত করতে পারেন ?

— ttnphns