এন স্বাভাবিক আইডির আনুমানিক বিতরণ? বিশেষ মামলা μ≈0

দেওয়া iid , এবং খুঁজছেন: $N\geq30$ $X_n\approx\mathcal{N}(\mu_X,\sigma_X^2)$ $\mu_X \approx 0$

of এর সঠিক বদ্ধ ফর্ম বিতরণের আনুমানিক $Y_N=\prod\limits_{1}^{N}{X_n}$
অ্যাসিপটোটিক ( ক্ষতিকারক ?) একই পণ্যের সান্নিধ্য

এটি একটি বিশেষ ক্ষেত্রে দেখা যায় একটি আরো সাধারণ প্রশ্ন । $\mu_X \approx 0$

1. আপনার কাছে এবং সম্পর্কে কোনও তথ্য আছে ? ( উদাহরণস্বরূপ, সমস্ত , চমৎকার লাগবে )) (২) অ্যাসিপটোটিক স্বাভাবিক আনুমানিকতা ভয়াবহ হবে , কারণ অ্যাসিপোটোটিকভাবে দূরবর্তীভাবে স্বাভাবিক দেখায় না।

μ_{X}

$\mu_X$

σ_{X}

$\sigma_X$

μ_{X} / σ_{X} ≫ 0

$\mu_X/\sigma_X \gg 0$

Y

$Y$

— শুক্র

আমি এই সঙ্গে একটি দ্রুত খেলা ছিল। আপনি যদি আগ্রহী হন, তাহলে এটি এর পণ্যের জন্য একটি সঠিক বদ্ধ ফর্ম সমাধান প্রাপ্ত করা সম্ভব র্যান্ডম ভেরিয়েবল যে IID হয় । অ-শূন্য কেস জিনিসগুলিকে আরও জটিল করে তোলে।

n

$n$

N (0, σ^{2})

$N(0, \sigma^2)$

μ

$\mu$

— নেকখরা

@ শুভ্র (1) কিছু আলাদা এবং দিয়ে কিছু মন্টে কার্লো করার পরে আমি দেখতে পেলাম যে বন্টন এবং চেয়ে ভাল আচরণ করে ; এখন আমি একটা চমৎকার এটি চাই অভিব্যক্তি জন্য এবং কিভাবে অনুরূপ কয়েক চমৎকার অনুমান হয়েছে। আমি টেলর সম্প্রসারণের মাধ্যমে কয়েকটি আনুমানিক তৈরি করেছি, তবে তারা খারাপ ব্যবহার করে। (২) ভাল, স্পষ্টভাবে চি স্কোয়ারের সাথে একটি যোগফলের মতো দেখতে "দেখায়" তাই স্বাভাবিকের মধ্যে হ্রাস করা যায়, যদি এটি "প্রমানিত হয়"।

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

F

$F$

N > 30

$N>30$

| μ_{X} | \geq 10 σ_{X}

$|\mu_X|\geq10\sigma_X$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

χ^{2}

${\chi}^2$

F

$F$

F

$F$

— আন্দ্রে পোজোলোটিন

যখন , একটি লগনরমাল বিতরণ দ্বারা চমত্কারভাবে অনুমান করা হবে ( ব্যারি-এসেনীয় উপপাদনের জন্য শো) এর প্রয়োগ হিসাবে ।

μ_{X} \geq 10 σ_{X}

$\mu_X \ge 10\sigma_X$

Y

$Y$

\log (X)

$\log(X)$

— whuber

@ ব্যারি-এসিনের সরাসরি অ্যাপ্লিকেশন যা সত্যই সুন্দর তবে এটি কিছু কাঠামো হারিয়ে : অবশ্যই নেতিবাচক হতে হবে, নির্ভর করতে হবে ইত্যাদি সম্ভবত এটি প্রয়োগ করার আরও ভাল উপায় আছে?

F_{N} \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}} Z

$F_N \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}}Z$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

α

$\alpha$

— আন্দ্রেই পোজোলটিন

শূন্য-গড় ক্ষেত্রে (অংশ বি) এর সঠিক সমাধান পাওয়া সম্ভব।

সমস্যাটি

যাক বোঝাতে IID ভেরিয়েবল, সাধারণ পিডিএফ সঙ্গে প্রতিটি : $(X_1, \dots, X_n)$ $n$ $N(0,\sigma^2)$ $f(x)$

আমরা পিডিএফ চাইতে জন্য $\prod_{i=1}^n X_i$ $n = 2, 3, \dots$

সমাধান

এ জাতীয় দুটি সাধারণের পণ্যের পিডিএফ সহজভাবে:

... যেখানে আমি ব্যবহার করছি TransformProductথেকে ফাংশন mathStatica প্যাকেজের ম্যাথামেটিকাল । সহায়তার ডোমেনটি হ'ল:

3, 4, 5 এবং 6 সাধারণের পণ্য পুনরাবৃত্তভাবে একই ফাংশন প্রয়োগ করে (এখানে চারবার) প্রাপ্ত হয়:

... যেখানে মেইজার জি ফাংশনMeijerG বোঝায়

আনয়ন দ্বারা, আইড র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের পিডিএফ হ'ল: $n$ $N(0,\sigma^2)$

\frac{1}{(2 π)^{\frac{n}{2}} σ^{n}} MeijerG [{{}, {}}, {{0_{1}, \dots, 0_{n}}, {}}, \frac{x^{2}}{2^{n} σ^{2 n}}] for x \in R

$\frac{1}{(2 \pi )^{\frac{n}{2}} \sigma ^n} \text{MeijerG}[\{ \{ \}, \{ \} \}, \{ \{0_1, \dots, 0_n \}, \{ \} \}, \frac{x^2}{2^n \sigma ^{2 n}}] \quad \quad \text{ for } x \in \mathbb{R}$

দ্রুত মন্টি কার্লো চেক

এখানে তুলনায় একটি দ্রুত চেক দেওয়া হল:

তাত্ত্বিক পিডিএফ সবেমাত্র প্রাপ্ত হয়েছে (যখন এবং ): রেড ড্যাশযুক্ত বক্ররেখা $n = 6$ $\sigma=3$
অনুপ্রেরণামূলক মন্টি কার্লো পিডিএফ: স্কুইগলি ব্লু বক্ররেখা

দেখতে ভাল! [নীল স্কুইগলি মন্টি বক্ররেখা সঠিক লাল-ড্যাশযুক্ত বক্ররেখাকে অস্পষ্ট করে দিচ্ছে]

— wolfies
সূত্র

বকেয়া, কলিন আপনাকে ধন্যবাদ। এখন আমি দেখতে পাচ্ছি কেন আমাকে আপনার বইটি কিনতে হবে :-) এছাড়াও আমাকে সহজ দেখায় কিনা তা অবাক করে দেয় । আমার ওল্ফ্রামের দক্ষতাগুলি ধুয়ে ফেলার সময়।

l o g (. . . M e i j e r G (. . .))

$log(...MeijerG(...))$

— আন্দ্রেই পোজোলোটিন