নেইমন-পিয়ারসন লেমা

আমি মুড, গ্রেবিল এবং বোস দ্বারা পরিসংখ্যানের থিওরির পরিসংখ্যান বইটি থেকে নেইমন – পিয়ারসন লেমা পড়েছি। তবে আমি লেমাকে বুঝতে পারি না।

কেউ দয়া করে আমাকে সরল কথায় লেমমা ব্যাখ্যা করতে পারেন? এটা কি বলে?

Neyman-পিয়ারসন থিম: আসুন $X_1,\ldots,X_n$ থেকে একটি র্যান্ডম নমুনা হতে $f(x;\theta)$ , যেখানে $\theta$ দুই পরিচিত মূল্যবোধের অন্যতম $\theta_0$ এবং $\theta_1$ , এবং দিন $0<\alpha<1$ সংশোধন করা।

যাক $k^*$ একটি ইতিবাচক ধ্রুবক এবং হতে $C^*$ হতে একটি উপসেট $\mathscr X$ যা সন্তুষ্ট:
$\begin{matrix} (1) & P_{θ_{0}} [(X_{1}, \dots, X_{n}) \in C^{*}] = α \end{matrix}$ $\tag 1 P_{\theta_0}[(X_1,\ldots,X_n)\in C^*] = \alpha$ Then তারপর পরীক্ষা সমালোচনামূলক অঞ্চল $\begin{matrix} (2) & λ = \frac{L (θ_{0}; x_{1}, \dots, x_{n})}{L (θ_{1}; x_{1}, \dots, x_{n})} = \frac{L_{0}}{L_{1}} \leq k^{*} if (x_{1}, \dots, x_{n}) \in C^{*} \end{matrix}$ $\tag 2 \lambda=\frac{L(\theta_0;x_1,\ldots,x_n)}{L(\theta_1;x_1,\ldots,x_n)} = \frac{L_0}{L_1} \le k^*\quad \text{if } (x_1,\ldots,x_n)\in C^*$ $and λ \geq k^{*} if (x_{1}, \dots, x_{n}) \in {\bar{C}}^{*}$ $\text{and}\quad \lambda\ge\quad k^* \text{ if } (x_1,\ldots,x_n)\in \bar C^*$ $\gamma^*$ $C^*$ আকারের একটি সবচেয়ে শক্তিশালী পরীক্ষা এর বনাম $\alpha$ $\mathscr H_0:\theta=\theta_0$ $\mathscr H_1:\theta=\theta_1$

কথায় প্রকাশিত, আমি বুঝতে পেরেছি যে দুটি মানদণ্ড নির্দিষ্ট করে

(1) পি [নাল অনুমানকে প্রত্যাখ্যান | নাল হাইপোথিসিসটি সত্য] = তাত্পর্য স্তর

(২) সম্ভাবনা অনুপাত , নাল হাইপোথিসিসকে প্রত্যাখ্যান করুন , কিছু ধনাত্মক ধ্রুবক যদি সমালোচনামূলক অঞ্চলে পড়ে $\lambda\le$ $k^*$ $(x_1,\ldots,x_n)$

তারপরে পরীক্ষাটি একটি সাধারণ অনুমানের সবচেয়ে শক্তিশালী পরীক্ষা ।

কেন এটি কেবল সাধারণ অনুমানের জন্য? এটি যৌগিক অনুমানের জন্য হতে পারে না? কথায় কথায় আমার ব্যাখ্যা সঠিক?

— অ আ ক খ
সূত্র

উত্তর:

আমার মনে হয় আপনি লেমাকে ভালভাবে বুঝতে পেরেছিলেন।

কেন এটি যৌগিক বিকল্পের জন্য কাজ করে না? আপনি সম্ভাবনা অনুপাত হিসাবে দেখতে পারেন, বিকল্প অনুমানের জন্য আমাদের প্যারামিটার (গুলি) লাগাতে হবে। বিকল্পটি যদি যৌগিক হয় তবে আপনি কোন প্যারামিটারটি প্লাগ ইন করতে যাচ্ছেন?

— সেভেন
সূত্র

সম্ভাবনা অনুপাত একঘেয়েমি হলে আপনি এটি সংমিশ্রিত বিকল্পের জন্য কাজ করতে পারেন।

— মাইকেল আর চেরনিক

আমি সম্প্রতি একটি লিঙ্কডিন ব্লগে একটি এন্ট্রি লিখেছি নেইমন পিয়ারসন লেমাকে সরল কথায় এবং একটি উদাহরণ দিয়েছি। আমি লেমায় একটি পরিষ্কার স্বীকৃতি প্রদানের অর্থে চোখের উদ্বোধনের উদাহরণটি পেয়েছি। প্রায়শই সম্ভাব্যতার ক্ষেত্রে এটি একটি পৃথক সম্ভাবনা ভর ফাংশনের উপর ভিত্তি করে থাকে তাই পিডিএফ এর সাথে কাজ করার চেয়ে এটি বোঝা সহজ। এছাড়াও, আমি আপনার লেমা বিবৃতিটির বিপরীতে বিকল্প অনুমানের বনাম নাল অনুমানের সম্ভাবনা হিসাবে সম্ভাবনা অনুপাতটিকে সংজ্ঞায়িত করি take ব্যাখ্যা একই, কিন্তু কম চেয়ে এখন এখন বেশি হয়। আমি আসা করি এটা সাহায্য করবে...

আপনারা যারা ডেটা বিশ্লেষণে কাজ করেন এবং কিছু পরিসংখ্যান কোর্স করেছেন তারা হয়ত নেমন-পিয়ারসন লেমা (এনপি-লেম্মা) জানেন know বার্তাটি সহজ, বিক্ষোভ এতটা নয় তবে যা আমি সবসময় কঠিন মনে করি তা হ'ল এটি সম্পর্কে সাধারণ ধারণা বোধ করা। পিআইজিড এবং জে ডাব্লুহার্ডিনের "পরিসংখ্যানগুলিতে প্রচলিত ত্রুটিগুলি" নামে একটি বই পড়ার পরে আমি একটি ব্যাখ্যা এবং উদাহরণ পেয়েছি যা আমাকে এনপি-লেম্মা সম্পর্কে সর্বদা অনুভব করতে পেরেছিলাম এই অনুভূতির অনুভূতি পেতে।

১০০% গাণিতিকভাবে নিখুঁত ভাষায় নয়, নেইমন-পিয়ারসন আমাদের যা বলেছিলেন তা হল একটি সর্বাধিক শক্তিশালী পরীক্ষা একটি নির্দিষ্ট তাৎপর্য স্তরের মধ্যে একটি প্রদত্ত অনুমানকে বৈধতা দিতে আসতে পারে যা এই পরীক্ষা দিয়ে আগত সমস্ত সম্ভাব্য পর্যবেক্ষণ দ্বারা প্রত্যাখ্যাত অঞ্চল দ্বারা দেওয়া হয় একটি সম্ভাবনার অনুপাত একটি নির্দিষ্ট প্রান্তিকের উপরে ... ওহাহাহ! কে বলেছে এটা সহজ!

শান্ত থাকুন এবং লেমাকে ডিকনস্ট্রাক্ট করুন:

হাইপোথিসিস । পরিসংখ্যানগুলিতে একজন সর্বদা দুটি হাইপোথিসিসের সাথে কাজ করে যা একটি পরিসংখ্যানগত পরীক্ষা হওয়া উচিত বা প্রত্যাখ্যান করা উচিত। নাল হাইপোথিসিস রয়েছে, যতক্ষণ পর্যন্ত না এর বিরুদ্ধে নমুনা প্রমাণ যথেষ্ট শক্ত হয় ততক্ষণ তা প্রত্যাখ্যান করা হবে না। বিকল্প অনুমানও রয়েছে, নালটি মিথ্যা বলে মনে হলে আমরা এটি গ্রহণ করব।
একটি পরীক্ষার শক্তি (ওরফে সংবেদনশীলতা) আমাদের জানায় যে ভুলের সময় নাল অনুমানটি আমরা সঠিকভাবে কতবার প্রত্যাখ্যান করব। আমরা শক্তিশালী পরীক্ষা চাই, তাই বেশিরভাগ সময় আমরা নাল অনুমানকে প্রত্যাখ্যান করি আমরা সঠিক!
একটি পরীক্ষার তাৎপর্য মাত্রা (ওরফে ভুয়া পজিটিভ রেট) আমাদেরকে জানায় যে এটি কতটা সঠিক হবে তখন আমরা অনুপাতের ভুল অনুমানটি ভুলভাবে বাতিল করব। আমরা একটি ছোট তাত্পর্য স্তর চাই তাই বেশিরভাগ সময় আমরা নাল অনুমানকে প্রত্যাখ্যান করি আমরা ভুল নই!
প্রত্যাখ্যান অঞ্চল , পরীক্ষার সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফল দেওয়া হলে, প্রত্যাখ্যান অঞ্চলে সেই ফলাফলগুলি অন্তর্ভুক্ত থাকে যা আমাদের বিকল্প বিকল্পটির সুবিধার্থে নাল অনুমানকে প্রত্যাখ্যান করবে।
সম্ভাবনা যে দেওয়া নাল হাইপোথিসিস (নাল হাইপোথিসিস সম্ভাবনা) অথবা বিকল্প এক (বিকল্প হাইপোথিসিস সম্ভাবনা) সত্য পরীক্ষা পর্যবেক্ষিত ফলাফল দেখেছিল সম্ভাবনা নেই।
সম্ভাবনা অনুপাত বিকল্প হাইপোথিসিস সম্ভাবনা নাল হাইপোথিসিস সম্ভাবনা দ্বারা বিভক্ত অনুপাত। যদি নাল অনুমানটি বিকল্পের তুলনায় সত্য হয় তবে পরীক্ষার ফলাফলটি যদি খুব বেশি প্রত্যাশিত হত তবে সম্ভাবনার অনুপাতটি ছোট হওয়া উচিত।

যথেষ্ট সংজ্ঞা! (যদিও আপনি এগুলি সাবধানে দেখুন তবে বুঝতে পারবেন তারা খুব অন্তর্দৃষ্টিযুক্ত!)। নেইমেন এবং পিয়ারসন আমাদের যা বলেছে তা চলুন: আপনি যদি তার শক্তির দৃষ্টিকোণ থেকে সেরা সম্ভাব্য পরিসংখ্যানগত পরীক্ষা করতে চান তবে সর্বাধিক সম্ভাবনার অনুপাতযুক্ত পরীক্ষার ফলাফলগুলি অন্তর্ভুক্ত করে প্রত্যাখ্যান অঞ্চলটি সংজ্ঞায়িত করুন, এবং আরও পরীক্ষা যুক্ত রাখুন এটি সত্য (তাত্পর্য স্তর) হওয়ার সময় আপনার পরীক্ষা নাল অনুমানটিকে প্রত্যাখ্যান করবে এমন সংখ্যার জন্য নির্দিষ্ট মান পৌঁছানো পর্যন্ত ফলাফল results

আসুন একটি উদাহরণ দেখুন যেখানে আশা করি সবকিছু একত্রিত হবে। উদাহরণটি উপরে বর্ণিত বইয়ের ভিত্তিতে তৈরি। এটি সম্পূর্ণ আমার দ্বারা তৈরি তাই এটি কোনও বাস্তবতা বা ব্যক্তিগত মতামত প্রতিফলিত হিসাবে দেখা উচিত নয়।

কল্পনা করুন যে কেউ ইউরোপীয় ইউনিয়ন বনাম তার অনুভূতি জিজ্ঞাসা করে অভিবাসন কোটা (নাল হাইপোথিসিস) স্থাপনের পক্ষে বা না (বিকল্প অনুমান) তার পক্ষে কিনা তা নির্ধারণ করতে চায়?

কল্পনা করুন যে আমরা আমাদের প্রশ্নের উত্তর সম্পর্কিত উভয় প্রকারের প্রকৃত সম্ভাব্যতা বন্টন জানতাম:

আসুন কল্পনা করুন আমরা 30% এর একটি মিথ্যা ইতিবাচক ত্রুটি গ্রহণ করতে ইচ্ছুক, অর্থাৎ আমরা যখন নাল অনুমানকে প্রত্যাখ্যান করব এবং তার সাক্ষাত্কার প্রাপ্ত ব্যক্তি কোটার বিপরীতে থাকবে তখনই তার 30% সময় ধরে নেবে। আমরা পরীক্ষাটি কীভাবে তৈরি করব?

নেইম্যান এবং পিয়ারসনের মতে আমরা প্রথমে সর্বোচ্চ সম্ভাবনা অনুপাতের সাথে ফলাফলটি নেব। এটি 3 এর অনুপাত সহ "সত্যিই EU এর মতো" এর উত্তর this এই ফলাফলের সাথে আমরা যদি ধরে নিই যে কেউ যদি কোটাটার বিপক্ষে থাকে যখন সে / সে বলেছিল যে সে "সত্যই EU পছন্দ করে", আমাদের নির্ধারিত সময়ের 10% কোটা মানুষের পক্ষে (তাত্পর্য) against তবে আমরা কেবল ৩০% সময় (শক্তি) কোটা লোকের বিরুদ্ধে সঠিকভাবে শ্রেণিবদ্ধ করব কারণ এই গ্রুপের প্রত্যেকেরই ইইউ সম্পর্কে মতামত নেই।

যতদূর ক্ষমতার বিষয়টি এটিকে দুর্বল ফলাফল বলে মনে হচ্ছে। তবে, কোটা লোকের (তাত্পর্য) জন্য ভুল সংশোধন করার সময় পরীক্ষাটি অনেকগুলি ভুল করে না। যেহেতু আমরা তাত্পর্য সম্পর্কে আরও নমনীয়, আসুন আমরা পরবর্তী পরীক্ষার ফলাফলটি সন্ধান করি যা আমাদের উত্তরগুলির ব্যাগে যুক্ত করা উচিত যা নাল হাইপোথিসিস (প্রত্যাখ্যান অঞ্চল) প্রত্যাখ্যান করে।

সর্বোচ্চ সম্ভাবনা অনুপাতের পরবর্তী উত্তরটি হ'ল "ইইউর মতো"। যদি আমরা পরীক্ষার ফলাফল হিসাবে "সত্যই পছন্দ" এবং "মত" ইইউ উত্তরগুলি ব্যবহার করি যা আমাদের কোটার জন্য থাকা কারও নাল অনুমানকে প্রত্যাখ্যান করতে দেয় তবে আমরা 30% সময়ের হিসাবে কোটা লোকের জন্য ভুল সংকলন করব (10% এর থেকে) "সত্যই পছন্দ" এবং "মত" থেকে 20%) এবং আমরা কোটা লোকদের বিরুদ্ধে correctly৫% সময় ("সত্যই পছন্দ" থেকে ৩০% এবং "পছন্দ" থেকে 35%) সঠিকভাবে শ্রেণিবদ্ধ করব। পরিসংখ্যানগত জারগনে: আমাদের তাত্পর্যটি 10% থেকে 30% (খারাপ!) এ উন্নীত হয়েছে যখন আমাদের পরীক্ষার শক্তি 30% থেকে 65% (ভাল!) এ উন্নীত হয়েছে।

সমস্ত পরিসংখ্যান পরীক্ষার এটি একটি পরিস্থিতি। এমনকি পরিসংখ্যানগুলিতে ফ্রি লাঞ্চের মতো কিছু নেই! আপনি যদি নিজের পরীক্ষার শক্তি বাড়াতে চান তবে তা তাৎপর্যের মাত্রা বাড়িয়ে ব্যয় করেই করুন। বা আরও সহজ ভাষায়: আপনি ভাল ছেলেদের আরও ভাল শ্রেণীবদ্ধ করতে চান, আপনি আরও খারাপ লোক ভাল দেখায় ব্যয় করে করবেন!

মূলত, এখন আমরা শেষ! আমরা প্রদত্ত ডেটা এবং 30% এর তাত্পর্যপূর্ণ স্তরের সাথে "সত্যিকারের মত" এবং "লাইক" লেবেল ব্যবহার করে কেউ কোটার বিপরীতে আছে কিনা তা নির্ধারণ করার জন্য আমরা সবচেয়ে শক্তিশালী পরীক্ষা তৈরি করেছি ... আমরা কি নিশ্চিত?

"সত্যিই পছন্দ" উত্তরটি নির্বাচিত হওয়ার পরে যদি আমরা দ্বিতীয় ধাপে অন্তর্ভুক্ত করে থাকি, তবে "লাইক" এর পরিবর্তে উত্তর "উদাসীন" থাকত কি হত? পরীক্ষার তাত্পর্যটি আগের তুলনায় 30%: 10% কোটার লোকেরা "সত্যই" পছন্দ করে এবং 20% কোটার লোকেরা "অপছন্দ" বলে জবাব দেয় same উভয় পরীক্ষা কোটার ব্যক্তিদের জন্য ভুল সংশোধন করার ক্ষেত্রে খারাপ হবে। তবে শক্তি আরও খারাপ হয়ে যেত! নতুন পরীক্ষার মাধ্যমে আমাদের আগে থাকা 65% এর পরিবর্তে 50% শক্তি থাকবে: "সত্যই পছন্দ" থেকে 30% এবং "উদাসীন" থেকে 20%। নতুন পরীক্ষা দিয়ে আমরা কোটা ব্যক্তিদের বিরুদ্ধে চিহ্নিত করতে কম সুনির্দিষ্ট হবে!

এখানে কে সাহায্য করেছে? নেইমন-ব্যক্তির সম্ভাবনার অনুপাত উল্লেখযোগ্য ধারণা! প্রতিটি সময় সর্বোচ্চ সম্ভাবনা অনুপাত সহ উত্তরটি আমাদের নিশ্চিত করে যে তাত্পর্যকে নিয়ন্ত্রণে রাখার সময় আমরা যতটা সম্ভব নতুন বিদ্যায় (বৃহত সংখ্যা) অন্তর্ভুক্ত করব (ছোট ডিনোমিনেটর)!

— Ignasi
সূত্র

বাহ, কেবলমাত্র এই টেবিলের সমস্ত কিছু দেখে একটি টন সহায়তা করেছিল এবং এর কয়েকটি অংশ উল্লেখ করে একটি টন সহায়তা করেছে। ধন্যবাদ!

— ইয়থার্থ আগরওয়াল

প্রসঙ্গ

(এই বিভাগে আমি কেবল অনুমানের পরীক্ষাটি ব্যাখ্যা করতে যাচ্ছি, আমার নিজস্ব স্টাইলে এক এবং দুটি ত্রুটি ইত্যাদি টাইপ করুন you're আপনি যদি এই উপাদানটির সাথে স্বাচ্ছন্দ্য বোধ করেন তবে পরবর্তী বিভাগে যান)

নেইম্যান-পিয়ারসন লেমা সহজ অনুমানের পরীক্ষার সমস্যায় উঠে আসে । আমরা একটি সাধারণ স্থান দুটি ভিন্ন সম্ভাবনা ডিস্ট্রিবিউশন আছে $\Omega$ : $P_0$ এবং $P_1$ , নাল ডেকে বিকল্প অনুমানের। একটি একক পর্যবেক্ষণ উপর ভিত্তি করে $\omega\in\Omega$ , আমরা একটি অনুমান দুই সম্ভাব্যতা ডিস্ট্রিবিউশন যা কার্যকর হয় সঙ্গে আসা পর্যন্ত আছে। একটি পরীক্ষা সুতরাং একটি ফাংশন যা প্রতিটি $\omega$ "নাল হাইপোথিসিস" বা "বিকল্প অনুমান" হয় একটি অনুমান নির্ধারণ করে। একটি পরীক্ষা স্পষ্টতই সেই অঞ্চলের সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে যেখানে এটি "বিকল্প" দেয়, তাই আমরা কেবল সম্ভাবনার জায়গার সাবসেট (ইভেন্টগুলি) খুঁজছি।

সাধারণত অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে নাল হাইপোথিসিসটি এক ধরণের স্থিতাবস্থার সাথে মিলে যায়, অন্যদিকে বিকল্প অনুমানটি এমন কিছু নতুন ঘটনা যা আপনি প্রমাণ বা অস্বীকার করার চেষ্টা করছেন তা আসল। উদাহরণস্বরূপ, আপনি কাউকে মানসিক শক্তির জন্য পরীক্ষা করছেন। আপনি স্কুইগ্লি লাইনের সাথে কার্ডগুলি দিয়ে স্ট্যান্ডার্ড পরীক্ষা চালান বা কী না, এবং নির্দিষ্ট সময়টি অনুমান করার জন্য এগুলি পান। নাল হাইপোথিসিসটি হ'ল তারা পাঁচটি থেকে একের বেশি পাবেন না (যেহেতু পাঁচটি কার্ড রয়েছে), বিকল্প অনুমানটি হ'ল তারা মানসিক এবং আরও সঠিকভাবে পেতে পারেন।

আমরা যা করতে চাই তা হ'ল ভুল করার সম্ভাবনা হ্রাস করা। দুর্ভাগ্যক্রমে, এটি একটি অর্থহীন ধারণা। দুটি উপায় রয়েছে যা আপনি ভুল করতে পারেন। উভয় ক্ষেত্রেই নাল হাইপোথিসিস সত্য, এবং আপনি একটি নমুনা $\omega$ আপনার পরীক্ষার এর "বিকল্প" অঞ্চল, বা বিকল্প হাইপোথিসিস সত্য, এবং আপনি "নাল" অঞ্চল নমুনা। এখন, আপনি যদি সম্ভাব্যতার জায়গার একটি পরীক্ষা $A$ (একটি পরীক্ষা) ঠিক করেন তবে $P_0(A)$ এবং নম্বরগুলি $P_1(A^{c})$ , এই দুটি ধরণের ত্রুটি তৈরির সম্ভাবনাগুলি সম্পূর্ণরূপে সংজ্ঞায়িত, তবে যেহেতু "নাল / বিকল্প অনুমানটি সত্য" এর সম্ভাবনা আপনার আগে নেই, আপনি উভয় প্রকারেরই অর্থবহ "সম্ভাবনা অর্জন করতে পারবেন না" ভুল "। সুতরাং এটি গণিতে মোটামুটি সাধারণ পরিস্থিতি যেখানে আমরা কিছু শ্রেণীর অবজেক্টের "সেরা" চাই তবে আপনি যখন ঘনিষ্ঠভাবে তাকান তখন কোনও "সেরা" থাকে না। প্রকৃতপক্ষে, আমরা যা করার চেষ্টা করছি তা হ'ল $P_0(A)$ হ্রাস করার সময় $P_1(A)$ সর্বাধিক করা যায় যা লক্ষ্যগুলি স্পষ্টভাবে বিরোধী।

মানসিক দক্ষতার পরীক্ষার উদাহরণটি মাথায় রেখে, আমি যে ধরণের নালটি সত্য তা ভুল হিসাবে উল্লেখ করতে চাই তবে আপনি " বিভ্রম " হিসাবে বিকল্প হিসাবে সত্য হিসাবে সিদ্ধান্তে পৌঁছেছেন (আপনি ছেলেটির মনস্তাত্ত্বিক বিশ্বাস করেন তবে তিনি নন), এবং " বিস্মৃতি " হিসাবে অন্য ধরণের ভুল

লেমা

Neyman-পিয়ারসন থিম এর পদ্ধতির নিম্নোক্ত: লেট শুধু বিভ্রম কিছু সর্বোচ্চ সম্ভাবনা বাছাই এর $\alpha$ যে আমরা সহ্য করতে চলেছেন ইচ্ছুক, এবং তারপর পরীক্ষা অন্যমনস্কতা ন্যূনতম সম্ভাবনা আছে যখন পরিতৃপ্ত যে উপরের আবদ্ধ পাবেন। ফলাফলটি হ'ল এই জাতীয় পরীক্ষাগুলিতে সর্বদা সম্ভাবনা-অনুপাত পরীক্ষার ফর্ম থাকে:

প্রস্তাব (নেইমন-পিয়ারসন লেমা)

তাহলে $L_0, L_1$ সম্ভাবনা ফাংশন নাল এর (PDF গুলি) এবং বিকল্প অনুমানের, এবং $\alpha > 0$ , তারপর অঞ্চল $A\subseteq \Omega$ যা maximizes $P_1(A)$ যখন বজায় রাখার $P_0(A)\leq \alpha$ হয় ফর্ম

$A = {ω \in Ω ∣ \frac{L_{1} (ω)}{L_{0} (ω)} \geq K}$ $A=\{\omega\in \Omega \mid \frac{L_1(\omega)}{L_0(\omega)} \geq K \}$

কিছু ধ্রুব $K>0$ । বিপরীতভাবে, যে কোনও $K$ , উপরের পরীক্ষায় $P_1(A)\geq P_1(B)$ যেমন কোনও $B$ জন্য $P_0(B)\leq P_0(A)$ ।

সুতরাং, আমরা সকলে যা করতে হবে ধ্রুবক খুঁজতে $K$ যেমন যে $P_0(A)=\alpha$ ।

লেখার সময় উইকিপিডিয়ায় প্রমাণটি হ'ল একটি চমত্কারভাবে মৌখিক গাণিতিক প্রমাণ যা কেবলমাত্র সেই ফর্মটি অনুমান করা এবং তারপরে এটি সত্যই অনুকূল কিনা তা যাচাই করে থাকে। অবশ্যই আসল রহস্যটি হ'ল সম্ভাবনাগুলির একটি অনুপাত নেওয়ার এই ধারণাটি কোথা থেকে এসেছে এবং উত্তরটি রয়েছে: সম্ভাবনা অনুপাতটি কেবল সাথে সম্মত $P_1$ ঘনত্ব । $P_0$

আপনি যদি লেবেসগু ইন্টিগ্রালগুলির সাথে আধুনিক পদ্ধতির মাধ্যমে সম্ভাব্যতা শিখেন এবং কী না, তবে আপনি জানেন যে মোটামুটি বাধাবিহীন পরিস্থিতিতে , অন্যটির প্রতি ঘনত্বের ক্রিয়া দ্বারা প্রদত্ত হিসাবে একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ প্রকাশ করা সর্বদা সম্ভব। নেইমন-পিয়ারসন লেমার শর্তে, আমাদের দুটি সম্ভাব্য পদক্ষেপ $P_0$ , $P_1$ যা উভয়েরই কিছু অন্তর্নিহিত পরিমাপের সাথে ঘনত্ব থাকে, সাধারণত একটি পৃথক স্থানের গণনা পরিমাপ, বা $\mathbb R^n$ এ লেবেসগু পরিমাপ । দেখা যাচ্ছে যে আমরা যে পরিমাণটি নিয়ন্ত্রণ করতে আগ্রহী তা হ'ল $P_0(A)$ , আমাদের নেওয়া উচিত $P_0$ আমাদের অন্তর্নিহিত পরিমাপ, এবং দেখার যেমন $P_1$ কিভাবে এটি সম্পর্কিত পদ $P_0$ , এইভাবে, আমরা বিবেচনা $P_1$ থেকে সম্মান সঙ্গে একটি ঘনত্ব ফাংশন দ্বারা দেওয়া হবে $P_0$ ।

জমি কেনা

লেমা হৃদয় তাই নিম্নলিখিত:

$\mu$ $\Omega$ $f$ $\Omega$ $\alpha > 0$ $A$ $\mu(A)\leq\alpha$ $\int_A fd\mu$
${ω \in Ω ∣ f (ω) \geq K}$ $\{\omega\in\Omega\mid f(\omega)\geq K\}$ $K>0$ $\int f$ $B$

$\alpha$ $f$ $\int f$ $\alpha$ $\mu$ $P_0$ $f$ $P_1$ $P_0$ $L_1/L_0$

$A$ $B$ $B'$ $A$ $B'$ $B$ $A$ $B$ $B'$ $x\in A$ $f(y)>f(x)$ $y$ $A$ $x$ $y$ $A$ $f^{-1}([K, +\infty))$ $K$

— জ্যাক এম
সূত্র