প্রথম অংশের জন্য, এবং নোট করুন যে
অতএব, যে কোনও , সংজ্ঞায়িত করে আমাদের কাছে
যখন , implying যে ।x,a,ϵ>0
|x−−√−a−−√|≥ϵ⇒|x−−√−a−−√|≥ϵa−−√a−−√⇒|x−−√−a−−√|≥ϵa−−√x−−√+a−−√⇒|(x−−√−a−−√)(x−−√+a−−√)|≥ϵa−−√⇒|x−a|≥ϵa−−√.
ϵ>0δ=ϵa−−√Pr(|Xn−−−√−a−−√|≥ϵ)≤Pr(|Xn−a|≥δ)→0,
n→∞Xn−−−√→Pra−−√
দ্বিতীয় অংশের জন্য আবার এবং হুবারের উত্তর থেকে প্রতারণা করুন (the সংজ্ঞায়িত করতে এটি মূল পদক্ষেপ ;-)
এখন,
contrapositive এই বিবৃতির হয়
x,a,ϵ>0
δ=min{aϵ1+ϵ,aϵ1−ϵ}.
|x−a|<δ⇒a−δ<x<a+δ⇒a−aϵ1+ϵ<x<a+aϵ1−ϵ⇒a1+ϵ<x<a1−ϵ⇒1−ϵ<ax<1+ϵ⇒∣∣ax−1∣∣<ϵ.
∣∣ax−1∣∣≥ϵ⇒|x−a|≥δ.
সুতরাং,
যখন , বোঝায় যে ।
Pr(∣∣∣aXn−1∣∣∣≥ϵ)≤Pr(|Xn−a|≥δ)→0,
n→∞aXn→Pr1
দ্রষ্টব্য: উভয় আইটেমই আরও সাধারণ ফলাফলের পরিণতি। সবার আগে এই মনে রাখবেন: যদি এবং কেবল কোনও জন্য হয় সেখানে একটি উপসর্গ রয়েছে যেমন প্রায় অবশ্যই যখন । এছাড়াও, রিয়াল বিশ্লেষণ থেকে মনে রাখবেন যে এ একটা সীমা বিন্দু ক্রমাগত হয় এর যদি এবং কেবল যদি প্রত্যেক ক্রম জন্য মধ্যে এটি ঝুলিতে যে বোঝা । সুতরাং, যদিXn→PrX{ni}⊂N{nij}⊂{ni}Xnij→Xj→∞g:A→RxA{xn}Axn→xg(xn)→g(x)gঅবিচ্ছিন্ন এবং প্রায় অবশ্যই, তারপরে
এবং এটি অনুসরণ করে যে প্রায় অবশ্যই। তদুপরি, ক্রমাগত এবং , যদি আমরা কোনও উপসর্গ বেছে নিই , তারপরে, ব্যবহার করে, একটি যেমন প্রায় অবশ্যই যখন । তবে তারপরে, আমরা যেমন দেখেছি, এটি প্রায় অবশ্যই যখনXn→X
Pr(limn→∞g(Xn)=g(X))≥Pr(limx→∞Xn=X)=1,
g(Xn)→g(X)gXn→PrX{ni}⊂N{nij}⊂{ni}Xnij→Xj→∞g(Xnij)→g(X)j→∞। যেহেতু এই যুক্তিটি প্রতিটি জন্য করে , অন্য দিকের লেমা ব্যবহার করে, আমরা এই সিদ্ধান্তে যে । সুতরাং, আপনার প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য আপনি কেবল জন্য ক্রমাগত ফাংশন এবং করতে পারেন এবং এই ফলাফলটি প্রয়োগ করতে পারেন।
{ni}⊂Ng(Xn)→Prg(X)g(x)=x−−√h(x)=a/xx>0