তথ্যসূত্র: উল্টো সিডিএফ এর লেজ

আমি প্রায় নিশ্চিত যে আমি ইতিমধ্যে পরিসংখ্যানগুলিতে নিম্নলিখিত ফলাফলটি দেখেছি তবে কোথায় তা আমি মনে করতে পারি না।

তাহলে $X$ একটি ইতিবাচক দৈব চলক এবং $\mathbb{E}(X)<\infty$ তারপর $\varepsilon F^{-1}(1-\varepsilon) \to 0$ যখন $\varepsilon\to 0^+$ , যেখানে $F$ এর সিডিএফ হয় $X$ ।

সমতা ব্যবহার করে জ্যামিতিকভাবে দেখতে সহজ এবং সংহত বক্ররেখার আওতাধীন অঞ্চলের $\mathbb{E}(X)=\int 1-F$ একটি অনুভূমিক কাটা বিবেচনা করে । $\varepsilon$ $1-F$

আপনি কি এই ফলাফলটির জন্য একটি রেফারেন্স জানেন এবং এর কোনও নাম আছে কিনা?

— স্টাফেন লরেন্ট
সূত্র

"আরও সাধারণভাবে" অংশগুলির দ্বারা সংহতকরণের একটি সহজবোধ্য প্রয়োগ। যে খুব কমই একটি রেফারেন্স প্রয়োজন!

— whuber

@ শুভ আমি প্রথম ফলাফল সম্পর্কে একটি রেফারেন্স চাইছি।

— স্টাফেন লরেন্ট

আপনি এটি stats.stackexchange.com / ক্রিয়েশনস / 18438 এ দেখতে পেলেন বা কমপক্ষে এটির মতো খুব কম কিছু । ফলাফলটি অবিচ্ছেদ্য ক্ষেত্রে একটি প্রতিস্থাপনের কারণে ঘটেছিল, যা আবার এতটা মৌলিক যে এটি আশা করে না যে এটি বিশেষত সাহিত্যে উল্লিখিত হয়েছে বা কোনও বিশেষ নাম দেওয়া হয়েছে।

— whuber

@ তবে আমি আপনার লিঙ্কে এপসিলন দেখতে পাচ্ছি না । তাছাড়া ফলাফলের আমি উল্লেখ একটি বিযুক্ত জন্য সত্য খুব (গ্রহণ করে একটা ক্রম হতে এবং প্রতিস্থাপন সঙ্গে আরও সাধারণ বিবৃতিতে)। প্রথম ফলাফলটি কোনও সাধারণ জন্য এমনকি সত্য , আমি মনে করি।

ϵ F^{- 1} (1 - ϵ) \to 0

$\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) \to 0$

F

$F$

g

$g$

\int

$\int$

\sum

$\sum$

F

$F$

— স্টাফেন লরেন্ট

আমি বিশ্বাস করি যে এটি আরও ধ্রুপদী শর্তে বর্ণিত হলে কোনও রেফারেন্স ছাড়াই এটি ব্যবহার করা যেতে পারে। মোটামুটিভাবে বলতে গেলে এটি:

জন্য

সঙ্গে

, সরাসরি ফল:

x \bar{F} (x) \to 0

$x\,\bar{F}(x) \to 0$

x \to \infty

$x \to \infty$

\bar{F} := 1 - F

$\bar{F} := 1 - F$

এবং আধিপত্যের একীকরণের। (বাম ধারাবাহিক) বিপরীত

এর জন্য সাধারণ ক্ষেত্রে যেখানে

পদক্ষেপ নিতে পারে তারজন্য স্টেটমেন্টটি পাওয়ার জন্য একটু কাজ করা দরকার।

x Pr {X > x} \leq E [X 1_{{X > x}}]

$x \,\text{Pr}\{ X > x \} \leq \mathbb{E}[X \,1_{\{X > x\}}]$

F^{- 1}

$F^{-1}$

F

$F$

— ইয়ভেস

মন্তব্যে ইয়ভেসের প্রস্তাবিত "ছোট্ট কাজ" পরিচালনা করতে জ্যামিতি একটি কঠোর এবং সম্পূর্ণ সাধারণ প্রমাণের পরামর্শ দেয়।

আপনি যদি চান, আপনি সমস্ত অ্যাপসিলন-ডেল্টা যুক্তি দ্বারা ইন্টিগ্রালগুলি এবং "স্বেচ্ছাসেবক" রেফারেন্স দ্বারা অঞ্চলগুলিতে সমস্ত উল্লেখগুলি প্রতিস্থাপন করতে পারেন। অনুবাদ সহজ।

ছবি সেট আপ করতে, দিন বেঁচে থাকার ফাংশন হবে $G$

G (x) = 1 - F (x) = Pr (X > x) .

$G(x) = 1-F(x) = \Pr(X \gt x).$

চিত্রটি একটি অংশকে প্লট করে । (গ্রাফের জাম্পটি লক্ষ্য করুন: এই নির্দিষ্ট বিতরণটি অবিচ্ছিন্ন নয়)) একটি বৃহত প্রান্তিক প্রদর্শিত হবে এবং একটি ক্ষুদ্র সম্ভাবনা নির্বাচন করা হয়েছে (যাতে )। $G$ $T$ $\epsilon \le G(T)$ $G^{-1}(\epsilon)\ge T$

আমরা যেতে প্রস্তুত: আমরা যে মানটি আগ্রহী, (আমরা রূপান্তরগুলি দেখাতে চাই শূন্য থেকে), উচ্চতার সাথে সাদা আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল এবং থেকে বেস । আসুন এই অঞ্চলটিকে এর প্রত্যাশার সাথে সম্পর্কিত করুন , কারণ আমাদের কাছে একমাত্র অনুমান পাওয়া যায় যে এই প্রত্যাশা বিদ্যমান এবং সীমাবদ্ধ। $\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) = \epsilon G^{-1}(\epsilon)$ $\epsilon$ $x=0$ $x= G^{-1}(\epsilon)$ $F$

প্রত্যাশার এর ইতিবাচক অংশ হ'ল বেঁচে থাকার বক্ররেখার অধীনে অঞ্চল ( থেকে ): $E_{+}$ $\mathbb{E}_F(X)$ $0$ $\infty$

E_{F} (X) = E_{+} - E_{-} = \int_{0}^{\infty} G (x) d x - \int_{- \infty}^{0} F (x) d x .

$\mathbb{E}_F(X) = E_{+}-E_{-} = \int_0^\infty G(x) dx - \int_{-\infty}^0 F(x) dx.$

কারণ সসীম হতে হবে (অন্যথায় প্রত্যাশা নিজেই বিদ্যমান এবং সসীম হবে না জন্য), আমরা বাছাই করতে পারে এতো বড় যে অধীনে এলাকায় মধ্যে এবং সকলের জন্য অ্যাকাউন্ট, বা প্রায় সব, । $E_{+}$ $T$ $G$ $0$ $T$ $E_{+}$

সমস্ত টুকরা এখন জায়গায় রয়েছে: এর গ্রাফ , প্রান্তিক , ছোট উচ্চতা এবং ডান হাতের প্রান্তভাগ অঞ্চলগুলিতে বিচ্ছিন্ন করার পরামর্শ দেয় বিশ্লেষণ করতে পারেন: $G$ $T$ $\epsilon$ $G^{-1}(\epsilon)$ $E_{+}$

হিসাবে উপরে থেকে শূন্য যায়, বেস সঙ্গে সাদা আয়তক্ষেত্র এলাকা শূন্য করতে সঙ্কুচিত, কারণ ধ্রুবক রয়ে যায়। ( এই কারণেই চালু করা হয়েছিল; এটি এই বিক্ষোভের মূল ধারণা )) $\epsilon$ $0\le x \lt T$ $T$ $T$
আপনার পছন্দ মতো নীল অঞ্চলটি কাছাকাছি তৈরি করা যেতে পারে, উপযুক্ত বড় দিয়ে শুরু করে এবং তারপরে ছোট বেছে নিয়ে । $E_{+}$ $T$ $\epsilon$
ফলস্বরূপ, বাকি অংশটি - যা পরিষ্কারভাবে থেকে ps এপসিলন ভিত্তিযুক্ত সাদা আয়তক্ষেত্রের চেয়ে বড় নয় এটিকে নির্বিচারে ছোট করা যেতে পারে। (অন্য কথায়, কেবল লাল এবং সোনার অঞ্চলগুলি উপেক্ষা করুন)) $x=T$ $x=G^{-1}(\epsilon)$

আমরা কে দুটি টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো করে যার ক্ষেত্র উভয়ই শূন্যে রূপান্তরিত হয়। $\epsilon G^{-1}(\epsilon)$ সুতরাং, , কিউইডি। $\epsilon G^{-1}(\epsilon)\to 0$

— whuber
সূত্র