দুটি আইড লগনরমাল এলোমেলো ভেরিয়েবলের পার্থক্য

এবং কে 2 আইড্রভিতে আসুন যেখানে ig । আমি এর বিতরণটি জানতে চাই । $X_1$ $X_2$ $\log(X_1),\log(X_2) \sim N(\mu,\sigma)$ $X_1 - X_2$

আমি যেটা করতে পারি তা হ'ল উভয়ের টেলর সিরিজটি নিয়ে যাওয়া এবং পাওয়া যে পার্থক্যটি দুটি শর্তাদির আরভিও এবং দুটি চি-স্কোয়ার আরভি এর পার্থক্যের যোগফলের সাথে বাকী শর্তগুলির মধ্যে পার্থক্যের বাকি রয়েছে। 2 আইড লগ-নরমাল আরভি'র মধ্যে পার্থক্যটির বিতরণ পাওয়ার জন্য আরও কি সরল-এগিয়ে যাওয়ার উপায় আছে?

— frayedchef
সূত্র

এখানে একটি প্রাসঙ্গিক কাগজ আছে। গুগল করে আপনি আরও কাগজপত্র পাবেন! পত্রিকা.এসআরএন.কম.সোল ৩

— পেপারস.সি.পি.এম ?abstract_id=

আমি এই কাগজটিতে একটি অভিহিত নজর রেখেছি এবং এটি আমার প্রশ্নের সন্তোষজনক উপায়ে উত্তর দেবে বলে মনে হয় না। তারা মধ্যবর্তী সমষ্টি / পার্থক্য বন্টন খুঁজে বের করার কঠিন সমস্যার সংখ্যাসূচক অনুমান সঙ্গে সংশ্লিষ্ট হবে বলে মনে হচ্ছে সম্পর্কিত lognormal আরভি আছে। আমি আশা করছিলাম যে স্বাধীন মামলার জন্য একটি সহজ উত্তর হবে।

— frayedchef

এটি স্বাধীন ক্ষেত্রে সহজ উত্তর হতে পারে, তবে সাধারণ কোনও উত্তর নয়! লগনারমাল কেস একটি বিখ্যাত হার্ড কেস --- লগনরমাল বিতরণের মুহূর্ত-উত্পন্ন ফাংশন বিদ্যমান নেই --- অর্থাৎ এটি শূন্যযুক্ত একটি উন্মুক্ত ব্যবধানে রূপান্তর করে না। সুতরাং, আপনি একটি সহজ সমাধান পাবেন না।

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন

আমি দেখছি ... তাহলে উপরে বর্ণিত পদ্ধতিটি কি যুক্তিযুক্ত হবে? (যেমন, যদি

Y_{i} = \log (X_{i})

$Y_i = \log(X_i)$ ,

X_{1} - X_{2} \approx (Y_{1} - Y_{2}) + (Y_{1}^{2} - Y_{2}^{2}) / 2 + . . .

$X_1 - X_2 \approx (Y_1 - Y_2) + (Y_1^2 - Y_2^2)/2 + {} ...$ আমরা কি উচ্চতর আদেশের শর্তাদি সম্পর্কে কিছু জানি, বা সেগুলি কীভাবে আবদ্ধ করব?

— frayedchef

অসুবিধা চিত্রিত করতে --- লগনরমাল এমজিএফ কেবল

সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে sad স্যাডলিপয়েন্ট পদ্ধতি দ্বারা পার্থক্য বিতরণের আনুমানিকভাবে আমাদের (কে = কোমুল্যান্ট জিএফ)

, এবং যে যোগফলটি কেবলমাত্র এক বিন্দুতে শূন্যে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে সুতরাং, কাজ করে বলে মনে হয় না Sum যোগ বা

(- \infty, 0]

$(-\infty,0]$

K (s) + K (- s)

$K(s)+K(-s)$

— গড়টি

উত্তর:

এটি একটি কঠিন সমস্যা। আমি প্রথমে লগনরমাল বিতরণের মুহূর্ত উত্পন্ন কার্যটি ব্যবহার করার (কিছুটা আনুমানিক) ব্যবহার সম্পর্কে ভেবেছিলাম। এটি কাজ করে না, যেমন আমি ব্যাখ্যা করব। তবে প্রথমে কিছু স্বরলিপি:

যাক আদর্শ স্বাভাবিক ঘনত্ব এবং হতে সংশ্লিষ্ট ক্রমবর্ধমান বন্টনের ফাংশন। আমরা কেবল কেস লগমনরমাল ডিস্ট্রিবিউশনকেই বিশ্লেষণ করব , যার ঘনত্বের ফাংশন রয়েছে $\phi$ $\Phi$ $lnN(0,1)$ এবং ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন ধরুনএবংউপরোক্ত লগমনরমাল বিতরণের সাথে স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল vari আমরাবিতরণে আগ্রহী, যা গড় শূন্যের সাথে প্রতিসম বিতরণ। যাকমুহূর্ত উৎপাদিত ফাংশন হবে। এটি শুধুমাত্রজন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} x} e^{- \frac{1}{2} (\ln x)^{2}}

$f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}x} e^{-\frac12 (\ln x)^2}$

F (x) = Φ (\ln x)

$F(x) =\Phi(\ln x)$

X

$X$

Y

$Y$

D = X - Y

$D=X-Y$

M (t) = E e^{t X}

$M(t) = \DeclareMathOperator{\E}{E} \E e^{tX}$

X

$X$

, সুতরাং

একটি উন্মুক্ত ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত করা হয়নি

জন্য মুহুর্ত তৈরির

হ'ল

। সুতরাং,

জন্য মুহূর্ত উত্পন্ন কার্যকেবল

জন্য নির্ধারিত

t \in (- \infty, 0]

$t\in (-\infty,0]$

D

$D$

M_{D} (t) = E e^{t (X - Y)} = E e^{t X} E e^{- t Y} = M (t) M (- t)

$M_D(t)=\E e^{t(X-Y)}= \E e^{tX} \E e^{-tY}= M(t)M(-t)$

D

$D$

t = 0

$t=0$ , তাই খুব দরকারী না।

এর অর্থ বন্টনের জন্য আনুমানিক সন্ধানের জন্য আমাদের আরও কিছু প্রত্যক্ষ পদ্ধতির প্রয়োজন হবে । ধরুন , গণনা করুন $D$ $t\ge 0$ (এবং ক্ষেত্রেপ্রতিসাম্য দ্বারা মীমাংসিত হয়, আমরা পেতে)।

\begin{aligned} P (D \leq t) & = P (X - Y \leq t) \\ = \int_{0}^{\infty} P (X - y \leq t | Y = y) f (y) d y \\ = \int_{0}^{\infty} P (X \leq t + y) f (y) d y \\ = \int_{0}^{\infty} F (t + y) f (y) d y \end{aligned}

$\begin{align} P(D \le t) &= P(X-Y\le t) \\ &= \int_0^\infty P(X-y\le t | Y=y) f(y) \; dy \\ &= \int_0^\infty P(X\le t+y) f(y) \; dy \\ &= \int_0^\infty F(t+y) f(y) \; dy \end{align}$

t < 0

$t<0$

P (D \leq t) = 1 - P (D \leq | t |)

$P(D\le t)=1-P(D\le |t|)$

এই এক্সপ্রেশনটি সংখ্যার একীকরণের জন্য বা সিমুলেশনের ভিত্তি হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। প্রথম পরীক্ষা:

 integrate(function(y) plnorm(y)*dlnorm(y), lower=0,  upper=+Inf)
  0.5 with absolute error < 2.3e-06

যা স্পষ্টভাবে সঠিক। আসুন এটি একটি ফাংশনের ভিতরে গুটিয়ে রাখি:

pDIFF  <-  function(t) {
    d  <-  t
    for (tt in seq(along=t)) {
        if (t[tt] >= 0.0) d[tt] <- integrate(function(y) plnorm(y+t[tt])*dlnorm(y),
                                         lower=0.0,  upper=+Inf)$value else
                          d[tt] <- 1-integrate(function(y) plnorm(y+abs(t[tt]))*dlnorm(y),
                                         lower=0.0, upper=+Inf)$value
    }
    return(d)
}

> plot(pDIFF,  from=-5,  to=5)

যা দেয়:

তারপরে আমরা অবিচ্ছেদ্য চিহ্নের অধীনে পার্থক্য অর্জন করে, ঘনত্বের ফাংশনটি খুঁজে পেতে পারি

dDIFF  <-  function(t) {
       d  <- t; t<- abs(t)
       for (tt in seq(along=t)) {
           d[tt]  <-  integrate(function(y) dlnorm(y+t[tt])*dlnorm(y),
                                lower=0.0,  upper=+Inf)$value
       }
       return(d)
}

যা আমরা পরীক্ষা করতে পারি:

> integrate(dDIFF,  lower=-Inf,  upper=+Inf)
0.9999999 with absolute error < 1.3e-05

এবং আমরা যে ঘনত্ব পেয়েছি তা প্লট করা:

plot(dDIFF,  from=-5,  to=5)

আমি কিছু বিশ্লেষণী প্রায় অনুমান করার চেষ্টাও করেছি, তবে এখনও সফল হয়নি, এটি কোনও সহজ সমস্যা নয়। তবে উপরের মতো সংখ্যাগত সংহতকরণ, আর এ প্রোগ্রাম করা আধুনিক হার্ডওয়্যারটিতে খুব দ্রুত, তাই একটি ভাল বিকল্প যা সম্ভবত আরও বেশি ব্যবহার করা উচিত।

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন
সূত্র

$X$ $Y$

\begin{aligned} Pr (\frac{X}{Y} \leq t) & = Pr (\log (\frac{X}{Y}) \leq \log (t)) \\ = Pr (\log (X) - \log (Y) \leq \log (t)) \\ \sim N (0, 2 σ^{2}) \end{aligned}

$\begin{align} \Pr\left(\frac{X}{Y} \leq t\right) &= \Pr\left(\log\left(\frac{X}{Y}\right) \leq \log(t) \right) \\ &= \Pr(\log(X) - \log(Y) \leq \log(t)) \\ &\sim \mathcal{N}(0, 2 \sigma^2) \end{align}$

আপনার প্রয়োগের উপর নির্ভর করে এটি আপনার প্রয়োজনগুলি সরবরাহ করতে পারে।

— ভিনসেন্ট ট্র্যাগ
সূত্র

কিন্তু আমরা কি লগ (এক্স) - লগ (ওয়াই) এর পরিবর্তে এক্সওয়াইয়ের দিকে তাকাচ্ছি না?

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস

হ্যা অবশ্যই. এটি ঠিক সেই ক্ষেত্রে যদি কেউ লগনরমাল ভেরিয়েবল একে অপরের থেকে পৃথক হওয়ার প্রয়োজন হয় তা ছাড়া এটি জানতে আগ্রহী হবে। এই কারণেই আমি আরও বলছি এটি প্রশ্নের উত্তর দেয় না।

— ভিনসেন্ট ট্র্যাগ