ব্রাউনিয়ান ব্রিজের সুপরিম কেন কোলমোগোরভ – স্মিরনভ বিতরণ করে?

Question

কোলমোগোরভ – স্মিমনভ বিতরণ কোলমোগোরভ – স্মিমনভ পরীক্ষা থেকে জানা যায় । তবে এটি ব্রাউনিয়ান ব্রিজের সুপ্রেম বিতরণও।

যেহেতু এটি সুস্পষ্ট (আমার কাছে) থেকে অনেক দূরে, তাই আমি আপনাকে এই কাকতালীর একটি স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যা জিজ্ঞাসা করতে চাই। তথ্যসূত্রগুলিও স্বাগত।

Comments

@ গাবার্গুলিয়া: আপনি কী পরিবর্তন করেছেন?

— রাসমাস

দেখুন এখানে এবং এখানে ।

— কার্ডিনাল

Answer 1

$\sqrt{n}\sup_x|F_n-F|=\sup_x|\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)|$

যেখানে $Z_i(x)=1_{X_i\leq x}-E[1_{X_i\leq x}]$

সিএলটি দ্বারা আপনার $G_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)\rightarrow \mathcal{N}(0,F(x)(1-F(x)))$

এই অন্তর্দৃষ্টি ...

brownian সেতু ভ্যারিয়েন্স হয়েছে টি ( 1 - টি ) http://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_bridge প্রতিস্থাপন টি দ্বারা এফ ( এক্স ) । এটি এক এক্সের জন্য ...$B(t)$$t(1-t)$ $t$$F(x)$$x$

আপনাকে প্রবক্তা পরীক্ষা করে দেখতে হবে এবং তাই ( ) ( জি এন ( এক্স 1 ) , … , জি এন ( এক্স কে ) ) → ( বি 1 ) এর জন্য এটি (সিএলটি) দেখানো এখনও সহজ , ... , বি ট ) যেখানে ( বি 1 , ... , বি ট ) হয় এন ( 0 , Σ ) সঙ্গে$x_1,\dots,x_k$$(G_n(x_1),\dots,G_n(x_k))\rightarrow (B_1,\dots,B_k)$$(B_1,\dots,B_k)$$\mathcal{N}(0,\Sigma)$ , σ আই জে = মিনিট ( এফ ( এক্স আই ) , এফ ( এক্স জে ) ) - এফ ( এক্স আই ) এফ ( এক্স জে ) । $\Sigma=(\sigma_{ij})$$\sigma_{ij}=\min(F(x_i),F(x_j))-F(x_i)F(x_j)$

কঠিন অংশ প্রদর্শন করতে যে সীমা এর suppremum বিতরণের সীমা বিতরণের supremum হয় ... বোঝা, ঠিক কি ঘটেছে, কিছু গবেষণামূলক প্রক্রিয়া তত্ত্ব প্রয়োজন যেমন Waart এবং Welner (সহজ নয়) ডের ভ্যান যেমন বই পড়ে । উপপাদ্যটির নাম ডোনস্কর উপপাদ্য http://en.wikedia.org/wiki/Donsker%27s_theorem ...

Comments

আমাদের কি সীমাবদ্ধ সকল প্রান্তিক বিতরণে সিএলটি প্রয়োগ করা উচিত নয়?

— রাসমাস

আপনি একটি স্বজ্ঞাত উত্তর চেয়েছিলেন :) এছাড়াও আমি আপনাকে কৌতুকপূর্ণ গাণিতিক অংশ নিয়ে বিরক্ত না করা বেছে নিয়েছি যা দেখানোর জন্য যে সকলের জন্য একীকরণ হ'ল সুপ্রিমের রূপান্তর (আইনতে) বোঝায় ... আপনি কি চান যে আমার সম্পূর্ণ করা উচিত? উত্তর ?

— রবিন গিরার্ড

প্রিয় রবিন গিরার্ড, আমি মনে করি আপনার উত্তরটি ঠিক আছে। ধন্যবাদ!

— রাসমুস

the difficult part actually is to show weak convergence. The convergence of supremums then follows directly from continuous mapping theorem. This result can be found in Billingsley's "Convergence of Probability Measures". Van der Vaart and Wellner give more general result and their book is really, really tough :)

— mpiktas

@robingirard I personally would love to see a "complete answer" with all the "tricky mathematical part[s]"

— StatsPlease

Answer 2

For Kolmogorov-Smirnov, consider the null hypothesis. It says that a sample is drawn from a particular distribution. So if you construct the empirical distribution function for $n$ samples $f(x) = \frac{1}{n} \sum_i \chi_{(-\infty, X_i]}(x)$, in the limit of infinite data, it will converge to the underlying distribution.

For finite information, it will be off. If one of the measurements is $q$, then at $x=q$ the empirical distribution function takes a step up. We can look at it as a random walk which is constrained to begin and end on the true distribution function. Once you know that, you go ransack the literature for the huge amount of information known about random walks to find out what the largest expected deviation of such a walk is.

You can do the same trick with any $p$-norm of the difference between the empirical and underlying distribution functions. For $p=2$, এটি ক্র্যামার-ভন মাইজেস পরীক্ষা বলে। আমি স্বেচ্ছাসেবী আসল, ধনাত্মক জন্য এই জাতীয় সমস্ত পরীক্ষার সেট জানি না$p$ যে কোনও ধরণের একটি সম্পূর্ণ শ্রেণি গঠন, তবে এটি দেখতে আকর্ষণীয় বিষয় হতে পারে।