উত্তল আদেশ ক্রম ডান লেজ আধিপত্য বোঝায়?

10

$\mathcal{F}_X$ এবং দুটি ধারাবাহিক বিতরণ দেওয়া $\mathcal{F}_Y$ , তাদের মধ্যে উত্তল আধিপত্যের সম্পর্ক কিনা তা আমার কাছে স্পষ্ট নয়:

(0) F_{X} <_{c} F_{Y}

$(0)\quad \mathcal{F}_X <_c \mathcal{F}_Y$

ইঙ্গিত দেয় যে

(1) F_{Y}^{- 1} (q) \leq F_{X}^{- 1} (q), \forall q \in [0.5, 1]

$(1)\quad F_Y^{-1}(q) \leq F_X^{-1}(q),\quad \forall q\in[0.5,1]$

হোল্ড বা আরও কিছু অনুমানের প্রয়োজন হলে $(1)$ ধরে রাখা হয়?

উত্তল আধিপত্য সংজ্ঞা।

যদি দুটি ক্রমাগত বিতরণ $\mathcal{F}_X$ এবং $\mathcal{F}_Y$ সন্তুষ্ট করে:

(2) F_{Y}^{- 1} F_{X} (x) is convex in x

$(2)\quad F_Y^{-1}F_X(x)\text{ is convex in } x$

[0] তারপরে আমরা লিখি:

F_{X} <_{c} F_{Y}

$F_X <_c F_Y$

বলবো যে, আরো অধিকার চেয়ে skewed হয় । কারণ এবং সম্ভাব্যতা বন্টন, $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $F_X$ $F_Y$ $(2)$ যে বোঝা ডেরিভেটিভ monotonically অ হ্রাস এবং অ নেতিবাচক [1], যে , উত্তল [2] যে এবং $F_Y^{-1}F_X(x)$ $F_Y^{-1}F_X(x)-x$ $F_X$ $F_{aY+b}$ সবচেয়ে দুইবার সময়ে প্রতিটি অন্যান্য ক্রস [2] এবং যে [2], জন্য : $\forall a>0,b\in\mathbb{R}$ $\forall p\in[0,0.5]$

\frac{F_{X}^{- 1} (p)}{F_{Y}^{- 1} (p)} \geq \frac{F_{X}^{- 1} (1 - p)}{F_{Y}^{- 1} (1 - p)} .

$\frac{F^{-1}_X(p)}{F^{-1}_Y(p)}\geq\frac{F^{-1}_X(1-p)}{F^{-1}_Y(1-p)}.$

[0] জায়েট, ডাব্লুআর ভ্যান (1964)। র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উত্তল রূপান্তর (1964)। অ্যামটারডাম: গণিত কেন্দ্র
[1] ওজা, এইচ। (1981)। ইউনিভারিয়ার ডিস্ট্রিবিউশনের অবস্থান, স্কেল, স্কেলনেস এবং কুর্তোসিস অন। পরিসংখ্যান স্ক্যান্ডিনেভিয়ান জার্নাল। ভোল। 8, পিপি 154--168
[২] আরএ গ্রোনেভেল্ড এবং জি। মিডেন। (1984)। স্কিউনেস এবং কুর্তোসিস পরিমাপ করা। পরিসংখ্যানবিদ। 33: 391-399।

probability probability-inequalities distributions

— user603
সূত্র

1

আমি মনে করি সর্বশেষ বৈষম্যের মধ্যে কিছু ত্রুটি রয়েছে - যদি এটি

ধরে রাখে , প্রতিসাম্যতা বোঝায় সমতা

\forall p \in [0, 1]

$\forall p \in [0,1]$

, যা পরিবর্তিতভাবে প্রতিসামগ্রী

বনাম

।

\frac{F_{X}^{- 1} (p)}{F_{Y}^{- 1} (p)} = \frac{F_{X}^{- 1} (1 - p)}{F_{Y}^{- 1} (1 - p)}

$\frac{F^{-1}_X(p)}{F^{-1}_Y(p)}=\frac{F^{-1}_X(1-p)}{F^{-1}_Y(1-p)}$

X

$X$

Y

$Y$

— জুহো কোক্কলা

1

নোট নেই

[2] এর সমীকরণের পরে (6)।

α \in (0, \frac{1}{2})

$\alpha \in (0,\frac{1}{2})$

— জুহো কোক্কলা

আপনি সঠিক. আমার খারাপ। আমি এখন এটি ঠিক।

— ব্যবহারকারী 603

2

সাধারণভাবে এটি সত্য নয়। উদাহরণস্বরূপ বিবেচনা করুনএবং $\mu=\frac{3}{8} \delta_{-1}(x)+\frac{1}{4}\delta_0(x)+\frac38 \delta_1(x)$ । $\nu=\frac12\delta_{-\frac12}(x)+\frac12\delta_{\frac12}(x)$

আপনি অবিলম্বে এটি দেখতে পারেন যে $\nu\leq_{cx}\mu$ । তবে । তবে এটি সত্য যে নির্দিষ্ট থেকে, $F_\mu^{-1}(0.6)=0<\frac12 =F_\nu^{-1}(0.6)$ $\bar{q}$ সমস্ত । $F_\mu^{-1}(q)<F_\nu^{-1}(q)$ $q>\bar q$

— user123456
সূত্র

আপনি দয়া করে এই উত্তরে কিছু ব্যাখ্যা যুক্ত করতে পারেন? এটি আমাদের স্ট্যান্ডার্ডের জন্য কিছুটা ছোট!

— কেজেটিল বি হলওয়ার্সন

4

ঠিক আছে, আমি মনে করি এটি এর মতো সমাধান করা যেতে পারে (মন্তব্য স্বাগত):

বোঝানো হচ্ছে এবং $\mathcal{F}_X$ এর ডিস্ট্রিবিউশনএবংএবং স্মরণ যে $\mathcal{F}_Y$ $X$ $Y$

F_{X} <_{c} F_{Y}

$\mathcal{F}_X <_c \mathcal{F}_Y$

বোঝা (Oja, 1981) যে এমন যে: $\exists z^*\in\mathbb{R}$

F_{Y} (z) < F_{X} (z), \forall z > z^{*} .

$F_Y(z)<F_X(z),\forall z>z^*.$

যেহেতু স্থানান্তরটি উত্তল ক্রমকে প্রভাবিত করে না, তাই আমরা সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই ধরে নিতে পারি যে স্থানান্তরিত হয়েছে যাতে: $X$

z^{*} ⩽ min (F_{X}^{- 1} (0.5), F_{Y}^{- 1} (0.5))

$z^*\leqslant\min(F^{-1}_X(0.5),F^{-1}_Y(0.5))$

যাতে

F_{Y}^{- 1} (q) ⩽ F_{X}^{- 1} (q), \forall q \in [0.5, 1] .

$F_Y^{-1}(q) \leqslant F_X^{-1}(q),\quad \forall q\in[0.5,1].$

সুতরাং, মনে হচ্ছে যে হ্যাঁ , এর উত্তল ক্রম বোঝা ডান লেজ আধিপত্য উপর $\mathcal{F}_X<_c \mathcal{F}_Y$ $F_Y(y)$ $F_X(x)$ (অথবা কিছু সংস্করণ ভালো হবে এর $F_{X+b}(x),\;b\in\mathbb{R}$ ) $F_X(x)$

— user603
সূত্র