বৈকল্পিকের বিপরীত কার্য

Question

প্রদত্ত ধ্রুবক সংখ্যার জন্য $r$ (উদাঃ 4), এর জন্য সম্ভাব্যতা বন্টন খুঁজে পাওয়া সম্ভব? $X$, যাতে আমাদের আছে $\mathrm{Var}(X)=r$?

Comments

না, যদি না আপনার অতিরিক্ত তথ্য থাকে।

— হেমন্ত রূপানী

@ হেমন্ত রুপানী কী অতিরিক্ত তথ্য প্রয়োজন?

— amiref

যেকোন প্রকৃতি র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল 'এক্স'…

— হেমন্ত রূপানী

আমি আপনাকে "X এর জন্য মূল্য" "X এর জন্য বিতরণ" দিয়ে প্রতিস্থাপনের জন্য আপনার প্রশ্নটি সম্পাদনা করার পরামর্শ দিচ্ছি - যদি এক্সের একটি মাত্র মান থাকে তবে এক্সটির একটি ডিজেনরেট বিতরণ থাকে এবং তার ভেরিয়েন্স শূন্য থাকবে।

— সিলভারফিশ

যদি না $r$নেতিবাচক উত্তর উত্তর অবশ্যই হ্যাঁ, একটি বৈকল্পিক যে কোনও ধনাত্মক সংখ্যা হতে পারে।

— dsaxton

Answer 1

সাবধানে জন্য মামলা বিবেচনা $r$: যদি $r=0$ তারপরে বিতরণটি অবনমিত হয়, তবে but $X$ কোন উপায় হতে পারে। এটাই,$\Pr(X=\mu)=1$এবং যেকোন । সুতরাং আমরা জন্য অনেক সম্ভব ডিস্ট্রিবিউশন জানতে পারেন , কিন্তু তারা দ্বারা সূচীবদ্ধ করা হয়, এবং সম্পূর্ণরূপে দ্বারা নির্দিষ্ট ।$\Pr(X=c)=0$$c \neq \mu$$X$$\mu \in \mathbb{R}$

যদি কোনও বিতরণ পাওয়া যাবে না, যেহেতু ।$r<0$$\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}(X-\mu_X)^2 \geq 0$

জন্য , উত্তর উপর নির্ভর করবে কি অতিরিক্ত তথ্য সম্পর্কে পরিচিত হয় । উদাহরণস্বরূপ, যদি অর্থ তবে জানা যায় যে কোনও এবং আমরা এই মুহুর্তগুলির সাথে নিয়ে একটি বিতরণ পেতে পারি । এটি মিলে যাওয়া গড় এবং বৈচিত্রের সমস্যার অনন্য সমাধান নয়, তবে এটিই কেবলমাত্র সাধারণভাবে বিতরণ করা সমাধান (এবং সমস্ত সম্ভাব্য সমাধানগুলির মধ্যে এটিই হ'ল এনট্রপিটি সর্বাধিক করে তোলে, যেমন ড্যানিয়েল দেখায়)। যদি আপনিও তৃতীয় কেন্দ্রীয় মুহূর্ত বা ততোধিক সময়ের সাথে মিলে যেতে চেয়েছিলেন , তবে আপনাকে সম্ভাবনা বিতরণের বিস্তৃত পরিসর বিবেচনা করতে হবে।$r>0$$X$$X$$\mu$$\mu \in \mathbb{R}$$r>0$$X \sim N(\mu, r)$

মনে করুন পরিবর্তে আমাদের কাছে এর বিতরণ সম্পর্কে কিছু মুহুর্তের চেয়ে কিছু তথ্য ছিল । উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা জানি যে একটি পয়সন বিতরণ অনুসরণ করে তবে অনন্য সমাধানটি হবে । যদি আমরা জানি যে এক্সফোনেনশিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন অনুসরণ করে, তবে আবার একটি অনন্য সমাধান রয়েছে , যেখানে আমরা সমাধানের মাধ্যমে প্যারামিটারটি পেয়েছি ।$X$$X$$X \sim \mathrm{Poisson}(r)$$X$$X \sim \mathrm{Exponential}(\frac{1}{\sqrt{r}})$$\mathrm{Var}(X) = r = \frac{1}{\lambda^2}$

অন্যান্য ক্ষেত্রে আমরা একটি সম্পূর্ণ পরিবার সমাধান পেতে পারি। আমরা যদি জানি যে একটি আয়তক্ষেত্রাকার (ক্রমাগত অভিন্ন) বন্টন অনুসরণ করে, তাহলে আমরা একটি অনন্য প্রস্থ জানতে পারেন সমাধান করে বিতরণের জন্য । তবে সমাধানগুলির পুরো পরিবার থাকবে, ডাব্লু দ্বারা me ম্যাথবিবি দ্বারা প্যারামিটেজ করা - এই সেটটিতে বিতরণগুলি একে অপরের অনুবাদ। একইভাবে, যদি সাধারণ হয় তবে কোনও বিতরণ কাজ করবে (সুতরাং আমাদের কাছে দ্বারা সূচিত সমাধানগুলির পুরো সেট রয়েছে যা আবার কোনও আসল সংখ্যা হতে পারে, এবং আবার পরিবারটি সমস্ত অনুবাদ হয় একে অপরের)। যদি$X$$w$$\mathrm{Var}(X) = r = \frac{w^2}{12}$$X \sim U(a, a+w)$$a \in \mathbb{R}$$X$$X \sim N(\mu, r)$$\mu$$X$ একটি অনুসরণ করে গামা বন্টন , তারপর আকৃতি মাপের একখান ব্যবহার করে, আমরা সমাধানের একটি পুরো পরিবারের প্রাপ্ত করতে পারেন দ্বারা parametized । এই পরিবারের সদস্যরা একে অপরের অনুবাদ নয়। সাহায্যের ঠাহর কি একটি "সমাধান পরিবার" অনুরূপ হতে পারে, এখানে দ্বারা সূচীবদ্ধ স্বাভাবিক ডিস্ট্রিবিউশন কিছু উদাহরণ , এবং তারপর গামা ডিস্ট্রিবিউশন দ্বারা সূচীবদ্ধ , ভ্যারিয়েন্স সঙ্গে সব থেকে চার সমান, উদাহরণস্বরূপ সংশ্লিষ্ট মধ্যে তোমার প্রশ্ন.$X \sim \mathrm{Gamma}(\frac{r}{\theta^2}, \theta)$$\theta > 0$$\mu$$\theta$$r=4$

অন্যদিকে, কিছু বিতরণের জন্য এর মানের উপর নির্ভর করে কোনও সমাধান পাওয়া সম্ভবও হতে পারে । উদাহরণস্বরূপ যদি একটি বের্নুলির পরিবর্তনশীল তারপর হতে হবে দুই সম্ভাব্য সমাধান আছে কারণ সেখানে দুই সম্ভাব্যতা হয় যা সমীকরণ সমাধান , এবং প্রকৃতপক্ষে এই দুটি সম্ভাবনা পরিপূরক অর্থাৎ । জন্য মাত্র অনন্য সমাধান , এবং কোন বের্নুলির বন্টন পর্যাপ্ত উচ্চ ভ্যারিয়েন্স হয়েছে।$r$$X$$0 \leq r \lt 0.25$$X \sim \mathrm{Bernoulli}(p)$$p$$\mathrm{Var}(X) = r = p(1-p)$$p_1 + p_2 = 1$$r=0.25$$p=0.5$$r>0.25$

আমি মনে করি আমারও মামলাটি উল্লেখ করা উচিত । এই ক্ষেত্রে জন্য সমাধান খুব, উদাহরণস্বরূপ একটি হয় স্টুডেন্টস বন্টন স্বাধীনতার দুই মাত্রার।$r = \infty$$t$

প্লটের জন্য আর কোড

require(ggplot2)

x.df  <- data.frame(x = rep(seq(from=-8, to=8, length=100), times=5),
    mu = rep(c(-4, -2, 0, 2, 4), each=100))
x.df$pdf <- dnorm(mean=x.df$mu, x.df$x)
ggplot(x.df, aes(x=x, y=pdf, group=factor(mu), colour=factor(mu))) + theme_bw() + 
    geom_line(size=1) + scale_colour_brewer(name=expression(mu), palette="Set1") +
    theme(legend.key = element_blank()) + ggtitle("Normal distributions with variance 4")

x.df  <- data.frame(x = rep(seq(from=0, to=20, length=1000), times=5),
    theta = rep(c(0.25, 0.5, 1, 2, 4), each=1000))
x.df$pdf <- dgamma(x.df$x, shape=4/(x.df$theta)^2, scale=x.df$theta)
ggplot(x.df, aes(x=x, y=pdf, group=factor(theta), colour=factor(theta))) + theme_bw() + 
    geom_line(size=1) + scale_colour_brewer(name=expression(theta), palette="Set1") +
    theme(legend.key = element_blank()) + ggtitle("Gamma distributions with variance 4") +
    coord_cartesian(ylim = c(0, 1)) 

Answer 2

আপনার অর্থ গ্রহণ করে " পক্ষে সম্ভাব্যতা বন্টন সন্ধান করা সম্ভব কি " তবে উত্তরটি হ্যাঁ, কারণ আপনি কোনও মানদণ্ড নির্দিষ্ট করেন নি যা অবশ্যই পূরণ করবে। আসলে এখানে অসীম সংখ্যক বিতরণ রয়েছে যা এই শর্তটি পূরণ করবে। কেবলমাত্র একটি সাধারণ বিতরণ বিবেচনা করুন, । আপনি সেট করতে পারেন এবং আপনার পছন্দ মতো কোনও মান নিতে পারে - তারপরে আপনার প্রয়োজন অনুসারে ।$X$$X$$\mathcal{N}(x ; \mu, \sigma^2)$$\sigma^2 = r$$\mu$$Var[X] = r$

প্রকৃতপক্ষে, সাধারণ বন্টন এ ক্ষেত্রে বরং বিশেষ কারণ এটি একটি নির্দিষ্ট গড় এবং বৈকল্পিকতার জন্য সর্বাধিক এনট্রপি সম্ভাবনা বিতরণ ।

Comments

আপনি ঠিক বলেছেন, আমি এটি সংশোধন করেছি। আপনি দয়া করে আরও ব্যাখ্যা করবেন?

— amiref

@ আমিরএফ

— ড্যানিয়েল

ড্যানিয়েলের আর কী ব্যাখ্যা করা উচিত তা মোটেও পরিষ্কার নয়; এখানে উত্তরটি আপনার পোস্ট করা প্রশ্নের সমস্ত কিছু নিয়ে আসে বলে মনে হচ্ছে।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

Answer 3

এই প্রশ্নটি এমনভাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যা এটি আকর্ষণীয় করে তোলে এবং সম্পূর্ণ তুচ্ছ নয়। এমন কিছু দেওয়া হয়েছে যা এলোমেলো ভেরিয়েবলের মতো দেখায় , এর মানগুলিতে (বা বিদ্যমান সম্ভাব্যতার আশেপাশে স্থানান্তরিত করা) এমন পরিমাণে সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করা কীভাবে সম্ভব যে এর প্রকরণটি কিছু পূর্বনির্ধারিত সংখ্যা সমান ? উত্তর যে সব সম্ভাব্য মান মঞ্জুরিযোগ্য হয়, পর্যন্ত একটা সীমা পরিসীমা দ্বারা নির্ধারিত ।$X$$r$$r\ge 0$$X$

এ জাতীয় বিশ্লেষণের সম্ভাব্য আগ্রহ একটি নির্দিষ্ট পরিণতি অর্জনের জন্য একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল স্থির রেখে, সম্ভাব্যতা পরিমাপের পরিবর্তনের ধারণার মধ্যে রয়েছে। যদিও এই অ্যাপ্লিকেশনটি সহজ, এটি গিরসানোভ উপপাদ্যের অন্তর্নিহিত কিছু ধারণা প্রদর্শন করে, এটি গাণিতিক ফিনান্সের মৌলিক ফলাফল।

---

আসুন এই প্রশ্নটি একটি কঠোর, দ্ব্যর্থহীন ফ্যাশনে পুনরায় চালু করুন। অনুমান করা

$$X:(\Omega, \mathfrak{S}) \to \mathbb{R}$$

একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন একটি পরিমাপ স্থান সংজ্ঞায়িত সঙ্গে সিগমা-বীজগণিত । প্রদত্ত আসল সংখ্যার জন্য , কখন এই জায়গাটিতে কোনও সম্ভাব্যতা পরিমাপ সম্ভব, যার জন্য ?$\Omega$$\mathfrak{S}$$r \gt 0$$\mathbb{P}$$\text{Var}(X) = r$

আমি বিশ্বাস করি উত্তর হল এই সম্ভব যখন । $\sup(X) - \inf(X) \gt 2\sqrt{r}$ (সর্বোপরি এবং ইনফিমাম উভয়ই হয়ে গেলে সমতা ধারন করতে পারে: এটি হ'ল প্রকৃতপক্ষে সর্বনিম্ন এবং সর্বনিম্ন ।) যখন বা , তখন এই অবস্থা উপর কোনও সীমাবদ্ধতা আরোপ করে না এবং তারপরে সমস্ত অ-নেতিবাচক মানগুলি সম্ভব।$X$$\sup(X)=\infty$$\inf(X)=-\infty$$r$

প্রমাণটি নির্মাণ করে। আসুন এর সাধারণ সংস্করণ দিয়ে শুরু করি, বিশদটির যত্ন নিতে এবং প্রাথমিক ধারণাটি পিন করে, এবং তারপরে প্রকৃত নির্মাণের দিকে এগিয়ে যাই।

1. যাক ভাবমূর্তি হতে : এই উপায়ে আছে একটি , যার জন্য । সেট ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করুন কে সূচক হতে : অর্থাৎ, যদি এবং যখন ।$x$$X$$\omega_x\in\Omega$$X(\omega_x) = x$$\mathbb{P}:\mathfrak{S}\to [0,1]$$\omega_x$$\mathbb{P}(A) = 0$$\omega_x\notin A$$\mathbb{P}(A) = 1$$\omega_x\in A$

   যেহেতু , অবশ্যই সম্ভাবনার প্রথম দুটি অক্ষকে সন্তুষ্ট করে । এটি তৃতীয়টিকে সন্তুষ্ট করে দেখাতে হবে; যথা, এটি সিগমা-যুক্ত itive কিন্তু এই সুস্পষ্ট যেমন প্রায় হল: যখনই একটি নির্দিষ্ট বা countably অসীম পারস্পরিক একচেটিয়া ঘটনা সেট হয় তাহলে এতদুভয় থেকে কেউ ধারণ করে --in যে ক্ষেত্রে সকল বা ঠিক তাদের মধ্যে রয়েছে , নির্দিষ্ট এবং অন্যথায় সবার জন্য$\mathbb{P}(\Omega)=1$$\mathbb P$$\{E_i, i=1, 2, \ldots\}$$\omega_x$$\mathbb{P}(E_i)=0$$i$$\omega_x$$\mathbb{P}(E_j)=1$$j$$\mathbb{P}(E_i)=0$$i\ne j$। উভয় ক্ষেত্রে

   $$\mathbb{P}\left(\cup_i E_i\right) = \sum_i \mathbb{P}(E_i)$$

   কারণ উভয় পক্ষের পারেন উভয় বা উভয় ।$0$$1$

   যেহেতু সমস্ত সম্ভাবনা ঘনীভূত , বিতরণের উপর ঘনীভূত হয়েছে এবং শূন্য ভ্যারিয়েন্স থাকতে হবে।$\mathbb{P}$$\omega_x$$X$$x$$X$

2. এর পরিসরে দুটি মান হওয়া যাক ; যা, এবং । পূর্ববর্তী পদক্ষেপের অনুরূপ একটি পদ্ধতিতে, measure এবং সূচকগুলির একটি ওজনযুক্ত গড় হিসাবে একটি পরিমাপ । নির্ধারিত করার জন্য অ-নেতিবাচক ওজন এবং ব্যবহার করুন । ঠিক আগের মতোই, আমরা দেখতে পেলাম যে 1 - (1) - এ আলোচিত সূচক ব্যবস্থার উত্তল সংমিশ্রণ - এটি একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ। এই পরিমাপের সাথে বিতরণ একটি বার্নৌল্লি$x_1 \le x_2$$X$$X(\omega_1) = x_1$$X(\omega_2) = x_2$$\mathbb{P}$$\omega_1$$\omega_2$$1-p$$p$$p$$\mathbb{P}$$X$$(p)$বন্টন যে ছোটো করা হয়েছে দ্বারা স্থানান্তরিত । কারণ একটি বের্নোল্লি বিতরণের বৈচিত্রটি , এর বৈকল্পিক অবশ্যই ।$x_2-x_1$$-x_1$$(p)$$p(1-p)$$X$$(x_2-x_1)^2p(1-p)$

(2) একটি তাৎক্ষণিক ফল যে কোনো হয় যার জন্য বিদ্যমান আছে সীমার মধ্যে এবং যার জন্য$r$$x_1 \le x_2$$X$$0 \le p \lt 1$

$$r = (x_2-x_1)^2p(1-p)$$

এর বৈকল্পিক হতে পারে । সাল থেকে এটি বোঝা যাচ্ছে$X$$0 \le p(1-p) \le 1/4$

$$2\sqrt{r} = \sqrt{4 r} \le \sqrt{\frac{r}{p(1-p)}} = \sqrt{(x_2-x_1)^2} = x_2-x_1 \le \sup(X)-\inf(X),$$

সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন হলে সমতা হোল্ডিং সহ ।$X$

বিপরীতভাবে, যদি সীমা অতিক্রম করে , তবে কোনও সমাধান সম্ভব নয়, কারণ আমরা ইতিমধ্যে জানি যে কোনও সীমিত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বৈকল্পিক এক-চতুর্থাংশের বেশি হতে পারে না এর ব্যাপ্তির বর্গ$r$$(\sup(X)-\inf(X))^2/4$

Comments

ডুড, আমি মনে করি আপনি ওপি থেকে সম্পূর্ণ ভিন্ন স্তরে আছেন।

— মার্ক এল স্টোন

@ মার্ক সম্ভবত। (আমি মনে করি আপনি এখানে খুব শুকনো রসিকতা পেয়েছেন।) তবে যে কেউ তাদের পোস্টে গাণিতিক-পরিসংখ্যান ট্যাগ প্রয়োগ করছেন তাদের এই ধরণের জিনিস আশা করা উচিত :-)।

— শুক্র

"টোটাল পজিটিভিটিভিটি" প্রয়াত প্রফেসর স্যামুয়েল কার্লিনের (কার্লিন এবং টেলারের খ্যাতি) প্রয়াত প্রফেসর স্যামুয়েল কার্লিনের কাছ থেকে যখন আমি 4 জন ছাত্র ক্লাস নিয়েছিলাম তখন এ জাতীয় ধরণের স্মরণ করিয়ে দেয়। গেম তত্ত্বের বিষয়টি একরকম উঠে এল। তিনি বললেন, ওহ, গেম থিওরি। আপনার দুটি অ-নেতিবাচক সিগমা-সসীম ব্যবস্থা রয়েছে ...., এখন কল্পনা করুন যে তিনি একটি উদার শিল্পকলা কলেজের একটি নবীন অর্থনীতি শ্রেণীর শিক্ষার্থীদের কাছে এইভাবে গেম তত্ত্বটি চালু করছেন। এটিই আপনার পোস্ট আমাকে ভাবতে বাধ্য করেছিল।

— মার্ক এল স্টোন

@ মার্ক বোঝা। কেউ তা না করে সফল হয়। আপনি উল্লেখ হিসাবে, আমি এখানে একটি নির্দিষ্ট পাঠকের চেয়ে সাধারণ পাঠকদের জন্য (একটি উপসেট) লিখছি। অন্যদিকে, বিমূর্ত বিষয়টি কঠিন নয় (এই প্রাথমিক স্তরে) এবং উদার কলা কলেজগুলিতে অনুপ্রাণিত আন্ডার ক্লাসম্যানদের কাছে অ্যাক্সেসযোগ্য প্রমাণিত হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ stats.stackexchange.com/a/94876 এ মন্তব্যগুলি দেখুন ।

— শুক্র

@ মার্কএল.স্টোন উত্তরগুলি কেবল তাত্ক্ষণিক জিজ্ঞাসকের চেয়ে বেশি নয় (এসই এর উদ্দেশ্য একই ধরণের প্রশ্নগুলির সাথে উত্তরকারীদের পক্ষে ভাল প্রশ্নের এবং ভাল উত্তরের ভাণ্ডার হতে পারে), এবং আমাদের কাছে ইতিমধ্যে প্রশ্নের আরও প্রাথমিক দৃষ্টিভঙ্গির উত্তর রয়েছে । কিছু অন্যান্য পাঠক জিনিসকে কম প্রাথমিক গ্রহণের থেকে কিছু পেতে পারেন, তাই বিভিন্ন ধরণের শৈলী এবং উত্তরগুলির স্তরটি এই প্রশ্নটিকে আরও বেশি লোকের জন্য দরকারী করে তোলে।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

Answer 4

হ্যাঁ, এই জাতীয় বিতরণ পাওয়া সম্ভব। প্রকৃতপক্ষে আপনি আপনার অবস্থার সাথে মিলে যাওয়ার জন্য একটি সীমাবদ্ধ বৈকল্পিকতা এবং স্কেল সহ যে কোনও বিতরণ নিতে পারেন কারণ

$$Var[cX]=c^2Var[X]$$

উদাহরণস্বরূপ, বিরতিতে অভিন্ন বৈকল্পিকতা রয়েছে: সুতরাং, বিরতিতে অভিন্ন বন্টন ভ্যারিয়েন্স থাকবে ।$[0,1]$

$$\sigma^2=\frac{1}{12}$$ $\left[0,\frac{1}{\sqrt{12r}}\right]$$r$

প্রকৃতপক্ষে, কিছু বিতরণে প্যারামিটার যুক্ত করার এটি সাধারণ উপায়, যেমন শিক্ষার্থী টি। এটির একটি মাত্র প্যারামিটার, of - স্বাধীনতার ডিগ্রি। যখন বিতরণটি একটি মানকে সাধারণ রূপান্তরিত করে। এটি ঘণ্টা আকৃতির, দেখতে অনেকটা স্বাভাবিকের মতো, তবে মোটা লেজ রয়েছে। তাই লেজগুলি মোটা হওয়ার সময় এটি প্রায়শই সাধারণ বিতরণের বিকল্প হিসাবে ব্যবহৃত হয়। একমাত্র সমস্যা হ'ল গাউসীয় বিতরণে দুটি পরামিতি রয়েছে। সুতরাং, স্টুডেন্ট টি-এর স্কেল করা সংস্করণ আসবে, যা কখনও কখনও " টি লোকেশন স্কেল" বিতরণ বলে । এটি খুব সাধারণ রূপান্তর: , যেখানে অবস্থান এবং স্কেল। এখন, আপনি স্কেল সেট করতে পারেন যাতে নতুন ভেরিয়েবল$\nu$$\nu\to\infty$$\xi=\frac{t-\mu}{s}$$\mu,s$$\xi$ কোনও প্রয়োজনীয় বৈকল্পিকতা থাকবে এবং এতে শিক্ষার্থীর টি বিতরণের আকার থাকবে।