র্যান্ডম ওয়াকের বৈচিত্র কেন বৃদ্ধি পায়?

Question

এলোমেলো হাটা যে হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় $Y_{t} = Y_{t-1} + e_t$ , যেখানে $e_t$ সাদা গোলমাল হয়। চিহ্নিত করে যে বর্তমান অবস্থানটি পূর্ববর্তী অবস্থানের সমষ্টি + একটি অনির্দিষ্ট শর্ত।

আপনি প্রমাণ করতে পারেন মানে ফাংশন $\mu_t = 0$ , যেহেতু $E(Y_{t}) = E(e_1+ e_2+ ... +e_t) = E(e_1) + E(e_2) +... +E(e_t) = 0 + 0 + ... + 0$

তবে কেন সময়ের সাথে বৈচিত্র্য রৈখিকভাবে বৃদ্ধি পায়?

পূর্ববর্তীটির সাথে নতুন অবস্থানটি খুব সংযোগযুক্ত হওয়ায় এটি "খাঁটি" এলোমেলো নয় এর সাথে কি কিছু করার আছে?

সম্পাদনা করুন:

এখন এলোমেলো পদক্ষেপের একটি বড় নমুনাটি দেখে আমার আরও ভাল বোঝাপড়া হয়েছে এবং এখানে আমরা সহজেই লক্ষ্য করতে পারি যে সময়ের সাথে সামগ্রিক বৈকল্পিকতা বৃদ্ধি পায় ,

এবং গড়টি শূন্যের কাছাকাছি হিসাবে প্রত্যাশিত

হতে পারে এটি সর্বোপরি তুচ্ছ, যেহেতু সময় সিরিজের একেবারে প্রাথমিক পর্যায়ে (সময়টির সাথে তুলনা = 10, 100 এর সাথে) এলোমেলো পদচারনাকারীদের এতটুকু অন্বেষণ করার সময় এখনও হয়নি।

Comments

$Y_t$$t$

@ হু হু ইয়ার! অবশ্যই আমার এটি সমস্ত সম্ভাব্য পদক্ষেপের একটি উদাহরণ হিসাবে বিবেচনা করা উচিত। এবং তারপরে হ্যাঁ, আপনি গ্রাফটি দেখে দেখতে পারেন যে সমস্ত পদক্ষেপের সামগ্রিক বৈচিত্রটি সময়ের সাথে সাথে বৃদ্ধি পায়। এটাই সঠিক?

— ইসবিস্টার

হ্যাঁ এটা ঠিক. @ Glen_b গণিত ব্যবহার করে তার উত্তরে যা লিখেছেন তা প্রশংসা করার এক উত্তম উপায়। আমি খুঁজে পেয়েছি এটি এলোমেলো পদক্ষেপের অনেক অ্যাপ্লিকেশনগুলির সাথে পরিচিত হতে সহায়তা করে: শাস্ত্রীয় ব্রাউনিয়ান মোশন অ্যাপ্লিকেশন ছাড়াও তারা প্রসারণ, বিকল্পগুলির মূল্য নির্ধারণ, পরিমাপের ত্রুটিগুলির জমা এবং আরও অনেক কিছুর বর্ণনা দেয়। এগুলির মধ্যে একটি গ্রহণ করুন, যেমন প্রসারণ। স্থির জলের পুলে এক ফোঁটা কালি পড়ার কল্পনা করুন। যদিও এর অবস্থান স্থির রয়েছে, সময়ের সাথে সাথে এটি ছড়িয়ে পড়ে: এভাবেই আমরা ক্রমবর্ধমান বৈকল্পিকতার সাথে একসাথে একটি ধ্রুবক শূন্য দেখতে পাই ।

— হোবার

@ হুবার আপনাকে অনেক ধন্যবাদ, আমি এখন এটি পুরোপুরি বুঝতে পেরেছি!

— ইসবিস্টার

Answer 1

সংক্ষেপে কারণ এটি আমাদের এখন যে অবস্থানটিতে পৌঁছানোর ক্ষেত্রে আমাদের পরিবর্তনশীলতার পরবর্তী বৃদ্ধিগুলির বৈচিত্র যোগ করে চলেছে।

$\text{Var}(Y_{t}) = \text{Var}(e_1+ e_2+ ... +e_t)$
$\qquad\quad\;\;= \text{Var}(e_1) + \text{Var}(e_2) +... +\text{Var}(e_t)$
$\qquad\quad\;\;= \sigma^2 + \sigma^2 + ... + \sigma^2=t\sigma^2\,,$

$t\sigma^2$$t$

---

গড় সময় প্রতি বিন্দুতে শূন্য; আপনি যদি সিরিজটি বহুবার সিমুলেটেড করেন এবং নির্দিষ্ট সময়ের জন্য সিরিজ জুড়ে গড়ে গড়ে থাকেন তবে এটি 0 এর কাছাকাছি কিছুতে গড় হবে

$\quad^{\text{Figure: 500 simulated random walks with sample mean in white and }}$
$\quad^{ \pm \text{ one standard deviation in red. Standard deviation increases with } \sqrt{t}\,.}$

Comments

হ্যাঁ, প্রতিটি ত্রুটি শব্দটি স্বতন্ত্র হ্যাঁ। এবং নিশ্চিত এটি কাগজে অর্থবোধ করে। তবে আমি "বৈচিত্র্য রৈখিকভাবে কীভাবে বাড়তে পারি" তবে গড়টি শূন্য থেকে যায় তার জন্য আমি খুব ভাল অনুভব করতে পারি না এটি প্রায় বিরূপ মত শোনাচ্ছে। কীভাবে একটি কম গাণিতিক ব্যাখ্যা যা আমার প্রশ্নের উত্তর দেয়?

— ইসবিস্টার

timpal0l - সময়ে প্রতিটি পয়েন্টে, আপনি অন্য শব্দটি যুক্ত করছেন যা অর্থটি কোনও পরিবর্তন করে না তবে "শব্দ" (যুক্তটির ভিন্নতা) যুক্ত করে। সুতরাং গড় একই থাকে তবে ভিন্নতা বৃদ্ধি পায় (বিতরণ পরবর্তী সময়ে আরও "প্রসারিত হয়")। এটি স্বজ্ঞাত ধারণা এবং একটি সাধারণ অর্থে গণিত কী দেখায় both

— গ্লেন_বি -রেইনস্টেট মনিকা

ডায়াগ্রামের জন্য ধন্যবাদ, এ । ওয়েব খুব সুন্দর.

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

Answer 2

$e_i$$e_i$

$$e_i = \left\{ \begin{array}{c} 1 \ \text{with} \ Pr = .5 \\ -1 \ \text{with} \ Pr = .5 \end{array} \right.$$

এটি কেবল রূপকল্পকে সহজতর করে তোলে, আমাদের কল্পনার উপর চাপ বাড়িয়ে তোলা ছাড়া স্যুইচ সম্পর্কে সত্যিকারের মৌলিক কিছুই নেই।

এখন, ধরুন আপনি কয়েন ফ্লিপারগুলির একটি সেনা সংগ্রহ করেছেন। তাদের নির্দেশাবলী হ'ল, আপনার আদেশ অনুসারে, তাদের মুদ্রাটি ফ্লিপ করুন এবং তাদের পূর্ববর্তী ফলাফলগুলির সংক্ষিপ্তসার সহ, তাদের ফলাফলগুলি কী ছিল তার একটি কার্যকরী টেল রাখুন। প্রতিটি স্বতন্ত্র ফ্লিপার এলোমেলো হাঁটার উদাহরণ

$$W = e_1 + e_2 + \cdots$$

এবং আপনার সমস্ত সেনাবাহিনীকে একত্রিত করার জন্য আপনাকে প্রত্যাশিত আচরণটি গ্রহণ করা উচিত।

flip 1$W$$1$$-1$$2$

flip 2$W$$HH$$TT$$W$$2$$-2$$4$

...

flip n$W$$HH \cdots H$$TT \cdots T$$n$$n$$2n$

সুতরাং আপনি এই চিন্তার পরীক্ষা থেকে যা দেখতে পাচ্ছেন তা এখানে:

• হাঁটার প্রতিটি প্রত্যাশা শূন্য, কারণ হাঁটার প্রতিটি পদক্ষেপ ভারসাম্যপূর্ণ।
• হাঁটার দৈর্ঘ্যের সাথে হাঁটার মোট পরিসর রৈখিকভাবে বৃদ্ধি পায়।

অন্তর্দৃষ্টি পুনরুদ্ধার করতে আমাদের মান বিচ্যুতি এবং স্বজ্ঞাত পরিমাপ, ব্যাপ্তিতে ব্যবহার করতে হবে।

Comments

স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি রৈখিকভাবে বৃদ্ধি পায় না, তাই চূড়ান্ত মন্তব্য প্রশ্নবিদ্ধ।

— জুহো কোক্কালা

হ্যাঁ, আমি সমাধানের জন্য কিছু বলার চেষ্টা করছি, কোনও পরামর্শ? আমি যা ভাবতে পারি তা হ'ল কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্যের আবেদন যা খুব স্বজ্ঞাত নয়।

— ম্যাথু ড্রুরি

@ জুহোকোকালা আমি আপনার সমালোচনার সাথে একমত, তাই আমি চূড়ান্ত মন্তব্যটি সরিয়ে দিলাম।

— ম্যাথু ড্রুরি

Answer 3

পূর্ববর্তীটির সাথে নতুন অবস্থানটি খুব সংযোগযুক্ত হওয়ায় এটি "খাঁটি" এলোমেলো নয় এর সাথে কি কিছু করার আছে?

এটি প্রদর্শিত হয় যে "খাঁটি" দ্বারা আপনি স্বাধীন বলতে চাইছেন । এলোমেলো হাঁটার সময় কেবলমাত্র পদক্ষেপগুলি একে অপরের থেকে এলোমেলো এবং স্বতন্ত্র। আপনি উল্লেখ করেছেন যে, "অবস্থানগুলি" এলোমেলো তবে পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত , অর্থাৎ স্বতন্ত্র নয় ।

$E[Y_t]=0$$Y_t$$Y_t$

$Y_t=Y_0+\sum_{i=0}^t\varepsilon_t$

$Y_t-Y_{t-1}=\mu+\varepsilon_t$$Y_t$$\mu t$

Answer 4

আসুন স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যা করার জন্য আলাদা উদাহরণ নিই: ডার্টবোর্ডে ডার্টগুলি নিক্ষেপ করা। আমাদের মধ্যে একজন খেলোয়াড় রয়েছে, তিনি বুলসির লক্ষ্যে লক্ষ্য রাখার চেষ্টা করেন, যা আমরা 0 নামে সমন্বয় হিসাবে গ্রহণ করি The খেলোয়াড়টি কয়েকবার ছুড়ে মারে, এবং প্রকৃতপক্ষে, তার নিক্ষেপের গড়টি 0 হয়, তবে সে সত্যই ভাল নয়, তাই বৈকল্পিক 20 সেমি।

আমরা খেলোয়াড়কে একটি নতুন ডার্ট নিক্ষেপ করতে বলি। আপনি কি এটি বুলসিয়ে মারার আশা করছেন?

না। যদিও গড়টি বুলসেই, আমরা যখন একটি নিক্ষেপের নমুনা দিই তখন এটি সম্ভবত বুলসিয়ে না হওয়ার সম্ভাবনা।

$t$

তবে, যদি আমরা প্রচুর নমুনা নিই, আমরা দেখতে পাবো এটি প্রায় 0 টি কেন্দ্র করে Just ঠিক যেমন আমাদের ডার্টস প্লেয়ার কখনও বুলসিয়ে (বড় বৈকল্পিক) আঘাত করে না, তবে যদি তিনি প্রচুর ডার্টগুলি নিক্ষেপ করেন তবে তিনি সেগুলি কেন্দ্র করে রাখবেন Just বুলসিয়ে (মানে) এর চারপাশে

যদি আমরা উদাহরণটি এলোমেলো হাঁটার দিকে প্রসারিত করি তবে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে সময়ের সাথে বিভিন্নতা বৃদ্ধি পায়, যদিও গড়টি 0 এ থাকে তবে এলোমেলো হাঁটার ক্ষেত্রে, এটি বিস্ময়কর বলে মনে হয় যে গড়টি 0 এ থাকে, যদিও আপনি স্বজ্ঞাতই জানেন এটি প্রায় কখনও ঠিক উত্স শেষ হয় না। যাইহোক, আমাদের ডার্টারের ক্ষেত্রেও এটি একই রকম হয়: আমরা দেখতে পাচ্ছি যে কোনও একক ডার্ট প্রায় কখনও বর্ধনশীল বৈসাদৃশ্য দিয়ে বুলসেয়কে আঘাত করতে পারে না এবং তবুও ডার্টগুলি বুলসেয়ের চারপাশে একটি দুর্দান্ত মেঘ তৈরি করবে - গড়টি একই থাকে: 0।

Comments

এটি প্রশ্নের প্রবণতা বর্ণনা করে না, যা ছড়িয়ে থাকা অস্থায়ী বৃদ্ধি নিয়ে উদ্বেগ প্রকাশ করে । এই বৃদ্ধি নমুনার সংখ্যা একটি ফাংশন নয়। এটা অন্তর্নিহিত।

— whuber

$t$

Answer 5

স্বজ্ঞাততা লাভের আরও একটি উপায় যা সময়ের সাথে রৈখিকভাবে বৃদ্ধি পায়।

$.1\%$$1.2\%$$X$$365X$

$.1\%$$\pm .05\%$$1.2\%$$\pm .6\%$

ঠিক আছে, আমরা যদি স্বজ্ঞাতভাবে পরিসীমা হিসাবে বৈকল্পিকতা চিন্তা করি, তবে এটি স্বজ্ঞাত অর্থে তৈরি করে যে সময়ের সাথে সাথে একই ফ্যাশনে পরিবর্তনের পরিমাণ বৃদ্ধি পায়, এটি রৈখিক is