কখন টেলর সিরিজের (সম্পূর্ণ) ফাংশনগুলির প্রত্যাশাগুলির প্রত্যাশা হয়?

কিছু অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং সম্পূর্ণ ফাংশন জন্য ফর্মটির একটি প্রত্যাশা নিন (অর্থাত্, রূপান্তরটির ব্যবধানটি পুরো আসল লাইন) $E(f(X))$ $X$ $f(\cdot)$

জন্য আমার একটি মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন রয়েছে এবং তাই সহজেই পূর্ণসংখ্যার মুহুর্তগুলি গণনা করতে পারে। আশেপাশে একটি টেলর সিরিজ ব্যবহার করুন এবং তারপরে প্রত্যাশাটিকে কেন্দ্রীয় মুহুর্তগুলির একটি সিরিজের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করুন, এই সিরিজটি , $X$ $\mu \equiv E(x)$

E (f (x)) = E (f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots)

$E(f(x)) = E\left(f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} +\ldots\right)$

= f (μ) + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$=f(\mu) + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

E_{N} (f (x)) = f (μ) + \sum_{n = 2}^{N} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$E_N(f(x)) = f(\mu) + \sum_{n=2}^{N} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

আমার প্রশ্নটি হ'ল: এলোমেলো পরিবর্তনশীল (এবং অতিরিক্ত কিছু $f(\cdot)$ ) এর সাথে আমি শর্ত যুক্ত করব (যেমন ) প্রত্যাশা রূপান্তরিত করে? $\lim\limits_{N\to\infty}E_N(f(x)) = E(f(x))$ )।

যেহেতু এটি আমার ক্ষেত্রে রূপান্তরিত হয় না (পিসন র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং $f(x) = x^{\alpha}$ ), এই শর্তগুলি ব্যর্থ হওয়ার সাথে পূর্ণসংখ্যার মুহুর্তগুলির সাথে আনুমানিক প্রত্যাশাগুলি খুঁজে পাওয়ার জন্য অন্য কোনও কৌশল আছে কি?

expected-value approximation

— jlperla
সূত্র

এখানে দেখুন: stats.stackexchange.com/questions/70490/…

— জোনাথন

@ জোনাথন আপনাকে ধন্যবাদ আমার সম্পাদনাগুলি এখন দেখুন যে এটি পরিষ্কার হয়ে গেছে। খুব সহায়ক, যদিও আমি এটি যথেষ্ট ক্র্যাক করতে পারি না। এ থেকে এটি প্রদর্শিত হয় যে এটির কাজ করার জন্য পর্যাপ্ত শর্তটি কি আমার এলোমেলো পরিবর্তনশীল দৃ strongly়ভাবে কেন্দ্রীভূত? যদিও এই নোটগুলির সাথে তুলনা করতে হফিংয়ের অসমতা ইত্যাদি কীভাবে ব্যবহার করতে হয় ঠিক ঠিক ক্র্যাক করতে আমার সমস্যা হচ্ছে having

— jlperla

"পিসন র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং " বলতে কী ? এটি কি একটি বা দুটি মামলা, এবং পিডিএফ কী?

f (x) = x^{α}

$f(x)=x^α$

— কার্ল

@Carl এটি কয়েক বছর আগে, কিন্তু আমি যদি মনে রাখবেন, পরিবর্তনশীল ছিল জন্য কিছু থেকে PDF সঙ্গে en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution । যে ফাংশন আমি উপর প্রত্যাশা গ্রহণ হয়। অর্থাত্

x \sim P o i s s o n (λ)

$x \sim Poisson(\lambda)$

λ

$\lambda$

f (x)

$f(x)$

E (f (x))

$E(f(x))$

— jlperla

আপনি কী জিজ্ঞাসা করছেন তা নিশ্চিত নন। কেমন হয় যে উচ্চতর মুহূর্ত এর উৎপত্তি সম্পর্কে পইসন বিতরণের মধ্যে Touchard polynomials হয় : যেখানে {ধনুর্বন্ধনী} দ্বিতীয় ধরণের স্ট্র্লিং সংখ্যা বোঝায়?

m_{k}

$m_k$

λ

$\lambda$

m_{k} = \sum_{i = 0}^{k} λ^{i} {\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}},

$m_k = \sum_{i=0}^k \lambda^i \left\{\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}\right\},$

— কার্ল

উত্তর:

আপনার ভাবনাটি হলো এই যে অনুযায়ী রিয়েল-বিশ্লেষণমূলক হয় Almost প্রায় নিশ্চিতভাবে (বাস্তবে অবশ্যই) রূপান্তর করে । $f$

y_{n} = f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots + f^{(n)} (μ) \frac{(x - μ)^{n}}{n!}

$y_n = f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} + \ldots + f^{(n)}(\mu)\frac{(x - \mu)^n}{n!}$

f (x)

$f(x)$

একটি আদর্শ অবস্থা যার অধীনে অভিসৃতি হিসাবে প্রত্যাশা অভিসৃতি বোঝা যায়, অর্থাত হয় যে মতো কিছু যেমন । (আধিপত্যশীল রূপান্তর উপপাদ্য।)

E [f (x)] = E [lim_{n \to \infty} y_{n}] = lim_{n \to \infty} E [y_{n}],

$E[f(x)] = E [ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n] = \lim_{n \rightarrow \infty} E [y_n],$

| y_{n} | \leq y

$|y_n| \leq y$

y

$y$

E [y] < \infty

$E[y] < \infty$

পাওয়ার সিরিজটি একেবারে হিসাবে রূপান্তরিত হলে এই শর্তটি ধরে রাখতে হবে, যেমন এবং

y = \sum_{n \geq 0} | f^{(n)} (μ) | \frac{| x - μ |^{n}}{n!} < \infty a . s .

$y = \sum_{n \geq 0} |f^{(n)}(\mu)| \, \frac{|x - \mu|^n}{n!} < \infty \;\; a.s.$

E [y] < \infty .

$E[y] < \infty.$

পোইসন র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং , আপনার উদাহরণটি বোঝায় যে পরম সীমা মানদণ্ডের উপরের সামঞ্জস্যতা সাধারণভাবে দুর্বলতম সম্ভব। $f(x)=x^{\alpha}$ $\alpha \notin\mathbb{Z}_+$

— মাইকেল
সূত্র

-1

যদি ফ (এক্স) ফাংশনটি পাওয়ার সিরিজ সম্প্রসারণে স্বীকার করে অর্থাৎ সমস্ত ডেরাইভেটিভ উপস্থিত থাকে তবে আনুমানিক রূপান্তর ঘটবে। এটি একটি নির্দিষ্ট প্রান্তিকের এবং তার থেকে উপরেের ডেরিভেটিভগুলি যদি শূন্যের সমান হয় তবে এটি সম্পূর্ণরূপে অর্জিত হবে। আপনি পপুলিস [২-৩] এবং স্টার্ক এবং উডস [৪] উল্লেখ করতে পারেন।

— ই মেহরবান
সূত্র

"নির্দিষ্ট থ্রেশহোল্ড এবং উপরের ডেরিভেটিভগুলি শূন্যের সমান হলে এটিও সম্পূর্ণরূপে অর্জন করা হবে।" ডেরিভেটিভস যদি বিদ্যমান থাকে এবং শূন্যের সমান হয়, তবে এটি বহুপদী বলার অন্য উপায় নয়?

— সংগৃহীত

এটি সত্য নয়। পাওয়ার সিরিজ সম্প্রসারণের বিন্দুতে যখন "সমস্ত ডেরাইভেটিভ উপস্থিত থাকে", পাওয়ার সিরিজটি কোথাও একত্রিত হওয়ার দরকার নেই । (স্ট্যান্ডার্ড উদাহরণটি হ'ল ম্যাক্লাউরিন সিরিজের ) আরেকটি হ'ল সিরিজটি যখন কোনও পর্যায়ে একত্রিত হয় তখনও এটি সর্বত্র একত্রিত হওয়ার প্রয়োজন হয় না। এর একটি সহজ উদাহরণ হ'ল ম্যাক্লাউরিন সিরিজএটি যখন ঘটে তখন কনভার্জেন্সটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের বিশদের উপর নির্ভর করে। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন যে কোনও স্টুডেন্ট টি বিতরণ আছে এবংশেষ পর্যন্ত, এমনকি উপস্থিত নেই!

e^{- 1 / x^{2}} .

$e^{-1/x^2}.$

1 / (1 - x) .

$1/(1-x).$

X

$X$

1 / (1 - X) = 1 + X + X^{2} + \dots + X^{n} + \dots .

$1/(1-X)=1+X+X^2+\cdots+X^n+\cdots.$

E (X^{n})

$E(X^n)$

— হোবার