একটি ব্রাউনিয়ান ব্রিজ ব্যবহার করে একটি ব্রাউনিয়ান ভ্রমণের অনুকরণ?

11

আমি একটি Brownian ট্যুরের প্রক্রিয়া (ক ব্রোমিন যে সবসময় ইতিবাচক হতে নিয়ন্ত্রিত হয় যখন ভান চাই থেকে এ )। যেহেতু একটি ব্রাউনিয়ান ভ্রমণের প্রক্রিয়াটি একটি ব্রাউনিয়ান সেতু যা সর্বদা ইতিবাচক হওয়ার শর্তযুক্ত, তাই আমি ব্রাউনিয়ান ব্রিজ ব্যবহার করে একটি ব্রাউনিয়ান ভ্রমণের গতি অনুকরণ করার আশা করছিলাম। $0 \lt t \lt 1$ $0$ $t=1$

আর-তে, আমি ব্রাউনিয়ান সেতু প্রক্রিয়া অনুকরণের জন্য 'ই 1017' প্যাকেজটি ব্যবহার করছি। ব্রাউনিয়ান ভ্রমণটি তৈরি করতে আমি কীভাবে এই ব্রাউনিয়ান ব্রিজ প্রক্রিয়াটি ব্যবহার করতে পারি?

r gaussian-process brownian

— RPz
সূত্র

4

ব্রাউনিয়ান ব্রিজের পরম মানের অনুকরণ করা কি যথেষ্ট নয়?

— অ্যালেক্স আর।

1

@AlexR। না [প্যাডিং]

— পি.বাইন্ড্রিজ

1

যাইহোক, এটি পুনরুদ্ধার করার মতো যে কোনও ব্রাউনিয়ান মোশনকে ইতিবাচক বলে চিহ্নিত করা হয়েছে এটি প্রায় সর্বাধিক চলমান বিএম প্রতিফলিত করে উপলব্ধি করা যায় যা পিটম্যানের কারণে ফলাফল a ইতিবাচক থাকার জন্য কন্ডিশনারযুক্ত কোনও BM উপলব্ধি করার আরেকটি উপায় হ'ল 3 ডি বিএম এর পরম মান ।

— পি। উইন্ড্রিজ

1

@AlexR। - আমি নীচে আমার উত্তরটি আপডেট করে দেখিয়েছি যে এমনকি সাধারণ এলোমেলো পদক্ষেপের জন্যও, ইতিবাচক কন্ডিশনার ফলাফলগুলি বিভিন্ন আচরণকে কেবল পরম মান গ্রহণে প্ররোচিত করে। Brownian সেতু জন্য বিশেষভাবে, intuitively, ছোট , আচরণকে মত হল (কারণ ) এবং বিএম সন্তুষ্ট iterated লগারিদম আইন (তাই " " ছোট যথেষ্ট জন্য অপ্রাসঙ্গিক । সুতরাং, মতো একটি ছোট জন্য বিএম প্রতিফলিত এই জন্য পুরোপুরি ভিন্ন আচরণ আছে। ইতিবাচক থাকা নিয়ন্ত্রিত ...

t

$t$

B B_{t}

$BB_t$

| W_{t}

$|W_t$

B B_{t} = W_{t} - t W_{1}

$BB_t = W_t - tW_1$

O_{p} (t)

$O_p(t)$

t

$t$

| B B_{t} |

$|BB_t|$

t

$t$

W_{t}

$W_t$

— P.Windridge

7

ব্রাউনিয়ান ভ্রমণটি ভার্ভাট দ্বারা নিম্নলিখিত নির্মাণ ব্যবহার করে একটি ব্রিজ থেকে তৈরি করা যেতে পারে: https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aop/1176995155

@ হুইবারের বিবি কোড ব্যবহার করে আর-তে একটি দ্রুত অনুমান

n <- 1001
times <- seq(0, 1, length.out=n)

set.seed(17)
dW <- rnorm(n)/sqrt(n)
W <- cumsum(dW)

# plot(times,W,type="l") # original BM

B <- W - times * W[n]   # The Brownian bridge from (0,0) to (1,target)

# plot(times,B,type="l")

# Vervaat construction
Bmin <- min(B)
tmin <- which(B == Bmin)
newtimes <- (times[tmin] + times) %% 1
J<-floor(newtimes * n)
BE <- B[J] - Bmin
plot(1:length(BE)/n,BE,type="l")

এখানে আরও একটি প্লট রয়েছে (সেট.সীড (21) থেকে)। একটি ভ্রমণ সঙ্গে একটি মূল পর্যবেক্ষণ হ'ল কন্ডিশনারটি আসলে 0 থেকে "বিদ্বেষ" হিসাবে প্রকাশ পায় এবং আপনি অভ্যন্তরে কোনও ভ্রমণ কাছাকাছি আসতে দেখবেন না । $0$ $(0,1)$

ব্রাউনিয়ান সেতুর , এবং ভ্রমণ, এর পরম মানের ধনাত্মক বলে শর্তযুক্ত , একই নয়. স্বজ্ঞাতভাবে, ভ্রমণটি উত্স থেকে দূরে সরিয়ে দেওয়া হয়েছে, কারণ ব্রাউনিয়ান পথগুলি উত্সের খুব কাছাকাছি আসা খুব শীঘ্রই নেতিবাচক হতে পারে এবং এইভাবে কন্ডিশনার দ্বারা দণ্ডিত হয়। $(|BB_t|)_{0 \le t \le 1}$ $(BB_t)_{0 \le t \le 1}$

এমনকি এটি একটি সাধারণ র্যান্ডম ওয়াক ব্রিজ এবং পদক্ষেপে ভ্রমণ সহ চিত্রিত করা যেতে পারে , এটি বিএমের একটি প্রাকৃতিক পৃথক অ্যানালগ (এবং পদক্ষেপগুলি বড় হয়ে যাওয়ার সাথে সাথে BM এ রূপান্তরিত হয় এবং আপনি পুনরুদ্ধার করেন)। $6$

প্রকৃতপক্ষে, একটি প্রতিসম SRW থেকে শুরু নেওয়া । প্রথমে আসুন "ব্রিজ" কন্ডিশনারটি বিবেচনা করুন এবং দেখুন যে আমরা কেবল পরম মান নিলে কী ঘটে। সব সহজ পাথ বিবেচনা দৈর্ঘ্যের যে শুরু করা এবং এ শেষ । এই জাতীয় পাথের সংখ্যা । এর মধ্যে যার জন্য । অন্য কথায়, সম্ভাব্যতার পরম মান আমাদের SRW "সেতু" (এ শেষ নিয়ন্ত্রিত এর পদে পদে মান 0 আছে) হয় । $0$ $s$ $6$ $0$ ${6 \choose 3} = 20$ $2\times {4 \choose 2} = 12$ $|s_2| = 0$ $0$ $2$ $12/20 = 0.6$

দ্বিতীয়ত, আমরা "ভ্রমণ" কন্ডিশনার বিবেচনা করব। অ নেতিবাচক সহজ পাথ সংখ্যা দৈর্ঘ্যের যে শেষ কাতালান সংখ্যা । ঠিক এই পথে । সুতরাং, আমাদের SRW "ট্যুরের" (এ থাকার ইতিবাচক ও শেষ নিয়ন্ত্রিত সম্ভাব্যতার ) পদে পদে মান 0 আছে হয় । $s$ $6 = 2*3$ $0$ $C_{m=3} = {2m\choose m}/(m+1) = 5$ $2$ $s_2 = 0$ $0$ $2$ $2/5 = 0.4 < 0.6$

যদি আপনি এখনও সন্দেহ করেন যে এই ঘটনাটি সেই সীমাতে অব্যাহত থাকে তবে আপনি এসআরডাব্লু ব্রিজ এবং দৈর্ঘ্যের ধাপ তে 0 টি হিট করার জন্য সম্ভাবনা বিবেচনা করতে পারেন । $4n$ $2n$

এসআরডাব্লু ভ্রমণের জন্য: আমাদের কাছে উইকিপিডিয়া https://en.wikedia.org/wiki থেকে অ্যাস্টিমটিক্স ব্যবহার করে / Catalan_number । অর্থাৎ এটি like 3 অবশেষে।

পি ({এস}_{2 এন} = 0 | {এস}_{ঞ} \geq 0, ঞ \leq 4 এন, {এস}_{4 এন} = 0) = {সি}_{এন}^{2} / {সি}_{2 এন} ~ (4^{2 এন} / π {এন}^{3}) / (4^{2 এন} / \sqrt{(2 এন)^{3} π})

$\mathbb{P}(S_{2n} = 0 | S_{j} \ge 0, j \le 4n, S_{4n} = 0) = C_n^2 / C_{2n} \sim (4^{2n}/\pi n^3)/(4^{2n} / \sqrt{(2n)^3 \pi})$

c n^{- 3 / 2}

$cn^{-3/2}$

অ্যাবসগুলির জন্য (এসআরডাব্লু ব্রিজ): উইকিপিডিয়া https://en.wikedia.org/wiki/Binomial_coefficient থেকে অ্যাসিপটিক্স ব্যবহার করে । ভালো হয় ।

পি (| {এস}_{2 এন} | = 0 | {এস}_{4 এন} = 0) = {(\binom{2 এন}{এন})}^{2} / (\binom{4 এন}{2 এন}) ~ (4^{এন} / \sqrt{π এন})^{2} / (4^{2 এন} / \sqrt{2 এন π})

$\mathbb{P}(|S_{2n}| = 0 | S_{4n} = 0) = {2n \choose n}^2 / {4n \choose 2n} \sim (4^n/\sqrt{\pi n})^2/(4^{2n} / \sqrt{2n\pi})$

c n^{- 1 / 2}

$cn^{-1/2}$

অন্য কথায়, এসআরডাব্লু ব্রিজটি মাঝখানে কাছাকাছি তে ইতিবাচক হওয়ার শর্ত দেখে অ্যাসিপটোটিক সম্ভাবনা সেতুর নিখুঁত মানটির চেয়ে অনেক ছোট। $0$

এখানে ব্রাউনিয়ান ব্রিজের পরিবর্তে 3 ডি বেসেল প্রক্রিয়া ভিত্তিক একটি বিকল্প নির্মাণ রয়েছে। আমি https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ejp/1457125524 এ বর্ণিত তথ্যগুলি ব্যবহার করি

ওভারভিউ- 1) একটি 3 ডি বেসেল প্রক্রিয়া অনুকরণ করুন। এটি ইতিবাচক হওয়ার মতো একটি বিএম শর্তযুক্ত। 2) বেসেল 3 ব্রিজ (কাগজটিতে সমীকরণ (2)) পেতে উপযুক্ত সময়-স্থান পুনরুদ্ধার প্রয়োগ করুন। 3) সত্যটি ব্যবহার করুন (কাগজে থিয়েরেম 1 এর ঠিক পরে উল্লিখিত) যে একটি বেসেল 3 ব্রিজের আসলে ব্রাউনিয়ান ভ্রমণের মতোই বিতরণ রয়েছে।

একটি সামান্য অসুবিধা হ'ল শেষে / স্থান স্কেলিংয়ে লাথি মারার জন্য আপনাকে তুলনামূলকভাবে সূক্ষ্ম গ্রিডে বেশ কিছু সময়ের জন্য (টি = 100 নীচে) বেসেল প্রক্রিয়া চালাতে হবে।

## Another construction of Brownian excursion via Bessel processes
set.seed(27092017)
## The Bessel process must run for a long time in order to construct a bridge
T <- 100
n <- 100001
d<-3 # dimension for Bessel process
dW <- matrix(ncol = n, nrow = d, data=rnorm(d*n)/sqrt(n/T))
dW[,1] <- 0
W <- apply(dW, 1, cumsum)
BessD <- apply(W,1,function(x) {sqrt(sum(x^2))})

times <- seq(0, T, length.out=n)
# plot(times,BessD, type="l") # Bessel D process


times01 <- times[times < 1]
rescaletimes <- pmin(times01/(1-times01),T)
# plot(times01,rescaletimes,type="l") # compare rescaled times

# create new time index
rescaletimeindex <- sapply(rescaletimes,function(x){max(which(times<=x))} )

BE <- (1 - times01) * BessD[rescaletimeindex]
plot(times01,BE, type="l")

এখানে ফলাফল:

— P.Windridge
সূত্র

5

প্রতিফলন নীতি দাবি

যদি কোনও উইনার প্রক্রিয়াটির পাথ at এ পৌঁছে যায় , তবে সময় এর পরের পাথের মান সম্পর্কে পরবর্তী পথের প্রতিফলনের সমান বন্টন থাকে $f(t)$ $f(s) = a$ $t = s$ $s$ $a$

উইকিপিডিয়া , 9/26/2017 অ্যাক্সেস করা হয়েছে।

তদনুসারে আমরা একটি ব্রাউনিয়ান সেতু অনুকরণ করতে পারি এবং এর নিখরচায় মানটি গ্রহণের মাধ্যমে এটি এর মান সম্পর্কে প্রতিফলিত করতে পারি । ব্রাউনিয়ান ব্রিজটি ব্রাউনিয়ান গতি নিজেই প্রারম্ভ পয়েন্ট থেকে শেষ বিয়োগ করে অনুকরণ করা হয় is (সাধারণত্ব কোন ক্ষতি ছাড়া আমরা ইউনিট যে সময় পরিমাপ করতে পারে সময়ে। সুতরাং, কেবল বিয়োগ থেকে ।) $a=0$ $(0,0)$ $(T,B(T))$ $B$ $T=1$ $t$ $B(T)t$ $B(t)$

একই পদ্ধতিটি ব্রাউনিয়ান গতি শর্তসাপেক্ষে কেবলমাত্র ( ব্রিজের জন্য মান ) নির্দিষ্ট সময়ে ফিরে আসার ক্ষেত্রে প্রদর্শন করতে প্রয়োগ করা যেতে পারে , তবে দুটি সীমাতে থাকাতেও (যা প্রারম্ভিক মানটি অবশ্যই অন্তর্ভুক্ত থাকে) এর সময়ে এবং নিদিষ্ট বিভক্তি মান)। $T\gt 0$ $0$ $0$ $0$

এই ব্রাউনিয়ান গতি শূন্যের মান দিয়ে শুরু এবং শেষ হয়: এটি ব্রাউনিয়ান ব্রিজ।

লাল গ্রাফটি পূর্ববর্তী ব্রাউনিয়ান ব্রিজ থেকে উদ্ভূত একটি ব্রাউনিয়ান ভ্রমণ: এর সমস্ত মান ননজেক্টিভ। নীল গ্রাফটি প্রতিবারই বিন্দুযুক্ত রেখাগুলির মুখোমুখি হওয়ার সাথে সাথে ব্রাউনিয়ান ব্রিজকে প্রতিবিম্বিত করে একইভাবে বিকাশ করা হয়েছে। ধূসর গ্রাফটি মূল ব্রাউনিয়ান ব্রিজটি প্রদর্শন করে।

গণনাগুলি সহজ এবং দ্রুত: সময়ের ব্যবধানকে ছোট ব্যবধানে বিভক্ত করুন, প্রতিটি ব্যবধানের জন্য স্বতন্ত্রভাবে স্বতন্ত্রভাবে বিতরণ করা সাধারণ বর্ধন উত্পন্ন করুন, সেগুলি সংগ্রহ করুন, প্রবণতাটি বিয়োগ করুন এবং প্রয়োজনীয় কোনও প্রতিচ্ছবি সম্পাদন করুন।

এখানে Rকোড। এটিতে, Wমূল ব্রাউনিয়ান গতিটি Bব্রাউনিয়ান সেতু এবং B2এটি দুটি নির্দিষ্ট মান ymin(অ-ধনাত্মক) এবং ymax(অ-নেতিবাচক) মধ্যে সীমাবদ্ধ । মডুলাস %%অপারেটর এবং কম্পোনেন্টওয়াইজ ন্যূনতম ব্যবহার করে প্রতিফলন সম্পাদনের জন্য এর কৌশলটি pminব্যবহারিক আগ্রহী হতে পারে।

#
# Brownian bridge in n steps from t=0 to t=1.
#
n <- 1001
times <- seq(0, 1, length.out=n)
target <- 0                        # Constraint at time=1
set.seed(17)
dW <- rnorm(n)
W <- cumsum(dW)
B <- W + times * (target - W[n])   # The Brownian bridge from (0,0) to (1,target)
#
# The constrained excursion.
#
ymax <- max(abs(B))/5              # A nice limit for illustration
ymin <- -ymax * 2                  # Another nice limit
yrange2 <- 2*(ymax - ymin)
B2 <- (B - ymin) %% yrange2
B2 <- pmin(B2, yrange2-B2) + ymin

— whuber
সূত্র

দয়া করে আপনি আপনার "ব্রাউনিয়ান ভ্রমণ" (লাল চক্রান্ত) এর জন্য কোডটি ভাগ করে নিতে পারেন। চোখে দেখে মনে হচ্ছে এটি এক ধরণের প্রতিবিম্বিত ব্রাউনিয়ান গতিতে এ শেষ হতে বাধ্য । আমি মনে করি এটি একটি ভ্রমণের থেকে পৃথক বিতরণ করেছে, যা উত্স থেকে বিদ্বেষ অনুভব করে, অর্থাৎ আপনার উপলব্ধি (লাল রঙে) বরং একেবারে কল্পিত বলে মনে হয়।

0

$0$

— পি.বাইন্ড্রিজে

@ পি। উইন্ড্রিজ দুঃখিত! আমি ভুলে গেছি: ভ্রমণ হল abs(B)। মনে রাখবেন, এটি দুটি সীমাবদ্ধতায় শর্তাধীন ব্রাউনিয়ান গতিশীল হওয়ার উদ্দেশ্যে করা হয়েছে: এটি targetসময় সমান এবং সর্বত্র অ-নেতিবাচক।

1

$1$

— হোবার

1

আমি ভুলে যাইনি :) আমি বলছি যে আমি বিশ্বাস করি শর্তযুক্ত আলাদা আলাদা বিতরণ রয়েছে ইতিবাচক

(a b s (B B_{t}))_{0 \leq t \leq 1}

$(abs(BB_t))_{0 \le t \le 1}$

(B B_{t})_{0 \leq t \leq 1}

$(BB_t)_{0 \le t \le 1}$

— হোন

4

বিতরণগুলি পৃথক, তাই আমি ক্ষমা প্রার্থনা করি।

— পি। উইন্ড্রিজ ২

2

আপনি একটি প্রত্যাখ্যান পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন: ব্রাউনিয়ান সেতুগুলি অনুকরণ করুন এবং ইতিবাচকগুলি রাখুন। এটা কাজ করে।

কিন্তু। এটি অনেক ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে। এবং আপনি যে বৃহত্তর "ফ্রিকোয়েন্সি" সেট করেছেন, ট্র্যাজেক্টরিগুলি খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা তত কম।

succeeded <- FALSE
while(!succeeded)
{
  bridge <- rbridge(end = 1, frequency = 500)
  succeeded=all(bridge>=0)
}
plot(bridge)

নেতিবাচক ট্র্যাজেক্টরিও পাশাপাশি রেখে আপনি এটির গতি বাড়িয়ে নিতে পারেন।

while(!succeeded)
{
  bridge <- rbridge(end = 1, frequency = 500)
  succeeded=all(bridge>=0)||all(bridge<=0)
}
bridge = abs(bridge)
plot(bridge)

— RUser4512
সূত্র

2

এই পদ্ধতির সমস্যাটি হ'ল আপনি যদি ছোট স্টেপসাইজ দিয়ে সিমুলেট করেন তবে কোনও ব্রাউন ব্রিজের নেতিবাচক হওয়ার সম্ভাবনাটি একসময় নিকটবর্তী চলে যায় ।

t = 0

$t=0$

— অ্যালেক্স আর।

প্রকৃতপক্ষে, একটি ছোট অস্বীকৃতি ছিল;) "এবং আপনি যে বৃহত্তর" ফ্রিকোয়েন্সি "সেট করেছেন, ট্র্যাজেক্টরিগুলি সন্ধান করার সম্ভাবনা তত কম" "... আমি আমার উত্তর নিয়ে মাত্র অর্ধ সন্তুষ্ট, তবে এটিই কেবল আমি ভাবতে পারি ব্রাউনিয়ান ব্রিজের সাথে যদি আমার শুরু করতে হয় তবে। আরও উত্তরের জন্য অপেক্ষা (এবং অপেক্ষা)!

— RUser4512