অরথোগোনাল, পারস্পরিক সম্পর্ক এবং স্বাধীনতার মধ্যে সম্পর্ক কী?

আমি একটি নিবন্ধ পড়েছি বলেছি যে পরিকল্পিত বৈসাদৃশ্যগুলি ব্যবহার করার সময় এটি বোঝার জন্য যে একরকমভাবে আনোভা আলাদা, কনস্ট্রাস্টগুলি অরথোগোনাল হওয়া উচিত যাতে সেগুলি অনিয়ন্ত্রিত হয় এবং প্রথম ধরণের ত্রুটিটিকে স্ফীত হওয়া থেকে রোধ করে।

আমি বুঝতে পারি না যে অर्थোগোনালটির অর্থ কোনও পরিস্থিতিতে অসামঞ্জস্যযুক্ত। আমি এর চাক্ষুষ / স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যা খুঁজে পাচ্ছি না, তাই আমি এই নিবন্ধগুলি / উত্তরগুলি বোঝার চেষ্টা করেছি

https://www.psych.umn.edu/faculty/waller/classes/FA2010/Readings/rodgers.pdf

অর্থসংক্রান্ত পরিসংখ্যানের প্রেক্ষাপটে অর্থ কী?

তবে আমার কাছে তারা একে অপরের বিরোধিতা করে। প্রথমটি বলে যে দুটি ভেরিয়েবল যদি অসম্পর্কিত এবং / অথবা অরথোগোনাল হয় তবে তারা লৈখিকভাবে স্বতন্ত্র, তবে তারা লৈখিকভাবে স্বতন্ত্র যে সত্য তা বোঝা যায় না যে তারা অসংলগ্ন এবং / অথবা অরথোগোনাল।

এখন দ্বিতীয় লিঙ্কে উত্তর রয়েছে যে "অরথোগোনাল মানে নিরবিচ্ছিন্ন" এবং "যদি এক্স এবং ওয়াই স্বতন্ত্র হয় তবে তারা অরথোগোনাল But তবে কনভার্সটি সত্য নয়" state

দ্বিতীয় লিঙ্কের আরও একটি আকর্ষণীয় মন্তব্য উল্লেখ করেছে যে দুটি ভেরিয়েবলের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ এই ভেরিয়েবলগুলির সাথে মিলিত দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণটির সমান, যা বোঝায় যে দুটি অরথোগোনাল ভেক্টর সম্পূর্ণরূপে অসংরক্ষিত (যা প্রথম নিবন্ধটি নয় দাবি)।

তাহলে স্বাধীনতা, অরথোগোনাল এবং পারস্পরিক সম্পর্কের মধ্যে সত্যিকারের সম্পর্ক কী? হয়তো আমি কিছু মিস করেছি তবে এটি কী তা আমি খুঁজে পাচ্ছি না।

correlation independence

— কার্ল লেভাসিউর
সূত্র

এই প্রশ্নের ডানদিকে "লিঙ্কযুক্ত" এবং "সম্পর্কিত" হিসাবে দেখানো প্রশ্নের উত্তরগুলির কোনওটি কি আপনাকে সন্তুষ্ট করে না?

— দিলীপ সরওয়াতে

আমার দেওয়া দুটি লিঙ্কগুলি দৃ answers় উত্তর সরবরাহ করেছে বলে মনে হচ্ছে তবে ভিন্ন ভিন্ন বিষয় রয়েছে এবং আমি যখন সম্পর্কিত প্রশ্নগুলি দেখছি তখন দেখতে পাচ্ছি যে উত্তর দেওয়া লোকেরা একে অপরের সাথে একমত হতে অনেক দূরে রয়েছে

— কার্ল লেভাসিউর

বিভ্রান্তি / অনুভূত দ্বন্দ্ব সম্পূর্ণরূপে রৈখিক স্বাধীনতা এবং পরিসংখ্যানগত স্বাধীনতার মধ্যে পার্থক্যের কারণে হতে পারে।

— জোনা

আমি মনে করি (এএনওওএ) সীমিতাগুলি অরথোগোনাল হওয়া উচিত এই প্রশ্নের একটি গুরুত্বপূর্ণ দিক: এটি কেবল এলোমেলো পরিবর্তনশীল নয় about জিয়ান সম্ভাব্য নকল হিসাবে যে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত প্রশ্নের তুলনায় "স্বাধীনতার" উপর একটি অতিরিক্ত জোর দেওয়া হয়েছে (সেই প্রশ্নে ওপি জানিয়েছে যে তারা "স্বাধীনতা" বুঝতে পেরেছিল যেহেতু উত্তরগুলি মঞ্জুর করার জন্য নেওয়া হয়েছিল)। সুতরাং আমি প্রস্তাব দিচ্ছি যে এটি একটি সদৃশ নয়, এবং দ্বিতীয় জোনা যে বিভ্রান্তিটি "স্বাধীনতা" এর একাধিক অর্থের সাথে আবদ্ধ হতে পারে।

— সিলভারফিশ

আমিও বিশ্বাস করি এটি কোনও সদৃশ নয়। এই প্রশ্নটি পারস্পরিক সম্পর্ককে নির্দেশ করে না, এবং উত্তরটি অরথোগোনালটি এবং অসাম্প্রদায়িকতার মধ্যে সম্ভাব্য পার্থক্যের বিবরণ দেয় না। তদ্ব্যতীত, পোস্টারটি ইঙ্গিত করায়, সম্পর্কিত সম্পর্কিত বিভিন্ন প্রশ্নের উত্তর দেওয়া যায় না।

— এ। ডোন্ডা

উত্তর:

স্বাধীনতা একটি পরিসংখ্যানগত ধারণা। দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং স্ট্যাটিস্টিক্যালি স্বতন্ত্র হয় যদি তাদের যৌথ বন্টন প্রান্তিক বিতরণের পণ্য হয়, যেমন প্রতিটি ভেরিয়েবলের ঘনত্ব , বা আরও সাধারণভাবে যেখানে প্রতিটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্রমবর্ধমান ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনকে বোঝায়। $X$ $Y$

চ (এক্স, Y) = চ (এক্স) চ (Y)

$f(x, y) = f(x) f(y)$

f

$f$

এফ (এক্স, Y) = এফ (এক্স) এফ (Y)

$F(x, y) = F(x) F(y)$

F

$F$

সম্পর্ক সম্পর্কিত একটি দুর্বল তবে সম্পর্কিত পরিসংখ্যানগত ধারণা। (পিয়ারসন) দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের পারস্পরিক সম্পর্ক ভেরিয়েবলগুলির উত্পাদনের প্রত্যাশা ভেরিয়েবলগুলি যদি The তবে তারা সম্পর্কযুক্ত নয় । এটি দেখানো যেতে পারে যে দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবল যা স্বতন্ত্র হয় অগত্যা সংক্ষিপ্ত, তবে বিপরীত নয়।

ρ = ই [\frac{এক্স - ই [এক্স]}{\sqrt{ই [(এক্স - ই [এক্স])^{2}]}} \frac{ওয়াই - ই [ওয়াই]}{\sqrt{ই [(ওয়াই - ই [ওয়াই])^{2}]}}] ।

$\newcommand{\E}{\mathbf E} \rho = \E \left [ \frac{X - \E[X]}{\sqrt{\E[(X - \E[X])^2]}} \frac{Y - \E[Y]}{\sqrt{\E[(Y - \E[Y])^2]}} \right ].$

ρ = 0

$\rho = 0$

অরথোগোনালিটি এমন ধারণা যা জ্যামিতিতে উদ্ভূত হয়েছিল এবং লিনিয়ার বীজগণিত এবং গণিত সম্পর্কিত ক্ষেত্রগুলিতে সাধারণীকরণ করা হয়েছিল। রৈখিক বীজগণিত, দুই ভেক্টর orthogonality এবং সংজ্ঞায়িত করা হয় অভ্যন্তরীণ পণ্য স্পেস , অর্থাত্ ভেক্টর স্পেস ইনার পণ্যের সাথে শর্তে যে হিসাবে ভেতরের পণ্য বিভিন্ন উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা যায় (ফলস্বরূপ বিভিন্ন অভ্যন্তরীণ পণ্য স্থান)। যদি ভেক্টরগুলি সংখ্যার অনুক্রমের আকারে দেওয়া হয়, , তবে একটি সাধারণ পছন্দ বিন্দু পণ্য , $u$ $v$ $\langle u, v \rangle$

⟨ তোমার দর্শন লগ করা, বনাম ⟩ = 0।

$\langle u, v \rangle = 0.$

u = (u_{1}, u_{2}, \dots u_{n})

$u = (u_1, u_2, \ldots u_n)$

⟨ u, v ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i}

$\langle u, v \rangle = \sum_{i = 1}^n u_i v_i$ ।

অরথোগোনালিটি সেহেতু কোনও পরিসংখ্যানগত ধারণা নয়, এবং আপনি যে বিভ্রান্তি লক্ষ্য করেন তা সম্ভবত পরিসংখ্যানগুলিতে রৈখিক বীজগণিত ধারণার বিভিন্ন অনুবাদগুলির কারণে ঘটে:

ক) আনুষ্ঠানিকভাবে, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি স্থানকে ভেক্টর স্পেস হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। তারপরে সেই স্থানটিতে একটি অভ্যন্তরীণ পণ্যটি বিভিন্ন উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব হয়। একটি সাধারণ পছন্দ এটি সমবায় হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা: যেহেতু দুইটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের পারস্পরিক সম্পর্কটি শূন্য হয় ঠিক যদি সমবায় শূন্য হয়, এই সংজ্ঞা অনুসারে অদ্বিতীয়তা অরথোগোনালটির সমান। (আরেকটি সম্ভাব্যতা এলোমেলো ভেরিয়েবলের অভ্যন্তরীণ পণ্যটিকে কেবল পণ্যের প্রত্যাশা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় ।)

⟨ এক্স, ওয়াই ⟩ = গ ণ বনাম (এক্স, ওয়াই) = ই [(এক্স - ই [এক্স]) (ওয়াই - ই [ওয়াই])] ।

$\langle X, Y \rangle = \mathrm{cov} (X, Y) = \E [ (X - \E[X]) (Y - \E[Y]) ].$

খ) পরিসংখ্যানগুলিতে আমরা যে সমস্ত ভেরিয়েবলগুলি বিবেচনা করি তা এলোমেলো পরিবর্তনশীল নয়। বিশেষত লিনিয়ার রিগ্রেশন-এ, আমাদের স্বাধীন ভেরিয়েবল রয়েছে যা এলোমেলো হিসাবে বিবেচিত হয় না তবে পূর্বনির্ধারিত হয়। স্বতন্ত্র পরিবর্তনশীলগুলি সাধারণত সংখ্যার ক্রম হিসাবে দেওয়া হয়, যার জন্য অর্টোগোনালটি প্রাকৃতিকভাবে বিন্দু পণ্য দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় (উপরে দেখুন)। এরপরে আমরা রিগ্রেশন মডেলগুলির পরিসংখ্যানগত পরিণতিগুলি অনুসন্ধান করতে পারি যেখানে স্বাধীন পরিবর্তনশীলগুলি orthogonal নয়। এই প্রসঙ্গে, orthogonality একটি নির্দিষ্ট পরিসংখ্যান সংজ্ঞা নেই, এবং আরও অনেক কিছু: এটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়।

সিলভারফিশের মন্তব্যে প্রতিক্রিয়া ব্যক্ত করা: অরথোগোনালটি কেবল মূল রেজিস্ট্রারদের ক্ষেত্রেই নয় তবে বৈপরীত্যের ক্ষেত্রেও প্রাসঙ্গিক, কারণ (সেটগুলি) সাধারণ বিপরীতে (কনট্রাস্ট ভেক্টর দ্বারা নির্দিষ্ট) ডিজাইন ম্যাট্রিক্সের রূপান্তর হিসাবে দেখা যেতে পারে, অর্থাৎ সেট স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলগুলির একটি নতুন সেটকে স্বাধীন ভেরিয়েবলের set বিপরীতে জন্য orthogonality ডট পণ্য মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়। যদি মূল রেজিস্ট্রারগুলি পারস্পরিক orthogonal হয় এবং একটি orthogonal বৈপরীত্য প্রয়োগ করে তবে নতুন রেজিস্ট্রারগুলিও পারস্পরিক orthogonal হয়। এটি নিশ্চিত করে যে বৈপরীত্যগুলির সেটটি বৈচিত্রের পচনের বিবরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে, যেমন প্রধান প্রভাব এবং মিথস্ক্রিয়াতে, এনওওএ-র অন্তর্নিহিত ধারণাটি ।

যেহেতু বৈকল্পিক ক) অনুসারে, অসামঞ্জস্যতা এবং অরগানীয়তা একই জিনিসটির জন্য কেবল ভিন্ন ভিন্ন নাম, আমার মতে এই অর্থে শব্দটি ব্যবহার করা এড়ানো ভাল best যদি আমরা এলোমেলো ভেরিয়েবলের অসামঞ্জস্যতার বিষয়ে কথা বলতে চাই, তবে আমরা কেবল তাই বলি এবং ভিন্ন পটভূমির সাথে এবং ভিন্ন শব্দগুলির সাথে অন্য একটি শব্দ ব্যবহার করে বিষয়গুলিকে জটিল না করি। এটি ভেরিয়েন্ট বি অনুসারে ব্যবহার করার জন্য অर्थোগোনালিটি শব্দটিও মুক্তি দেয়) বিশেষত একাধিক প্রতিরোধের আলোচনায় এটি অত্যন্ত কার্যকর is এবং অন্য উপায়ে, আমাদের স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলগুলির সাথে সম্পর্কিত শব্দটি প্রয়োগ করা উচিত, যেহেতু এগুলি এলোমেলো ভেরিয়েবল নয়।

রজারস এট আল এর উপস্থাপনাটি মূলত এই দৃষ্টিভঙ্গির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, বিশেষত তারা অরগোষ্ঠীকরণকে অসাম্প্রদায়িকতা থেকে পৃথক হতে বোঝে। যাইহোক, তারা নন-এলোমেলো ভেরিয়েবল (সংখ্যার ক্রম) এর সাথে সম্পর্কিত শব্দটি প্রয়োগ করে। এটি কেবলমাত্র থেকে সম্মান সঙ্গে পরিসংখ্যানগত ইন্দ্রিয় তোলে নমুনা পারস্পরিক সম্পর্কের সহগের । আমি এখনও শব্দটির এই ব্যবহারটি এড়াতে পরামর্শ দেব, যদি না সংখ্যা সিকোয়েন্সটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের উপলব্ধির অনুক্রম হিসাবে বিবেচনা না করা হয়। $r$

আমি উপরের পাঠ্য জুড়ে দুটি সম্পর্কিত প্রশ্নের উত্তরের লিঙ্কগুলি ছড়িয়ে দিয়েছি, যা আপনাকে এই উত্তরটির প্রসঙ্গে রাখতে সহায়তা করবে should

— উঃ ডোনডা
সূত্র

+1 আপনি এখানে যে পার্থক্যগুলি করেছেন তা খুব স্পষ্ট এবং সহায়ক - পুরো পোস্টটি পড়ে আমার খুব ভাল লেগেছে।

— whuber

+1 আমি পছন্দ করেছি আপনি কীভাবে অন্য উত্তরগুলি একসাথে বুনতেন যা অন্যথায় বিরোধী বলে মনে হতে পারে। সম্ভবত অংশে (খ) পরীক্ষামূলক নকশা বা আনোভা সম্পর্কে বিশেষভাবে কিছু উল্লেখ করা ভাল হবে (যেহেতু এটি ওপির প্রশ্নে উল্লেখ করা হয়েছিল) - এটি তাত্ক্ষণিকভাবে স্পষ্ট নয়, আপনার উত্তরের প্রসঙ্গে, কেন "অরথোগোনালিটি" একটি আকর্ষণীয় হতে পারে বা প্রকৃতপক্ষে একটি স্বাধীন ভেরিয়েবলের পছন্দসই সম্পত্তি।

— সিলভারফিশ

@ সিলভারফিশ, আপনি ঠিক বলেছেন, আমি এটি যুক্ত করার চেষ্টা করব।

— এ। ডোন্ডা

আমি whuber এর প্রশংসামূলক মন্তব্য থেকে পৃথক অনুরোধ। স্বাধীনতার সংজ্ঞা ভয়ঙ্কর: এটি যে র্যান্ডম ভেরিয়েবল পরোক্ষভাবে বলে মনে হয় এবং আছে একই ক্রমসঞ্চিত সম্ভাব্যতা বিতরণের ফাংশনটি (সিডিএফ বা সিডিএফ) যা এখানে দ্বারা প্রকাশ করা হয় । এবং কোন, এবং বোঝাতে না বিভিন্ন এর CDFs এবং । একটি আসল ভেরিয়েবলের একটি আসল-মূল্যবান ফাংশন এবং এবং এই ফাংশনের মানগুলি এবং সংখ্যায় বোঝায়

X

$X$

Y

$Y$

F (\cdot)

$F(\cdot)$

F (x)

$F(x)$

F (y)

$F(y)$

X

$X$

Y

$Y$

F (\cdot)

$F(\cdot)$

F (x)

$F(x)$

F (y)

$F(y)$

x

$x$

y

$y$ । সঠিক

{এফ}_{এক্স, ওয়াই} (এক্স, Y) = {এফ}_{এক্স} (এক্স) {এফ}_{ওয়াই} (Y) সবার জন্য এক্স এবং Y, - \infty < এক্স, Y < \infty ।

$F_{X,Y}(x,y) = F_X(x)F_Y(y)~\text{for all}~ x~\text{and}~y, -\infty < x,y < \infty.$

— দিলীপ সরোতে

@ দিলিপ সরওয়াতে, পুহ-ইজারা ...

— এ। ডন্ডা

এখানে আমার স্বজ্ঞাত দৃষ্টিভঙ্গি: x এবং y অসামঞ্জস্যযুক্ত / অরথোগোনাল উভয় পদ্ধতিই বলা যায় যে x বা y এর মান সম্পর্কে জ্ঞান অপরের ভবিষ্যদ্বাণীকে সক্ষম করে না - এক্স এবং y একে অপরের থেকে স্বাধীন - ধরে নেওয়া যে কোনও সম্পর্ক রৈখিক

পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ একটি ইঙ্গিত দেয় যে এক্স (বা y) এর জ্ঞান আমাদের y (বা x) সম্পর্কে পূর্বাভাস দিতে সক্ষম করে। লিনিয়ার সম্পর্ক ধরে নেওয়া।

একটি বিমানে, এক্স অক্ষ বরাবর একটি ভেক্টরটি Y অক্ষের সাথে এর উপাদানগুলি পরিবর্তন না করেই মাত্রায় পরিবর্তিত হতে পারে - এক্স এবং ওয়াই অক্ষটি অরথোগোনাল এবং এক্স বরাবর ভেক্টরটি ওয়াই বরাবর যে কোনওটির সাথে অर्थোগোনাল হয় a এক্স বরাবর নয়, এক্স এবং ওয়াই উভয় উপাদানকে পৃথক করতে পারে। ভেক্টরটি এখন ওয়াইয়ের কাছে অর্থেগোনাল নয়।

যদি দুটি ভেরিয়েবল অসংরক্ষিত হয় তবে সেগুলি অরথোগোনাল এবং যদি দুটি ভেরিয়েবলগুলি অর্থোগোনাল হয় তবে তারা অসংরক্ষিত। সমাসীনতা এবং অরথোগোনালিটি কেবল আলাদা, যদিও সমতুল্য - বীজগণিত এবং জ্যামিতিক - লিনিয়ার স্বাধীনতার ধারণা প্রকাশ করার উপায়। সাদৃশ্য হিসাবে, প্লোটিং (জ্যামিতিক) এবং নির্ধারক (বীজগণিত) দ্বারা দুটি ভেরিয়েবলের মধ্যে রৈখিক সমীকরণগুলির একটি জোড়াের সমাধান বিবেচনা করুন।

লিনিয়ারিটি অনুমানের প্রতি শ্রদ্ধা সহ - x সময় দেওয়া যাক, যাক, একটি দুর্দান্ত ক্রিয়া হোক। এক সময়কালে, এক্স এবং y উভয়ই গণ্যকরণের জন্য সাধারণ উপায়গুলি ব্যবহার করে অরথোগোনাল এবং অসংরক্ষিত। তবে x এর জ্ঞান আমাদের y কে সঠিকভাবে অনুমান করতে সক্ষম করে। লিনিয়ারিটি পারস্পরিক সম্পর্ক এবং অরথোগোনালটির একটি গুরুত্বপূর্ণ দিক।

যদিও প্রশ্নের অংশ না হলেও আমি উল্লেখ করেছি যে পারস্পরিক সম্পর্ক এবং অ-অরথোগোনালিটি কার্যকারণের সমতুল্য নয়। x এবং y পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত হতে পারে কারণ এগুলির উভয়েরই কিছু তৃতীয় ভেরিয়েবলের উপর নির্ভরশীলতা রয়েছে hidden গ্রীষ্মে আইসক্রিমের ব্যবহার বেড়ে যায়, গ্রীষ্মে লোকেরা প্রায়শই সৈকতে যান। দুটি পরস্পর সম্পর্কযুক্ত, কিন্তু অন্যটি "কারণ" দেয় না। এই বিষয়ে আরও তথ্যের জন্য https://en.wikedia.org/wiki/Crerelation_does_not_imply_causation দেখুন ।

— জেমস আর ম্যাটি
সূত্র

অসংগঠন এবং অরথোগোনালিটি আলাদা জিনিস। আপনি এটি এখানে পরীক্ষা করতে পারেন - terpconnect.umd.edu/~bmomen/BIOM621/LineardepCorrOrthogonal.pdf

— ইউরি

এখানে সম্পর্কটি রয়েছে: যদি এক্স এবং ওয়াইটি সম্পর্কযুক্ত না হয় তবে এক্সই [এক্স] হ্যাঁ [ওয়াই] এর কাছে অর্থেগোনাল।

স্বতন্ত্রের বিপরীতে অসামঞ্জস্যযুক্ত একটি শক্তিশালী ধারণা, অর্থাত্ স্বাধীন স্বাচ্ছন্নতাকে নেতৃত্ব দেবে, (অ-) অর্থোগোনাল এবং (আন) সম্পর্কযুক্ত একই সময়ে ঘটতে পারে।

আমি এই সেমিস্টারের সম্ভাবনার টিএ হচ্ছি, তাই আমি স্বাধীনতা, সংযুক্তি, অর্থোগোনালিটি সম্পর্কে একটি সংক্ষিপ্ত ভিডিও তৈরি করি।

https://youtu.be/s5lCl3aQ_A4

আশা করি এটা সাহায্য করবে.

— লিনান হুয়াং
সূত্র

এটি প্রশ্নের উত্তর দেয় না।

— মাইকেল আর চেরনিক

আমি উত্তরটি সংশোধন করছি, আশা করি এটি সাহায্য করবে Michael @ মাইকেল চেরনিক

— লিনান হুয়াং

@ লিলানহুয়াং লারেক্সের লোকেরা?

— YHH