বন্দী প্যারাডক্স

Question

আমাকে একটি অনুশীলন দেওয়া হয়েছে, এবং আমি এটি বেশিরভাগই বুঝতে পারি না।

প্রিজনার প্যারাডক্স

একাকী কারাগারে বন্দী থাকা তিনজন বন্দী, এ, বি এবং সি একই দিনে মৃত্যুদণ্ডে দন্ডিত হয়েছে তবে জাতীয় ছুটি থাকায়, রাজ্যপাল সিদ্ধান্ত নেন যে একজনকে ক্ষমা করা হবে। বন্দিদের এ সম্পর্কে অবহিত করা হলেও তাদের জানানো হয়েছে যে মৃত্যুদণ্ড কার্যকর হওয়ার দিন নির্ধারিত দিন অবধি তাদের মধ্যে কোনটিকে বাঁচানো হবে তা তারা জানতে পারবেন না।

কয়েদী এ জেলকে বলেছেন, "আমি ইতিমধ্যে জানি যে অন্য দু'জন বন্দীকে কমপক্ষে একজনকে মৃত্যুদন্ড কার্যকর করা হবে, সুতরাং আপনি যদি মৃত্যুদণ্ডিত হবেন এমন একজনের নাম যদি আমাকে বলেন, তবে আপনি আমার নিজের ফাঁসি সম্পর্কে কোনও তথ্য দেননি" ।

জেল এটি গ্রহণ করে এবং তাকে বলে যে সি অবশ্যই মারা যাবে।

তারপরে কারণগুলি "আমি জানতাম আগে সি কার্যকর করা উচিত ছিল আমার ক্ষমা লাভের 3 টির মধ্যে 1 ছিল। এখন আমি জানি যে বি বা আমার উভয়কে ক্ষমা করা হবে বৈষম্যগুলি 2 এ 1-এ উন্নত হয়েছে ”"

তবে কারাগারের বক্তব্য তুলে ধরে "আপনি যদি এইরকম একটি সিদ্ধান্তে পৌঁছতে পারতেন যদি আমি বলতাম যে বি মারা যাবে, এবং আমি বি বা সি উত্তর দিতেই বাধ্য ছিলাম, তাহলে আপনাকে কেন জিজ্ঞাসা করার দরকার ছিল?"।

ক্ষমা লাভের এ এর ​​সম্ভাবনা কী এবং কেন? এমন একটি ব্যাখ্যা তৈরি করুন যা অন্যকে বোঝায় যে আপনি সঠিক you

আপনি বায়েস উপপাদ্য দ্বারা, একটি বিশ্বাস নেটওয়ার্ক অঙ্কন করে বা সাধারণ জ্ঞানের দ্বারা এটি মোকাবেলা করতে পারেন। আপনি যে কোনও পদ্ধতির চয়ন করলে শর্তযুক্ত সম্ভাবনার বিভ্রান্তিকর সহজ ধারণার আপনার উপলব্ধি আরও গভীর করা উচিত।

আমার বিশ্লেষণটি এখানে:

এটি মন্টি হল সমস্যার মতো দেখায় তবে বেশ নয়। যদি এ বলে I change my place with Bযে তাকে সি মারা যাওয়ার পরে বলা হয়, তার সংরক্ষণের 2/3 সম্ভাবনা রয়েছে। যদি সে না করে, তবে আমি বলব যে তার সম্ভাবনাগুলি বেঁচে থাকার জন্য 1/3, যেমন আপনি যখন মন্টি হল সমস্যাটিতে নিজের পছন্দ পরিবর্তন করেন না। তবে একই সময়ে, তিনি 2 জন লোকের একটি দলে রয়েছেন এবং একজনের মরে যাওয়া উচিত, তাই এটি বলার জন্য লোভনীয় যে তার সম্ভাবনাগুলি 1/2।

সুতরাং প্যারাডক্সটি এখনও এখানে রয়েছে, আপনি কীভাবে এটির কাছে যাবেন। এছাড়াও, আমি কীভাবে এটি সম্পর্কে একটি বিশ্বাসের নেটওয়ার্ক তৈরি করতে পারি সে সম্পর্কে আমার কোনও ধারণা নেই, তাই আমি এটি দেখতে আগ্রহী।

Comments

"তিনি ২ জনের

— হেনরি

Answer 1

প্রাথমিকভাবে সমান সম্ভাবনা সহ তিনটি সম্ভাবনা রয়েছে:

• এটিকে মুক্তি দেওয়া হবে (সম্ভবত )$1/3$
• বি মুক্তি দেওয়া হবে (সম্ভবত )$1/3$
• সি মুক্ত করা হবে (সম্ভবত )$1/3$

বার্তার প্রতিশ্রুতি সহ, বিভিন্ন সম্ভাব্যতা সহ চারটি সম্ভাবনা রয়েছে:

• এটিকে মুক্তি দেওয়া হবে এবং এ কে বলা হয়েছে খ কার্যকর করা হবে (সম্ভবত )$1/6$
• এটিকে মুক্তি দেওয়া হবে এবং এ-কে বলা হবে সি কার্যকর করা হবে (সম্ভবত )$1/6$
• বি কে মুক্তি দেওয়া হবে এবং এ কে বলা হবে সি কার্যকর করা হবে (সম্ভবত )$1/3$
• সি মুক্তি দেওয়া হবে এবং ক কে বলা হয়েছে মৃত্যুদন্ড কার্যকর করা হবে (সম্ভবত )$1/3$

"A কে বলা হয় সি কার্যকর করা হবে" এর শর্তাধীন এটি হয়ে যায়

• এটিকে মুক্তি দেওয়া হবে এবং এ-কে বলা হবে সি কার্যকর করা হবে (সম্ভবত )$1/3$
• বি মুক্তি দেওয়া হবে এবং ক কে বলা হবে সি কার্যকর করা হবে (সম্ভবত )$2/3$

সুতরাং ম্যাসেজের পরে এ বি (মন্টি হলের সমস্যা) এর সাথে অদলবদল করতে চাইবে তবে এটি কার্যকর করতে না পারায় আসল সম্ভাবনা রাখে ।$2/3$

Comments

এটিকে বি এর সাথে অদলবদল করতে চাই । মন্টি হলের সাধারণ ব্যাখ্যাগুলির একটি নিতে: কল্পনা করুন এখানে 1000 বন্দী আছেন: এ জেলকে জিজ্ঞাসা করেন কে তাকে 998 নাম দেয়। স্পষ্টতই আমরা সেই এক ব্যক্তির বিষয়ে অনেক কিছু শিখেছি যিনি এ নন এবং যার নাম নেই । তবে আমরা এ সম্পর্কে কিছুই শিখিনি ।

— বেন জ্যাকসন

আমি মনে করি এ এর ​​অবস্থান থেকে গার্ডকে এটি জিজ্ঞাসা করা তার পক্ষে খুব ভাল কৌশল। তারপরে, বি এর সাথে কথা বলুন এবং জিজ্ঞাসা করুন যে তিনি পরিবর্তন করতে চান কিনা। যদি তিনি রাজি হন, আপনি ছেলেরা যদি জল্লাদের জিজ্ঞাসা করতে পারেন, যদি তাদের উভয়কেই মুক্তি দিতে হয়, তবে অন্যটিকে মুক্ত করুন। বি এর দৃষ্টিকোণ থেকে, তার মতবিরোধগুলি পরিবর্তন হয় না, তাই তার না বলার কারণ নেই (বা হ্যাঁ বলার অপেক্ষা রাখে না, সুতরাং এটি সেই মুহূর্তে চাপের বিষয়)

— ক্রানচার

Answer 2

আমি মনে করি আপনি সমস্যার অতিরিক্ত চিন্তাভাবনা করছেন - এটি একটি মন্টি হলের সমস্যা এবং একই যুক্তি প্রযোজ্য।

Comments

আপনি বিকাশ করতে পারেন? আমি যুক্তির দ্বারা আগ্রহী, উত্তরটি দিয়ে নয়

— বেঞ্জামিন ক্রাউজিয়ার

@ পিনচোন: জেলরটি মন্টি হল এবং প্রিজনার এ খেলোয়াড়। ছাগল পাবার জন্য ডাইনিং সমান; ক্ষমা করা একটি পুরষ্কার পাওয়ার অনুরূপ। আপনার পছন্দ মতো মন্টি হল সমস্যার যে কোনও ব্যাখ্যা এখন আপনি সরাসরি অনুবাদ করতে পারেন: এটি অনেক যুক্তি জুড়ে covers এটি চিহ্নিত করার জন্য বাবলুপ্রুডের কাছে +1 করুন to

— হোয়বার

আপনি কিভাবে এই বিবৃতি বিরুদ্ধে তর্ক করবে: But at the same time, he is in a group of 2 guys, and one should die, so it is tempting to say that his chances are 1/2.। এবং বিশ্বাস নেটওয়ার্ক সম্পর্কে কি?

— বেঞ্জামিন ক্রাউজিয়ার

@ পিনচন বিশ্বাসের দিকটি বিবেচনা করতে আপনার প্রশ্নটি সম্পাদনা করা গঠনমূলক হবে construc মন্টি হলের সমস্যাটি নিজেই বহু, অনেক জায়গায় মৃত্যুর জন্য আলোচিত হয়েছে, সুতরাং আমি এখানে এই উপাদানটি পুনঃনির্মাণ করার কোনও অর্থ দেখছি না।

— হোয়বার

আমি সম্মত হই যে মন্টি হলের সমস্যাটি মৃত্যুর বিষয়ে আলোচনা করা হয়েছে তবে ব্যাবেলপ্রুফ এবং হুশিয়ারের বক্তব্য সত্ত্বেও, আমি দেখতে পাচ্ছি না যে প্রিজনার এ কোথায় স্থান পরিবর্তন করতে পারে। যদি জেলারের কাছে তিনটি সিল করা খাম থাকে, একটিতে ক্ষমা এবং দু'জনকে মৃত্যুদণ্ড দেওয়া হয়, এ একটি একটি খাম বেছে নিয়েছিল, এবং জেলর অন্যটি খুলল (আমি আলাদা উত্তর দিয়েছিলাম ঠিক একই নিয়ম) এবং দেখানো হয়েছিল যে এতে মৃত্যুদণ্ড রয়েছে, এবং তারপরে এটিকে জিজ্ঞাসা করলেন "আপনি যে খামটি বেছে নিয়েছেন তা রাখতে চান বা আপনি বদলাতে চান?" আমি

— সাদৃশ্যটি

Answer 3

আমি নিশ্চিতভাবে নিশ্চিত নই যে আমি @ বাবেলপ্রুডের সাথে একমত যে এটি একটি মন্টি হলের সমস্যা এবং একই যুক্তি প্রযোজ্য। মন্টি হল সমস্যায়, আপনি নীচে গিয়ে একটি দরজা নির্বাচন করুন। নিয়মগুলি হ'ল মন্টি জানে যে পুরষ্কারটি কোথায়, কখনই কোনও দরজা খুলবে না যা পুরষ্কারটি গোপন করে এবং সর্বদা একটি অব্যক্ত দরজা খুলবে (যেমন আপনি যদি পুরস্কার ব্যতীত কোনও দরজা বেছে নিয়ে থাকেন তবে তিনি আপনার দরজাটি খুলবেন না বেছে নিন এবং বলুন, "দুঃখিত, আপনি হেরে গেছেন!" এবং আপনাকে আবার আপনার সিটে প্রেরণ করবেন) এবং তিনি সর্বদা অন্য (অপরিশোধিত) দরজাটিতে স্যুইচ করার পছন্দটি উপস্থাপন করবেন (অর্থাত্ তিনি যখন পছন্দ করেন তখনই তিনি পছন্দটি সরবরাহ করবেন না) পুরস্কার সঙ্গে দরজা।) এই পরিস্থিতিতে, যদি ঘটনা উল্লেখ করে যে আপনার প্রারম্ভিক পিক পুরস্কার সঙ্গে দরজা, তারপর । যদি$A$$P(A) = \frac{1}{3}$$B$ ইভেন্টটি হ'ল আপনার চূড়ান্ত বাছাইটি পুরস্কারের দ্বার is

• যদি আপনার কৌশলটি সর্বদা রাখে , তবে (যেহেতু আপনি শুরুতে সঠিক পছন্দ করেছেন এবং এটির সাথে আঁকড়ে আছেন) এবং (কারণ আপনি শুরুতে একটি ভুল পছন্দ করেছে এবং এটিতে আটকে রয়েছে)। সুতরাং মোট সম্ভাবনার আইন অনুসারে, $P(B \mid A) = 1$$P(B \mid A^c) = 0$ $$P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c) = 1 \times \frac{1}{3} + 0\times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$
• যদি আপনার কৌশলটি সর্বদা স্যুইচ করা হয় তবে (যেহেতু আপনি প্রথমদিকে সঠিক পছন্দটি করেছেন এবং তারপরে স্যুইচ করেছেন) এবং (কারণ আপনি কোনও ভুল করেছেন শুরুতে পছন্দ করুন এবং তাই বাকী (অপরিশোধিত খোলা) দরজাটি পুরষ্কারের নিশ্চয়তাযুক্ত)। সুতরাং মোট সম্ভাবনার আইন অনুসারে, $P(B \mid A) = 0$$P(B \mid A^c) = 1$ $$P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c) = 0 \times \frac{1}{3} + 1\times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$$

এখানে পরিস্থিতি আলাদা। নেই কোন সঙ্গে পরিবর্তন স্থানে হিসেবে "একজন বলে আমি নাকি বি সঙ্গে আমার জায়গা পরিবর্তন পরে বলা হয় সি মরবে, তবে সে সংরক্ষিত করা 2/3 সম্ভাবনা রয়েছে।" $B$

যুক্ত মন্তব্যসমূহ: আরও একটি পার্থক্য হ'ল কারা ক্ষমা করবেন এবং জেল যখন সি বলে মৃত্যুদণ্ড কার্যকর করা হবে বলে কারাগারের সত্য কথা বলছেন কিনা জেলার তা জানে কিনা সে সম্পর্কে এ সম্পর্কিত কোনও তথ্য নেই। অন্যদিকে, জেলর পুরোপুরি সঠিক যখন তিনি মন্তব্য করেন যে তাঁর সিটি বলা হবে যে সি কার্যকর করা হবে এ-এর কাছে কোনও কার্যকর তথ্য পৌঁছে দেওয়া হয়নি মন্টি হল সমস্যার নিকটতম উপমাটি হ'ল এ একটি দরজা বেছে নেওয়ার পরে, মন্টি একটি খোলে ছাগলটি প্রকাশ করার জন্য অযৌক্তিক দরজা এবং এটিকে " আপনার দরজাটি খুলুন এবং দেখেন আপনি কী পেয়েছেন" দেখুন, যা কোনও সুইচের কোনও প্রস্তাব নেই। পুরস্কার (মন্টি হল) বিজয়ী বা ক্ষমা (বন্দী সমস্যা) হচ্ছে একটা এর সুযোগ সুতরাং একই আছেন: থেকে বের$1$$3$ মন্টি ছাগল প্রকাশের জন্য একটি অযৌক্তিক দরজা খোলেন কিনা তা বিবেচনা না করেই, বা জেলর A কে বলে যে সি কার্যকর করা হবে কি না, ঠিক যেমন হেনরি বিশদভাবে গণনা করেছেন।

Comments

আমি মনে করি আমরা ধরে নিতে পারি যে জেলারের কাছে সেই তথ্য রয়েছে, অন্যথায় সমস্যাটি নিয়ে যুক্তিযুক্ত হওয়া উচিত নয় (যদি জেলারের মিথ্যা বলার অজানা সম্ভাবনা থাকে তবে তারা সম্ভবত কিছু না বলে থাকতে পারে)। আপনার প্রথম বিষয় হিসাবে: অবশ্যই, ফলাফলটি মন্টি হল সমস্যার তুলনায় আলাদা কারণ স্যুইচ করার কোনও বিকল্প নেই। তবে যুক্তিটি হ'ল: বিজয়ী নয় এমন একটি বিকল্প প্রকাশ করে, জেল / মন্টি যে বিকল্পটি বেছে নিতে পারে তার অন্য একটি বিকল্প সম্পর্কে তথ্য সরবরাহ করা হয়।

— রুবেল ভ্যান বার্গেন

Answer 4

উত্তরটি নির্ভর করে যে কারা কারা কারা বন্দীকে নাম হিসাবে বেছে নেবে যখন সে জানে যে এ কে ক্ষমা করতে হবে। দুটি নিয়ম বিবেচনা করুন:

1) জেলর বি এবং সি এর মধ্যে এলোমেলোভাবে চয়ন করে এবং সেক্ষেত্রে সেক্ষেত্রে কেবল সি বলেছে। তাহলে A এর ক্ষমা হওয়ার সম্ভাবনাটি 1/3।

2) জেলর সর্বদা সি বলে Then তারপর ক এর ক্ষমা করার সুযোগটি 1/2।

আমাদের কেবল যা বলা হয়েছে তা হ'ল জেল সি সি বলেছিল, তাই আমরা জানি না তিনি এই নিয়মগুলির মধ্যে কোনটি অনুসরণ করেছিলেন। আসলে, অন্যান্য নিয়ম থাকতে পারে - সম্ভবত জেলর একটি ডাই রোল করে এবং কেবল সি বলে যদি সে 6 রোল করে।

Answer 5

অন্যদের দ্বারা চিহ্নিত হিসাবে, তিন বন্দীদের সমস্যা মন্টি হলের পুনর্নির্মাণ is আরও তথ্যের জন্য, এই কাগজটির ১.ulty বিভাগটি দেখুন:

Answer 6

কল্পনা করুন যে জেলর A কে বলে যে সি অবশ্যই মারা যাবে। এবং তারপরে তিনি বি কে বলেন যে সি অবশ্যই মারা যাবে। এক্ষেত্রে এটি স্পষ্ট যে A এবং B এর ক্ষমা করার জন্য প্রতিটি 50% রয়েছে। তবে দুটি সংস্করণের মধ্যে পার্থক্য কী?

Answer 7

তিন বন্দীদের সমস্যা হয় মন্টি হল থেকে আলাদা। সম্ভাব্যতা ক্ষমা করা আসলে এলিস, না জন্য , কিন্তু শুধুমাত্র যদি কারারক্ষক অনুসরণ "সবসময় বব নাম যখন সম্ভব" কৌশল।$1/2$$2/3$

ইভেন্টস: - এলিসকে ক্ষমা করা হয়েছে। এবং জন্য একই । -জেলর এলিসকে "বব" নামটি বলে ("কে মৃত্যুদন্ড কার্যকর করা হবে" এর উত্তর হিসাবে)। - তিনি "কার্ল" নামটি বলেছেন। নিয়মের কারণে তিনি নিজেই এলিসের নাম রাখতে পারবেন না।$A$$B$$C$$J$$J^c$

আমরা । এখন দুটি পরিস্থিতি রয়েছে:$P(A|J) = P(J|A)P(A)/P(J)$

1. : জেলারের বি বা C বলার আগে একটি মুদ্রা tosses ।$P(J|A) = \frac{1}{2}$

$$P(A|J) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} / \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$

2. জেলর যখনই সম্ভব বব এর নাম বলেছেন: , এছাড়াও এবং ।$P(J|A) = 1$$P(J|C) = 1$$P(J|B) = 0$

$$P(J) = P(J|B)P(B) + P(J|B^c)P(B^c) = 0\times\frac{1}{3} + 1\times\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$$

$$P(A|J) = 1 \times \frac{1}{3} / \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$$

Comments

"সম্ভব হলে সর্বদা কার্লের নাম রাখবেন না" "যখন সম্ভব তখন সবসময় ববের নাম রাখুন"?

— জুহো কোক্কালা

হ্যাঁ, এস '= "যদি সম্ভব হয় তবে সর্বদা কার্লের নাম দিন" কৌশলটি সম্পূর্ণরূপে সমতুল্য হওয়া উচিত যদি আমরা সেই অনুযায়ী জে কে নতুন করে সংজ্ঞায়িত করি। যদি আমরা জেটিকে যেমন হয় তেমনি জেলকে এস 'অনুসরণ করতে বাধ্য করি তবে এটি সবকিছু পূর্বনির্ধারিত করে তুলবে: যখনই জে (জেলর বব বলে) আমরা জানি যে "কার্ল" বলা সম্ভব ছিল না, সুতরাং কার্লকে ক্ষমা করা হয়েছিল ।

— মিখাইল ভলখভ

Answer 8

তথ্য প্রাপ্তির পরে, প্রিজনার সি মারা যাবে, তার সম্ভাবনাগুলি 1/2 তে বদলে যাবে, তবে কেবল, কারণ সে যে তথ্য পেয়েছে তার সম্ভাবনাটি ইতিমধ্যে 2/3 (বন্দী সি-কে ক্ষমা পাওয়ার সম্ভাবনাটি 1/3 সম্ভাব্যতা কেটে গেছে) )

এবং 2/3 * 1/2 মুক্ত হওয়া আসল সম্ভাবনা।

আরও দৃ approach় বিশ্বাস বিরোধী পদ্ধতির:

ধরুন, তাকে বলা হয়েছে বন্দী সি ক্ষমা পাবে।
তাকে হত্যা না করার সম্ভাবনা কী?
সকলেই স্বীকার করবে যে তার সম্ভাবনাগুলি শূন্য, জেল ধরে নিবেন যে মিথ্যা বলে না এবং কেবলমাত্র একটি ক্ষমা রয়েছে।

এবার তার ৪/১০ এর সুযোগ রয়েছে, কারণ সেই তথ্যের সুযোগটি ইতিমধ্যে ছিল 1/3।

Comments

এটি সঠিক নয়; হেনরির উত্তরে হিসাব দেখুন যা দেখায় যে কারাগারের তথ্য শোনার পরে, কয়েদী এ-এর মারা যাওয়ার 2/3 সম্ভাবনা রয়েছে (1/2 নয়)। এটি তার আগেও একই সম্ভাবনা, তাই জেলর সঠিক: তিনি যা বলেছিলেন তা এ এর ​​জীবনযাত্রার প্রতিকূলতার জন্য কিছুই পরিবর্তন করেনি। বি যদি শুনছিল তবে তিনি এখন জানতেন যে তাঁর মৃত্যুর সম্ভাবনা কমে গিয়ে 1/3 হয়ে গেছে।

— রুবেন ভ্যান বার্গেন