গতিবেগ সঙ্গে এলোমেলো হাঁটা

নিম্নলিখিত শর্ত দিয়ে 0 এ শুরু করে একটি পূর্ণসংখ্যার এলোমেলো পদক্ষেপ বিবেচনা করুন:

প্রথম ধাপটি সমান সম্ভাবনা সহ প্লাস বা বিয়োগ 1।
ভবিষ্যতের প্রতিটি পদক্ষেপ হ'ল: পূর্ববর্তী পদক্ষেপের মতো একই দিকে 60% সম্ভবত, 40% বিপরীত দিকে যাওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে

এই ফলন কি ধরণের বিতরণ?

আমি জানি যে একটি গতিবিহীন এলোমেলো হাঁটা একটি সাধারণ বিতরণ দেয়। গতি কি কেবল বৈকল্পিকতা পরিবর্তন করে, বা সম্পূর্ণরূপে বিতরণের প্রকৃতি পরিবর্তন করে?

আমি একটি জেনেরিক উত্তর খুঁজছি, সুতরাং উপরে 60% এবং 40% দ্বারা, আমি সত্যিই পি এবং 1-পি বোঝাই

stochastic-processes randomness random-walk

— barrycarter
সূত্র

আসলে, @Dilip, আপনি আদেশ জোড়া দ্বারা সূচীবদ্ধ যুক্তরাষ্ট্রের সঙ্গে মার্কভ চেইন প্রয়োজন এবং , । রূপান্তরগুলি হ'ল

এবং

সম্ভাবনা

এবং

with

এবং

সম্ভাবনা

।

(i, i + 1)

$(i,i+1)$

(i, i - 1)

$(i,i-1)$

i \in Z

$i\in\mathbb{Z}$

(i, i + 1) \to (i + 1, i + 1)

$(i,i+1)\to(i+1,i+1)$

(i, i - 1) \to (i - 1, i)

$(i,i-1)\to(i-1,i)$

p

$p$

(i, i + 1) \to (i + 1, i)

$(i,i+1)\to(i+1,i)$

(i, i - 1) \to (i - 1, i - 2)

$(i,i-1)\to(i-1,i-2)$

1 - p

$1-p$

— হোবার

নোট করুন যে পদক্ষেপের মাপগুলি ov on এ একটি মার্কভ চেইন গঠন করে এবং আপনার এটি (?!) একটি স্থিতিশীল বিতরণে শুরু করার জন্য ঘটে।

{- 1, + 1}

$\{-1,+1\}$

— কার্ডিনাল

আপনি কি জন্য সীমাবদ্ধ (প্রান্তিক) বন্টন চান যেখানে পদক্ষেপের পদক্ষেপ?

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{n}

$S_n = \sum_{i=1}^n X_n$

X_{n} \in {- 1, + 1}

$X_n \in \{-1,+1\}$

— কার্ডিনাল

আরেকটি পদ্ধতির ক্ষেত্রে জ্যামিতিক এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির পরিবর্তিত পরিমাণের দিকে তাকানো হতে পারে, তারপরে কিছু মার্টিংলে তত্ত্ব প্রয়োগ করুন। সমস্যাটি হ'ল আপনাকে এক ধরণের থামার সময় নির্ধারণ করতে হবে যা জটিল হতে পারে।

— shabbychef

উত্তর:

অবিলম্বে উপসংহারে পৌঁছানোর জন্য, "গতিবেগ" এ সত্যটি পরিবর্তন করে না যে স্বাভাবিক বন্টন এলোমেলো বিতরণের একটি অ্যাসিম্পোটিক অনুমান, তবে থেকে পরিবর্তিত হয় । এটি এই বিশেষ ক্ষেত্রে তুলনামূলক প্রাথমিক বিবেচনার দ্বারা উত্পন্ন করা যেতে পারে। সীমাবদ্ধ রাষ্ট্রীয় স্থান মার্কভ চেইনের জন্য সিএলটি-র কাছে নীচের যুক্তিগুলি সাধারণীকরণ করা মোটেই কঠিন কাজ নয়, বলুন তবে সবচেয়ে বড় সমস্যাটি আসলে বৈকল্পিকের গণনা। নির্দিষ্ট সমস্যার জন্য এটি গণনা করা যেতে পারে এবং আশা করা যায় যে নীচের যুক্তিগুলি পাঠককে বোঝাতে পারে যে এটি সঠিক বৈকল্পিক। $4np(1-p)$ $np/(1-p)$

কার্ডিনাল একটি মন্তব্যে প্রদত্ত অন্তর্দৃষ্টি ব্যবহার করে, এলোমেলো হাঁটা কে হিসাবে দেওয়া হয়েছে যেখানে এবং কে এর সাথে একটি মার্কভ চেইন গঠন করেছে রূপান্তর সম্ভাবনা ম্যাট্রিক্স মধ্যে asymptotic বিবেচনার জন্য হলেও যখন প্রাথমিক বন্টন কোন ভূমিকা পালন করে, তাই ফিক্স করতে দেয় নিম্নলিখিত যুক্তি অনুরোধে জন্য, এবং এছাড়াও অনুমান । একটি চটজলদি কৌশল হ'ল মার্কভ চেইনকে স্বাধীন চক্রগুলিতে দ্রবীভূত করা। যাক

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}

$S_n = \sum_{k=1}^n X_k$

X_{k} \in {- 1, 1}

$X_k \in \{-1, 1\}$

X_{k}

$X_k$

(\begin{array}{cc} p & 1 - p \\ 1 - p & p \end{array}) .

$\left(\begin{array}{cc} p & 1-p \\ 1-p & p \end{array}\right).$

n \to \infty

$n \to \infty$

X_{1}

$X_1$

X_{1} = 1

$X_1 = 1$

0 < p < 1

$0 < p < 1$

σ_{1}

$\sigma_1$ প্রথমবার বোঝাতে, সময় 1 পরে, যে 1. মার্কভ চেইন আয় যে, যদি তারপর , এবং যদি এবং তারপর । সাধারণভাবে, দিন বোঝাতে '1 থেকে তম আগমন সময় এবং দিন বোঝাতে আন্ত আগমন বার (সঙ্গে )। এই সংজ্ঞা সহ, আমরা আছে

X_{2} = 1

$X_2 = 1$

σ_{1} = 2

$\sigma_1 = 2$

X_{2} = X_{3} = - 1

$X_2 = X_3 = -1$

X_{4} = 1

$X_4 = 1$

σ_{1} = 4

$\sigma_1 = 4$

σ_{i}

$\sigma_i$

i

$i$

τ_{i} = σ_{i} - σ_{i - 1}

$\tau_i = \sigma_i - \sigma_{i-1}$

σ_{0} = 1

$\sigma_0 = 1$

সঙ্গে তারপর $U_i = \sum_{k = \sigma_{i-1}+1}^{\sigma_i} X_k$ $S_{σ_{n}} = X_{1} + \sum_{i = 1}^{n} U_{i} .$ $S_{\sigma_n} = X_1 + \sum_{i=1}^n U_i.$
যেহেতু মান লাগে জন্য এবং এটা ঝুলিতে যে $X_k$ $-1$ $k = \sigma_{i-1}+1, \ldots, \sigma_{i}-1$ $X_{\sigma_i} = 1$ $U_{i} = 2 - τ_{i} .$ $U_i = 2 - \tau_i.$
মার্কোভ শৃঙ্খলার জন্য আন্তঃ-ফেরতের সময়গুলি, (আনুষ্ঠানিকভাবে শক্তিশালী মার্কভ সম্পত্তি হিসাবে) এবং এই ক্ষেত্রে গড় এবং ভেরিয়েন্স । নীচে কীভাবে গড় এবং তারতম্য গণনা করা যায় তা নির্দেশিত হয়। $\tau_i$ $E(\tau_i) = 2$ $V(\tau_i) = 2\frac{p}{1-p}$
ভেরিয়েবলের জন্য সাধারণ সিএলটি ফলন করে যে $S_{σ_{n}} \overset{asymp}{\sim} N (0, \frac{2 n p}{1 - p}) .$ $S_{\sigma_n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{2np}{1-p}\right).$
চূড়ান্ত বিষয়টি লক্ষ করার জন্য, যার জন্য বিশ্বাসের একটি ছোট লাফের প্রয়োজন, কারণ আমি বিশদটি বাদ দিচ্ছি, তা , যা এই ফলন করে $\sigma_n = 1 + \sum_{i=1}^n \tau_i \sim 2n$ $S_{n} \overset{asymp}{\sim} N (0, \frac{n p}{1 - p}) .$ $S_{n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{np}{1-p}\right).$

মুহূর্তের গনা এক লক্ষ্য করুন এবং জন্য , । তারপরে জ্যামিতিক বিতরণের জন্য মুহুর্তগুলি গণনা করার সময় ব্যবহৃত কৌশলগুলির অনুরূপ প্রয়োগ করা যেতে পারে। বিকল্পভাবে, যদি সাফল্যের সম্ভাবনা এবং সহ জ্যামিতিক হয় তবে এর distribution এর সমান বন্টন , এবং এর গড় এবং বৈকল্পিক গণনা করা সহজ এই পরবর্তী প্রতিনিধিত্ব। $\tau_1$ $P(\tau_1 = 1) = p$ $m \geq 2$ $P(\tau_1 = m) = (1-p)^2p^{m-2}$ $X$ $1-p$ $Z = 1(\tau_1 = 1)$ $1 + X(1-Z)$ $\tau_1$

— NRH
সূত্র

+1 দুর্দান্ত। সিএলটি স্বাভাবিক উপায়ে প্রযোজ্য তা স্পষ্টভাবে দেখানোর জন্য আমি কেবল q জন্য লিখিত অ্যাসিম্পোটোটিক বিতরণ করব । তবে তা কেবল স্বাদের বিষয়।

1 / \sqrt{n} S_{n}

$1/\sqrt{n}S_n$

— এমপিক্টাস

ভ্যান বেলের 'থাম্বের নিয়ম' ৮. ((তাঁর বইয়ের দ্বিতীয় সংস্করণ থেকে ) যখন আবিষ্কারের । থাকে তখন গড়টির মানক ত্রুটির জন্য একটি অনুমান অন্তর্ভুক্ত করে । ব্যবহার করে এটি অনুবাদ করে দেয় যেখানে পর র্যান্ডম হাঁটার অবস্থান পদক্ষেপ, এবং , ইন এসিম্পটোটিকভাবে নমুনা স্ট্যানডার্ড ডেভিয়েশন (যা হবে , । উত্সাহটি আমি প্রত্যাশা করি, মোটামুটি হিসাবে, as of এর স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি প্রায় হওয়া উচিত $\rho$ $\rho = 2p - 1$

True standard error of \bar{x} \approx \sqrt{\frac{p}{1 - p}} \frac{s}{\sqrt{n}},

$\mbox{True standard error of }\bar{x} \approx \sqrt{\frac{p}{1-p}}\frac{s}{\sqrt{n}},$

n \bar{x}

$n \bar{x}$

n

$n$

s

$s$

n

$n$

\sqrt{1 - {\bar{x}}^{2}}

$\sqrt{1 - \bar{x}^2}$

n \bar{x}

$n \bar{x}$

\sqrt{n p / (1 - p)}

$\sqrt{n p/(1-p)}$ ।

সম্পাদনা : আমার ভুল স্বতঃসংশোধন ছিল (বা বরং আলাদাভাবে ব্যাখ্যা করা উচিত ছিল); এখন সুসংগত (আমি আশা করি!) $p$

— shabbychef
সূত্র

মজাদার. আমি নিশ্চিত নই যে সাবকাসের জন্য খুব বুদ্ধিমান কিছু পাওয়া যায়; যদিও এটি সেই মামলার সাথে সম্পর্কিত প্যাথলজির কারণে হতে পারে।

p = 0

$p=0$

— কার্ডিনাল

@cardinal ভাল ধরা, autocorrelation হওয়া উচিত না । এটি সংশোধন করা হচ্ছে ...

ρ = 2 p - 1,

$\rho = 2p - 1,$

1 - 2 p

$1 - 2p$

— shabbychef