প্রথম কে (পরীক্ষামূলক) মুহুর্তগুলি ব্যবহার করে আনুমানিক পিডিএফ (যেমন: ঘনত্বের অনুমান) কীভাবে ফিট করতে হয়?

Question

আমার এমন একটি পরিস্থিতি রয়েছে যেখানে আমি কোনও ডেটা-সেটের (প্রথম) মুহুর্তগুলি অনুমান করতে সক্ষম হয়েছি এবং ঘনত্বের ক্রিয়াটির অনুমানের জন্য এটি ব্যবহার করতে চাই।$k$

আমি ইতিমধ্যে পিয়ারসন বিতরণ জুড়ে এসেছি , কিন্তু বুঝতে পেরেছি এটি কেবল প্রথম 4 টি মুহুর্তের উপর নির্ভর করে (মুহুর্তগুলির সম্ভাব্য সংমিশ্রণের উপর কিছুটা বিধিনিষেধ নিয়ে)।

আমি আরও বুঝতে পারি যে কোনও মুহুর্তের সীমাবদ্ধ সেট বেশি অনুমানগুলি ব্যবহার না করার সময় একটি নির্দিষ্ট বিতরণ "পিন ডাউন" করার পক্ষে যথেষ্ট নয়। তবে, আমি এখনও বিতরণ আরও সাধারণ শ্রেণীর (বিতরণ পিয়ারসন পরিবার ব্যতীত) চাই for অন্যান্য প্রশ্নের দিকে তাকিয়ে, আমি এই জাতীয় বিতরণটি খুঁজে পাইনি (দেখুন: এখানে , এখানে , এখানে , এখানে , এখানে , এবং এখানে )।

বিতরণের কিছু সাধারণ ("সরল") পরিবার রয়েছে যা কোনও মুহুর্তের মুহুর্তের জন্য সংজ্ঞায়িত করা যায় ? (হতে পারে রূপান্তরগুলির একটি সেট যা একটি মানক সাধারণ বিতরণ নিতে পারে এবং এটি মুহুর্তের সমস্ত সেটের সাথে নিশ্চিত না হওয়া পর্যন্ত এটি রূপান্তর করতে পারে )$k$$k$

(আমরা যদি অন্যান্য মুহুর্তগুলি 0 হয় বা না ধরে নিই তবে আমার খুব বেশি যত্ন নেই)$k+1\ldots\infty$

ধন্যবাদ।

PS: আমি একটি বর্ধিত উদাহরণের জন্য খুশি হবে। সাধারণত একটি আর কোড উদাহরণ সহ।

Comments

প্রথম মুহুর্তগুলি শূন্যের বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনের প্রথম কে ডেরিভেটিভগুলি সংজ্ঞায়িত করে : E [ এক্স কে ] = ( - i ) কে ϕ ( কে ) এক্স ( 0 ) । সুতরাং আপনি শূন্যের চারপাশে বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনটির টেলরের বিস্তারের প্রথম k শর্তাদি জানেন । তারপরে আপনি ঘনত্ব অর্জনের জন্য বিপরীত উপপাদ্যগুলি ব্যবহার করতে সক্ষম হতে পারেন। $k$$k$$E[X^k] = (-i)^k\phi_X^{(k)}(0)$$k$

— স্টিফান কোলাসা

ধন্যবাদ @ স্টিফেনকোলাসা - বর্ধিত উত্তর / আর কোড উদাহরণের কোনও সুযোগ?

— তাল গালিলি

en.wikedia.org/wiki/Maximum_entropy_probability_dist वितरण একটি সাধারণ পদ্ধতি পরামর্শ দেয়।

— হোবার

প্রিয় @ শুভ্র, আপনি দয়া করে কোনও আর কোডের উদাহরণ প্রস্তাব করতে পারেন? (এছাড়াও, এটি নেকড়েদের জবাব দিয়ে যায়?)

— তাল গালিলি

এটি উত্তর থেকে সম্পূর্ণ ভিন্ন পদ্ধতির।

— শুক্র

Answer 1

পদ্ধতি 1: উচ্চ-অর্ডার পিয়ারসন সিস্টেম

পিয়ারসন পদ্ধতিটি কনভেনশন অনুসারে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানের পরিবার হিসাবে নেওয়া হয় :$p(x)$

$$\frac{d p (x)}{dx} \; = \; -\frac{(a+x) }{c_0 + c_1 x + c_2 x^2} \; p(x)$$

যেখানে চারটি পিয়ারসন প্যারামিটার জনসংখ্যার প্রথম চারটি মুহুর্তের ক্ষেত্রে প্রকাশ করা যেতে পারে।$(a, c_0, c_1, c_2)$

$c_0 + c_1 x + c_2 x^2$$p(x)$

$$\frac{d p(x)}{dx} \; = \; -\frac{(a+x) }{c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3} \; p (x)$$

যা সমাধান দেয়:

আমি কিছুক্ষণ আগে মজা করার জন্য এটি সমাধান করেছি (ওপি হিসাবে একই চিন্তার ট্রেন থাকা): উত্পন্নকরণ এবং সমাধানটি আমাদের বইয়ের অধ্যায় 5 এ দেওয়া হয়েছে; আগ্রহী হলে একটি নিখরচায় ডাউনলোড এখানে পাওয়া যায়:

http://www.mathstatica.com/book/bookcontents.html

নোট করুন যে যেখানে দ্বিতীয় অর্ডার (চতুষ্কোণ) পিয়ারসন পরিবার প্রথম 4 টি মুহুর্তের সাথে প্রকাশ করা যেতে পারে তৃতীয়-ক্রম (ঘনক) পিয়ারসন-স্টাইল পরিবারটির জন্য প্রথম 6 টি মুহুর্ত প্রয়োজন।

পদ্ধতি 2: গ্রাম-চারিলার সম্প্রসারণ

$k^{th}$

জনসংখ্যার মুহুর্ত বা নমুনা মুহুর্ত ??

পিয়ারসন-স্টাইল সিস্টেমের জন্য: জনসংখ্যার মুহুর্তগুলি যদি জানা থাকে তবে উচ্চতর মুহুর্তগুলি ব্যবহার করা দ্ব্যর্থহীনভাবে আরও ভাল ফিট করে। তবে, যদি পর্যবেক্ষণ করা ডেটা জনসংখ্যার থেকে আঁকা এলোমেলো নমুনা হয় তবে সেখানে বাণিজ্য বন্ধ থাকে: একটি উচ্চতর অর্ডারের বহুপদী ইঙ্গিত দেয় যে উচ্চতর অর্ডার মুহুর্তগুলি প্রয়োজন, এবং পরবর্তীটির অনুমানগুলি অবিশ্বাস্য হতে পারে (উচ্চতর বৈকল্পিকতা থাকতে পারে), যদি না নমুনার আকার 'বড়' হয় unless অন্য কথায়, স্যাম্পল ডেটা দেওয়া, উচ্চতর মুহুর্তগুলি ব্যবহার করে ফিটিং করা 'অস্থির' হয়ে উঠতে পারে এবং নিকৃষ্ট ফলাফল তৈরি করতে পারে। গ্রাম-চারিলার সম্প্রসারণের ক্ষেত্রেও এটি একই: অতিরিক্ত শব্দ যুক্ত করা আসলে আরও খারাপ ফিট করে, তাই কিছু যত্ন নেওয়া প্রয়োজন।

Comments

প্রিয় @ ওল্ফিজ - আপনার উত্তরের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ! যদি আমি আপনাকে সঠিকভাবে বুঝতে পারি, গ্রাম-চারিলার সম্প্রসারণগুলি আমি যা খুঁজছি তার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ (যদিও আরও সাধারণীকরণ করা পিয়ারসন বিতরণটি জানতে আগ্রহী)। আমি আপনার বইয়ের দিকে তাকিয়েছি (অধ্যায় 5, পৃষ্ঠা 175 থেকে শুরু করে), এবং আপনি সেখানে সত্যই সেখানে একটি বিশদ বিবরণ দিয়েছেন (আনুমানিক মুহুর্তের সাথে কীভাবে মোকাবিলা করতে হবে তাও উল্লেখ করা হয়েছে, যা আমার ক্ষেত্রে)। একমাত্র বিষয় হ'ল আমি আপনার কোডটি ব্যবহার করতে পারি না (যেহেতু আমি একজন আরআর ব্যবহারকারী)। আপনার উত্তরের জন্য ধন্যবাদ (এবং আপনার বইয়ের জন্য যা চিত্তাকর্ষক এবং সাধারণভাবে আকর্ষণীয় বলে মনে হচ্ছে)

— তাল গালিলি

বিভিন্ন পদ্ধতির সাথে মোকাবিলা করার জন্য সবেমাত্র

— তাল গালিলি