সারি এবং কলাম দৈর্ঘ্যের সীমাবদ্ধতার সাথে এলোমেলো ম্যাট্রিক

আমাকে সারি এবং কলাম সহ এলোমেলো অ-বর্গক্ষেত্রের ম্যাট্রিক্স উত্পন্ন করতে হবে , উপাদানগুলি এলোমেলোভাবে গড় = 0 দিয়ে বিতরণ করা হয়েছে এবং এমন সীমাবদ্ধ যে প্রতিটি সারির দৈর্ঘ্য (এল 2 আদর্শ) এবং প্রতিটি কলামের দৈর্ঘ্য is । সমানভাবে, বর্গমূল্যের সমষ্টি প্রতিটি সারির জন্য 1 এবং প্রতিটি কলামের জন্য $R$ $C$ $1$ $\sqrt{\frac{R}{C}}$ $\frac{R}{C}$

এখন পর্যন্ত আমি এটি অর্জনের একটি উপায় খুঁজে পেয়েছি: ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলিকে এলোমেলোভাবে সূচনা করুন (উদাহরণস্বরূপ শূণ্য গড় এবং স্বেচ্ছাসৈনিক বৈকল্পের সাথে একটি ইউনিফর্ম, সাধারণ, বা লেপ বিতরণ থেকে), তারপরে পর্যায়ক্রমে সারি এবং কলামগুলিকে normal স্বাভাবিক করুন , সারি স্বাভাবিককরণের সাথে শেষ। এটি পছন্দসই ফলাফলকে মোটামুটি দ্রুত রূপান্তরিত বলে মনে হচ্ছে (যেমন এবং , কলামের দৈর্ঘ্যের সাধারণত পুনরাবৃত্তির পরে ~ হয় ) তবে আমি নিশ্চিত নই যে আমি এই দ্রুত রূপান্তর হারের উপর নির্ভর করতে পারি কিনা সাধারণভাবে (বিভিন্ন ম্যাট্রিক্স মাত্রা এবং প্রাথমিক উপাদান বিতরণের জন্য)। ${\rm length} = 1$ $R=40$ $C=80$ $~0.00001$ $2$

আমার প্রশ্নটি হ'ল: এর মধ্যে পুনরাবৃত্তি না করে কাঙ্ক্ষিত ফলাফল ( , ) অর্জনের উপায় কি? সারি / কলাম নরমালাইজেশন? উদাহরণস্বরূপ এলোমোথিমের মতো কিছু এলোমেলো ভেক্টরকে সাধারণকরণের জন্য (এলোমেলোভাবে উপাদানগুলির সূচনাকরণ, বর্গমূল্যের সমষ্টি পরিমাপ করুন, তারপরে প্রতিটি উপাদানকে একটি সাধারণ স্কেলারের সাহায্যে স্কেল করুন)। যদি তা না হয় তবে উপরে বর্ণিত পুনরাবৃত্ত পদ্ধতির রেটের (যেমন নাম পুনরাবৃত্তি ত্রুটি না হওয়া পর্যন্ত ) জন্য কি কোনও সাধারণ বৈশিষ্ট্য রয়েছে? ${\rm row \ lengths} = 1$ ${\rm column \ lengths} = \sqrt{\frac{R}{C}}$ $< \epsilon$

— টাইলার স্ট্রিটার
সূত্র

এটি সিঙ্কহর্ন-নপ্প অ্যালগরিদমের সাথে বেশ অনুরূপ, যা বিকল্পভাবে পুনরাবৃত্ত সমানুপাতিক ফিটিং নামেও পরিচিত।

— কার্ডিনাল

এছাড়াও, "এলোমেলো" ম্যাট্রিক্স দ্বারা আপনি কী বোঝাতে চান তা নির্ধারণ করা উচিত। উদাহরণস্বরূপ, আপনি যে পদ্ধতিটি বর্ণনা করবেন তা (প্রায় নিঃসন্দেহে) পছন্দসই জায়গার তুলনায় অবিচ্ছিন্নভাবে ম্যাট্রিক্স তৈরি করতে পারে না।

— কার্ডিনাল

@ কার্ডিনাল ভাল পয়েন্ট তবে নোট করুন যে আপনি কমপক্ষে সমস্ত উপাদানগুলির জন্য একত্রে (প্রান্তিক) বন্টন অর্জন করতে পারেন যেকোন এলোমেলো ক্রমান্বয়ে ম্যাট্রিক্সের সাথে পোস্ট-গুণিত করে (এলোমেলোভাবে সারি এবং কলাম উভয় ব্যবস্থা)।

— whuber

@ শুভ: হ্যাঁ, যদিও যৌথ বিতরণটি এখনও বেশ বিস্ময়কর হতে পারে। "বহুগুণ পোস্ট" করার মাধ্যমে আমি ধরে নিয়েছি আপনার অর্থ বাম এবং ডানদিকে "উত্তর-রূপান্তর" (বরং, ডানদিকে গুণ করা) multip

— কার্ডিনাল

আসলে, পরে একটু চিন্তা আমার মনে হয় আপনি আলগোরিদিম ঠিক একটি খুব গৌণ সংশোধন সহ Sinkhorn-Knopp অ্যালগরিদম। যাক

আপনার মূল ম্যাট্রিক্স হতে হবে এবং দিন

একই আকার যেমন যে একটি ম্যাট্রিক্স হতে

। তারপর, আপনার অ্যালগরিদম Sinkhorn-Knopp প্রয়োগের সমতূল্য

, যেখানে চূড়ান্ত পদে পদে আপনি গ্রহণ করে আপনার পছন্দসই ফর্ম পুনরুদ্ধার

X

$X$

Y

$Y$

Y_{i j} = X_{i j}^{2}

$Y_{ij} = X_{ij}^2$

Y

$Y$

। সিঙ্কহর্ন-নপ্প বেশ প্যাথলজিকাল পরিস্থিতিতে বাদে একত্রিত হওয়ার গ্যারান্টিযুক্ত। এটি পড়া খুব সহায়ক হওয়া উচিত।

{\hat{X}}_{i j} = s g n (X_{i j}) \sqrt{Y_{i j}}

$\hat{X}_{ij} = \mathrm{sgn}(X_{ij}) \sqrt{Y_{ij}}$

— কার্ডিনাল

যেমন @ কার্ডিনাল একটি মন্তব্যে বলেছেন:

আসলে, পরে একটু চিন্তা আমার মনে হয় আপনি আলগোরিদিম ঠিক একটি খুব গৌণ সংশোধন সহ Sinkhorn-Knopp অ্যালগরিদম। যাক আপনার মূল ম্যাট্রিক্স হতে হবে এবং দিন একই আকার যেমন যে একটি ম্যাট্রিক্স হতে । তারপর, আপনার অ্যালগরিদম Sinkhorn-Knopp প্রয়োগের সমতূল্য , যেখানে চূড়ান্ত পদে পদে আপনি গ্রহণ করে আপনার পছন্দসই ফর্ম পুনরুদ্ধার $X$ $Y$ $Y_{ij}=X^2_{ij}$ $Y$ । সিঙ্কহর্ন-নপ্প বেশ প্যাথলজিকাল পরিস্থিতিতে বাদে একত্রিত হওয়ার গ্যারান্টিযুক্ত। এটি পড়া খুব সহায়ক হওয়া উচিত। $\hat{X}_{ij}=sgn(X_{ij})\sqrt{Y_{ij}}$

... দেখে মনে হচ্ছে যে মূল প্রশ্নে আমি যে পুনরাবৃত্তির আলগোরিদিমটি প্রস্তাব করেছি তা সিঙ্কহর্ন-নপ্প অ্যালগরিদমের সাথে খুব মিল। মজার বিষয়, এটি পুনরাবৃত্ত সমানুপাতিক ফিটিং (আইপিএফ) এর সাথেও খুব মিল , যা আইপিএফ উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠায় বর্ণিত, নিউটনের পদ্ধতি এবং প্রত্যাশা সর্বাধিকীকরণের সাথে সম্পর্কিত (সকলেরই একই সীমা রয়েছে)।

এই পুনরাবৃত্তি পদ্ধতিগুলি প্রায়শই এমন সমস্যার ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয় যা বন্ধ ফর্ম সমাধানের অভাব রয়েছে, তাই আমি স্থায়ীভাবে ধরে নেব যে প্রশ্নের উত্তরটি নেতিবাচক: সারি / কলাম পুনরাবৃত্তি ছাড়া কাঙ্ক্ষিত সমাধান অর্জনের কোনও উপায় নেই।

— টাইলার স্ট্রিটার
সূত্র

(+1) এই প্রশ্নে আপনার ক্রমাগত আগ্রহ এবং আপনার স্বতন্ত্র অনুসরণের জন্য। :-)

— কার্ডিনাল