পি-মানের দুটি সংজ্ঞা: তাদের সমতা কীভাবে প্রমাণ করবেন?

Question

আমি ল্যারি ওয়াসারম্যানের বই, পরিসংখ্যানের সমস্ত এবং এখন পি-ভ্যালু (পৃষ্ঠা 187) সম্পর্কে পড়ছি । আমাকে প্রথমে কয়েকটি সংজ্ঞা চালু করতে দিন (আমি উদ্ধৃতি দিয়ে):

সংজ্ঞা 1 প্রত্যাখ্যান অঞ্চলের সাথে একটি পরীক্ষা শক্তি ফাংশন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় একটি পরীক্ষা আকার হওয়া হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয় একটি পরীক্ষা স্তর আছে বলা হয় \ আলফা যদি তার আকার বা সমান কম \ আলফা ।β ( θ ) = পি θ ( এক্স ∈ আর $R$

$$\beta(\theta)=P_{\theta}(X\in R)$$ $$\alpha = \sup_{\theta\in\Theta_0}\beta(\theta)$$ $\alpha$$\alpha$

এটি মূলত বলে যে $\alpha$ , আকারটি I এর ধরণের ত্রুটির সম্ভাব্যতা "বৃহত্তম"। $p$ ভ্যালুটি তারপরে সংজ্ঞায়িত করা হয় (আমি উদ্ধৃতি)

সংজ্ঞা 2 ধরুন যে প্রতিটি $\alpha\in(0,1)$ আমাদের প্রত্যাখ্যান অঞ্চল আর_ \ আলফা সহ একটি আকার $\alpha$ পরীক্ষা আছে । তারপরে, পি \ পাঠ্য {-মূল্য} = \ ইনফ \ {\ আলফা: টি (এক্স ^ এন) R আর_ \ আলফা \} যেখানে এক্স ^ n = (X_1, \ বিন্দু, এক্স_এন) ।$R_\alpha$

$$p\text{-value}=\inf\{\alpha:T(X^n)\in R_\alpha\}$$ $X^n=(X_1,\dots,X_n)$

আমার জন্য এটির অর্থ: একটি নির্দিষ্ট $\alpha$ প্রদত্ত একটি পরীক্ষা এবং প্রত্যাখ্যান অঞ্চল $R_\alpha$ যাতে $\alpha=\sup_{\theta\in\Theta_{0}(\alpha)}P_\theta(T(X^n)\in R_\alpha)$ । জন্য $p$ -value আমি কেবল তারপর এই সব ক্ষুদ্রতম নেওয়া $\alpha$ ।

প্রশ্ন 1 যদি এটি হয় তবে আমি নির্বিচারে ছোট \ অ্যাপসিলনের জন্য clearly আলফা = \ অ্যাপসিলনটি পরিষ্কারভাবে বেছে নিতে পারি । আমার সংজ্ঞা 2 এর ভুল ব্যাখ্যা কী, এর অর্থ হ'ল কী?$\alpha = \epsilon$$\epsilon$

এখন ওয়াসারম্যান অবিচ্ছিন্ন এবং $p$ ভ্যালুয়ের সাথে "সমান" সংজ্ঞা রাখতে একটি উপপাদ্যকে বলেছেন যার সাথে আমি পরিচিত (আমি উদ্ধৃতি):

উপপাদ্য ধরুন যে আকার পরীক্ষাটি ফর্মের তারপরে, যেখানে পর্যবেক্ষিত মান ।$\alpha$

$$\text{reject } H_0 \iff T(X^n)\ge c_\alpha$$ $$p\text{-value} = \sup_{\theta\in\Theta_0}P_{\theta}(T(X^n)\ge T(x^n))$$ $x^n$$X^n$

সুতরাং এখানে আমার দ্বিতীয় প্রশ্ন:

প্রশ্ন 2 আমি আসলে এই উপপাদ্যকে কীভাবে প্রমাণ করতে পারি? এটি মূল্য সংজ্ঞা সম্পর্কে আমার ভুল বোঝাবুঝির কারণে হতে পারে তবে আমি তা বুঝতে পারি না।$p$

Comments

ইতিবাচক ব্যাপার অদ্ভুত যে ওয়েসারম্যান সংজ্ঞায়িত হবে ক্ষমতা হিসাবে " ," যেহেতু প্রতীক প্রায় সর্বজনীন টাইপ ২ ত্রুটি হার (অর্থাত ক্ষমতা = 1- জন্য ব্যবহার করা হয় প্রায় অন্য কোন লেখক আলোচনা ক্ষমতা জন্য)। ইচ্ছাকৃতভাবে এর কারণ হিসাবে নির্ধারণ না করে আরও খারাপ বিভ্রান্তি সৃষ্টি করতে সক্ষম এমন একটি স্বরলিপিটি কল্পনা করা আমার পক্ষে কঠিন হয়ে পড়েছে। $\beta$$\beta$$\beta$

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

আমি সম্মত হই যে এটি অদ্ভুত, গ্লেন - তবে ক্যাসেলা এবং বার্গার একই কাজ করেন এবং আমার মতে, পরিসংখ্যানগত তত্ত্বের স্বর্ণের মান।

— ম্যাট ব্রেমস

Answer 1

আমরা কিছু বহুচলকীয় তথ্য আছে , একটি বন্টন থেকে টানা কিছু অজানা পরামিতি সঙ্গে । নোট করুন যে নমুনা ফলাফল।$x$$\mathcal{D}$$\theta$$x$

আমরা একটি অজানা প্যারামিটার সম্পর্কে কিছু হাইপোথিসিস পরীক্ষা করতে চান , মান নাল হাইপোথিসিস অধীনে সেট রয়েছে ।$\theta$$\theta$$\theta_0$

এর স্পেসে আমরা একটি প্রত্যাখ্যান অঞ্চল সংজ্ঞা দিতে পারি , এবং এই অঞ্চলের তখন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। তাই ক্ষমতা নির্ণয় করা হয় একটি নির্দিষ্ট মানের জন্য এর সম্ভাব্যতা হিসাবে নমুনা ফলাফল প্রত্যাখ্যান অঞ্চলে হয় যখন এর মান হয় । একথাও ঠিক যে ক্ষমতা অঞ্চলের উপর নির্ভর করে এবং পছন্দের উপর ।$X$$R$$R$$\mathcal{P}_\bar{\theta}^R=P_\bar{\theta}(x \in R)$$\bar{\theta}$$\theta$$x$$R$ $\theta$$\bar{\theta}$$R$$\bar{\theta}$

সংজ্ঞা 1 সংজ্ঞায়িত অঞ্চলের আকার$R$ সব মূল্যবোধের supremum যেমন জন্য মধ্যে , তাই শুধুমাত্র মানের জন্য অধীনে । একথাও ঠিক যে এই অঞ্চলের উপর নির্ভর করে তাই ।$\mathcal{P}_\bar{\theta}^R$$\bar{\theta}$$\theta_0$$\bar{\theta}$$H_0$$\alpha^R=sup_{\bar{\theta} \in \theta_0} \mathcal{P}_\bar{\theta}^R$

হিসাবে উপর নির্ভর করে আমরা অন্য মান যখন অঞ্চল পরিবর্তন আছে, এবং এই পি-মান নির্ধারক ভিত্তি হল: পরিবর্তন অঞ্চল, কিন্তু এমনভাবে যে নমুনা পর্যবেক্ষিত মান এখনো জন্যে, জন্য এই জাতীয় প্রতিটি অঞ্চলে, উপরে বর্ণিত হিসাবে গণনা করুন এবং সর্বাধিক: । সুতরাং P-মান সব অঞ্চলে যেগুলিতে ক্ষুদ্রতম আকার ।$\alpha^R$$R$$\alpha_R$$pv(x)=inf_{R |_{x \in R}} \alpha^R$$x$

উপপাদ্য তারপর শুধু একটি এটি 'অনুবাদ', যথা ক্ষেত্রে যেখানে অঞ্চলে হয় একটি পরিসংখ্যাত ব্যবহার সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং মানের জন্য আপনি একটি অঞ্চল সংজ্ঞায়িত যেমন । আপনি যদি উপরের যুক্তিতে এই জাতীয় অঞ্চল ব্যবহার করেন তবে তত্ত্বটি অনুসরণ করে।$R$$T$$c$$R$$R=\{ x | T(x) \ge c \}$$R$

মন্তব্যগুলির কারণে সম্পাদনা করুন:

@ ব্যবহারকারী 8: উপপাদ্যের জন্য; আপনি যদি উপপাদ্য হিসাবে প্রত্যাখ্যান অঞ্চলগুলি সংজ্ঞায়িত করেন, তবে আকার একটি প্রত্যাখ্যান অঞ্চল এমন একটি সেট যা মতো দেখাচ্ছে কিছু ।$\alpha$$R^\alpha= \{X | T(X) \ge c_\alpha \}$$c_\alpha$

একটি পর্যবেক্ষণকৃত মান এর পি-মানটি খুঁজে পেতে , অর্থাৎ আপনাকে সর্বাধিক ক্ষুদ্র অঞ্চল , মতো বৃহত্তম মানের খুঁজে পেতে হবে এখনও রয়েছে , উত্তরোত্তর (অঞ্চলে রয়েছে ) সমান (অঞ্চলগুলির সংজ্ঞায়িত পদ্ধতির কারণে) এই বলার অপেক্ষা রাখে , সুতরাং আপনাকে খুঁজে বের করতে হবে বৃহত্তম যেমন$x$$pv(x)$$R$$c$$\{X | T(X) \ge c \}$ $x$$x$$c \ge T(x)$$c$$\{X | T(X) \ge c \& c \ge T(x) \}$

স্পষ্টতই, বৃহত্তম মতো হওয়া উচিত এবং তারপরে সেট সুপ্রা হয়ে উঠবে$c$$c \ge T(x)$$c = T(x)$$\{ X | T(X) \ge c = T(x)\}=\{ X | T(X) \ge T(x)\}$

Comments

আপনার উত্তরের জন্য অনেক ধন্যবাদ। উপপাদ্য বৈধতা সম্পর্কে প্রশ্ন জন্য: সেখানে একরকম একটি নয় উপর অনুপস্থিত? $\inf$$\alpha$

— গণিত

@ ইউজার ৮: আমি আমার উত্তরের শেষে একটি অনুচ্ছেদ যুক্ত করেছি, আপনি এখন পয়েন্টটি দেখবেন?

Answer 2

সংজ্ঞা 2 সালে একটি পরীক্ষা পরিসংখ্যাত এর -value সর্বশ্রেষ্ঠ নিম্ন সব আবদ্ধ হয় যেমন যে হাইপোথিসিস আকারের একটি পরীক্ষার জন্য প্রত্যাখ্যাত । মনে রাখবেন যে আমরা ছোট smaller , প্রকার আই ত্রুটির জন্য আমরা যে পরিমাণ কম সহনশীলতা দিচ্ছি, তাই প্রত্যাখ্যান অঞ্চল হ্রাস পাবে। সুতরাং (খুব) অনানুষ্ঠানিকভাবে বলতে গেলে, ভ্যালু হ'ল সবচেয়ে ক্ষুদ্রতম we আমরা বেছে নিতে পারি তা এখনও আমাদের লক্ষ্য করা তথ্যের জন্য প্রত্যাখ্যান করতে দেয় । আমরা নির্বিচারে একটি ছোট বেছে নিতে পারি না কারণ এক পর্যায়ে,α α α আর α পি α এইচ 0 α আর $p$$\alpha$$\alpha$$\alpha$$R_\alpha$$p$$\alpha$$H_0$$\alpha$$R_\alpha$ এটি এত ছোট হবে যে এটি আমাদের পর্যবেক্ষণ করা ইভেন্টটি বাদ দেবে (অর্থাত্‍ এটি ধারণ করতে ব্যর্থ হবে)।

এখন, উপরের আলোকে, আমি আপনাকে উপপাদ্যটি পুনর্বিবেচনার জন্য আমন্ত্রণ জানাচ্ছি।

Comments

আমি তখনও কিছুটা বিভ্রান্ত। সুতরাং প্রথমে, সংজ্ঞা এ সমস্ত জন্য স্ট্যাটিস্টিক ঠিক করা হয় ? আমি আপনার এই বক্তব্যের সাথে একমত নই: "... কোনও এক সময়, এত ছোট হবে যে এটি আমাদের পর্যবেক্ষণ করা ইভেন্টটি বাদ দেবে (অর্থাত্‍ এতে ব্যর্থ হবে)।" পুরোপুরি ঠিক আছে, যদি এত ছোট হয় যে এতে পর্যবেক্ষণ করা নমুনা থাকে না, তবে আমরা প্রত্যাখ্যান করব না । এতে সমস্যা কী? আপনাকে সাহায্য / ধৈর্য জন্য ধন্যবাদটি α আর α আর α এইচ $2$$T$$\alpha$$R_\alpha$$R_\alpha$$H_0$

— গণিত

হ্যাঁ. পরীক্ষার পরিসংখ্যান নমুনার একটি পূর্বনির্ধারিত স্থির ফাংশন, যেখানে এই অর্থে "স্থির" অর্থ ফাংশনের রূপটি কোনও জন্য পরিবর্তিত হয় না । মানটি এটি গ্রহণ করে (এবং হওয়া উচিত) নমুনার উপর নির্ভর করে। আপনার বিবৃতি "আমরা প্রত্যাখ্যান করি না " তা প্রকাশ করে কেন আপনার মতবিরোধটি ভুল তা: সংজ্ঞা অনুসারে , সমস্ত মানগুলির সেটকে সমন্বিত করে যার জন্য পরীক্ষার পরিসংখ্যান নালকে প্রত্যাখ্যান করে । এজন্য এটি "আর" প্রত্যাখ্যানের জন্য লেবেলযুক্ত । আরও বিস্তারিতভাবে ব্যাখ্যা করতে আমি আমার উত্তরের একটি আপডেট পোস্ট করব। α এইচ 0 আর α$T$$\alpha$$H_0$$R_\alpha$$R$

— হিরোপআপ

আপনার দ্রুত উত্তরের জন্য এবং আপনার আপডেট হওয়া সংস্করণটির জন্য অনেক ধন্যবাদ। আমি যা বোঝাতে চেয়েছি তা : আমরা , যেখানে পর্যবেক্ষণ করা নমুনা থাকে তবে আমরা প্রত্যাখ্যান । বলুন আমি খুব চরম এবং খুব ছোট চয়ন করি, যাতে প্রদত্ত নমুনা যার অর্থ আমরা প্রত্যাখ্যান । সুতরাং একটি ছোট আর_ এপ্রোরি একটি খারাপ জিনিস নয়। স্পষ্টতই, এক পর্যায়ে এটি এত ছোট, এটি সম্পর্কিত কোনও নমুনা পর্যবেক্ষণ করার পক্ষে খুব সম্ভবত । আবার, আপনার ধৈর্য / সহায়তার জন্য ধন্যবাদ সত্যিই প্রশংসা! টি ( এক্স এন ) ∈ আর α এক্স এন আর α টি ( এক্স এন ) ∉ আর α এইচ 0 আর α আর $H_0$$T(x_n)\in R_\alpha$$x_n$$R_\alpha$$T(x_n)\notin R_\alpha$$H_0$$R_\alpha$$R_\alpha$

— গণিত

পি-মানটির প্রদত্ত সংজ্ঞাটি স্পষ্টভাবে নমুনাটিকে প্রত্যাখ্যান অঞ্চলে হওয়ার জন্য পরীক্ষার পরিসংখ্যানের প্রয়োজন । আপনি পি-মান সংজ্ঞায়নের অংশটি পরিবর্তন করতে মুক্ত নন।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

@ গ্লেন_বি মন্তব্যের জন্য ধন্যবাদ। আসলে, আমার আগের মন্তব্য সংজ্ঞা লঙ্ঘন করে। এটা ইশারা জন্য ধন্যবাদ।

— গণিত