কীভাবে `ইিজেন` ম্যাট্রিক্সকে উল্টাতে সহায়তা করে তা ব্যাখ্যা করুন

আমার প্রশ্নটি একটি গণনা প্রযুক্তির সাথে সম্পর্কিত geoR:::.negloglik.GRFবা এর সাথে সম্পর্কিত geoR:::solve.geoR।

রৈখিক মিশ্র মডেল সেটআপে: যেখানে এবং যথাক্রমে স্থির এবং এলোমেলো প্রভাব। এছাড়াও,

Y = X β + Z b + e

$Y=X\beta+Zb+e$

β

$\beta$

b

$b$

Σ = cov (Y)

$\Sigma=\text{cov}(Y)$

যখন প্রভাব আনুমানিক হিসাব, সেখানে গনা প্রয়োজন রয়েছে যা স্বাভাবিকভাবে ভালো কিছু ব্যবহার করা যেতে পারে , কিন্তু কখনও কখনও প্রায় অ হয় অবিচ্ছিন্ন, তাই কৌশল ব্যবহার

(X^{'} Σ^{- 1} X)^{- 1} X^{'} Σ^{- 1} Y

$(X'\Sigma^{-1}X)^{-1}X'\Sigma^{-1} Y$ solve(XtS_invX,XtS_invY)

(X^{'} Σ^{- 1} X)

$(X'\Sigma^{-1}X)$ geoR

t.ei=eigen(XtS_invX)
crossprod(t(t.ei$vec)/sqrt(t.ei$val))%*%XtS_invY

(এর মধ্যে দেখা যায় geoR:::.negloglik.GRFএবং geoR:::.solve.geoR) যা পচনশীল পরিমাণ

(X^{'} Σ^{- 1} X) = Λ D Λ^{- 1}

$(X'\Sigma^{-1}X)=\Lambda D \Lambda^{-1}\\$ যেখানে

এবং সেইজন্য

Λ^{'} = Λ^{- 1}

$\Lambda'=\Lambda^{-1}$

(X^{'} Σ^{- 1} X)^{- 1} = (D^{- 1 / 2} Λ^{- 1})^{'} (D^{- 1 / 2} Λ^{- 1})

$(X'\Sigma^{-1}X)^{-1}=(D^{-1/2}\Lambda^{-1})'(D^{-1/2}\Lambda^{-1})$

দুটি প্রশ্ন:

এই eigen পচানি কিভাবে ইনভার্টারিং সাহায্য করে না ? $(X'\Sigma^{-1}X)$
অন্য কোন কার্যকর বিকল্প আছে (যে দৃust় এবং স্থিতিশীল)? (যেমন qr.solveবা chol2inv?)

— qoheleth
সূত্র

$\Sigma$ $X^T \Sigma^{-1} X$

$\Sigma$ $\Sigma = L L^T$ $L^{-1} X$ $L^{-1} X = QR$ $L^{-1} X$ $L$

\begin{matrix} X^{T} Σ^{- 1} X & = & X^{T} (L L^{T})^{- 1} X \\ = & X^{T} L^{- T} L^{- 1} X \\ = & (L^{- 1} X)^{T} (L^{- 1} X) \\ = & (Q R)^{T} Q R \\ = & R^{T} Q^{T} Q T \\ = & R^{T} R \end{matrix}

$\begin{array}{} X^T \Sigma^{-1} X & = & X^T (L L^T)^{-1} X \\ & = & X^T L^{-T} L^{-1} X \\ & = & (L^{-1} X)^T (L^{-1} X) \\ & = & (Q R)^T Q R \\ & = & R^T Q^T Q T \\ & = & R^T R \end{array}$

R

$R$

R^{T} R

$R^T R$

$X^T \Sigma Y$ $X^T \Sigma^{-1} Y$

\begin{matrix} X^{T} Σ^{- 1} Y & = & X^{T} (L L^{T})^{- 1} Y \\ = & X^{T} L^{- T} L^{- 1} Y \\ = & (L^{- 1} X)^{T} L^{- 1} Y \\ = & (Q R)^{T} L^{- 1} Y \\ = & R^{T} Q^{T} L^{- 1} Y \end{matrix}

$\begin{array}{} X^T \Sigma^{-1} Y & = & X^T (L L^T)^{-1} Y \\ & = & X^T L^{-T} L^{-1} Y \\ & = & (L^{-1} X)^T L^{-1} Y \\ & = & (Q R)^T L^{-1} Y \\ & = & R^T Q^T L^{-1} Y \end{array}$

β

$\beta$

\begin{matrix} X^{T} Σ^{- 1} X β & = & X^{T} Σ^{- 1} Y \\ R^{T} R β & = & R^{T} Q^{T} L^{- 1} Y \\ R β & = & Q^{T} L^{- 1} Y \\ β & = & R^{- 1} Q^{T} L^{- 1} Y \end{matrix}

$\begin{array}{} X^T \Sigma^{-1} X \beta & = & X^T \Sigma^{-1} Y \\ R^T R \beta & = & R^T Q^T L^{-1} Y \\ R \beta & = & Q^T L^{-1} Y \\ \beta & = & R^{-1} Q^T L^{-1} Y \end{array}$

R

$R$

— বিল ওউসনার
সূত্র

ধন্যবাদ। এটি একটি সহায়ক প্রতিক্রিয়া। কেবল স্পষ্ট করে বললে, আপনার চোল / কিউআর বিকল্প যুদ্ধে জিততে সহায়তা করবে? বা শুধু ইগেন কি করে তার চেয়ে ভাল খেলা জিততে হবে?

— Qoheleth

X

$X$

Σ

$\Sigma$

X^{T} Σ^{- 1} X

$X^T \Sigma^{-1} X$