প্রমাণ করুন / অস্বীকার করুন

প্রমাণ করুন / অস্বীকার করুন $E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{or} \ 1 \ \text{a.s.} \ \Rightarrow E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.}$

ফিল্টার হওয়া সম্ভাবনার স্থান , । $(\Omega, \mathscr{F}, \{\mathscr{F}_n\}_{n \in \mathbb{N}}, \mathbb{P})$ $A \in \mathscr{F}$

মনে করুন it এটি কি অনুসরণ করে? সম্পর্কে কী ?

\exists t \in N s.t. E [1_{A} | F_{t}] = 1 a.s.

$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1 \ \text{a.s.}$

E [1_{A} | F_{s}] = E [1_{A} | F_{t}] a.s. \forall s > t ?

$E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.} \ \forall s > t \ ?$

\forall s < t

$\forall s < t$

পরিবর্তে যদিবা যদি

\exists t \in N s.t. E [1_{A} | F_{t}] = 0 a.s. ?

$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{a.s.} \ ?$

E [1_{A} | F_{t}] = p a.s. for some p \in (0, 1) ?

$E[1_A | \mathscr{F_t}] = p \ \text{a.s.} \ \text{for some} \ p \in (0,1) \ ?$

আমি যা চেষ্টা করেছি:

যদি , তবে , যা (প্রায় অবশ্যই) এর সমান । এই ক্ষেত্রে (প্রায় নিশ্চয়) প্রত্যেকের জন্য । $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=1$ $\Bbb E[1_A]=1$ $1_A=1$ $\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=1$ $s$

তেমনি, যদি , তবে , যা (প্রায় অবশ্যই) এর সমান । এই ক্ষেত্রে (প্রায় নিশ্চয়) প্রত্যেকের জন্য । $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=0$ $\Bbb E[1_A]=0$ $1_A=0$ $\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=0$ $s$

যদি , একটি ধ্রুবক , তবে আমাদের $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=p$ $p\in(0,1)$

$\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=E[E[1_A|\mathscr F_t]|\mathscr F_s] = E[p|\mathscr F_s] = p$ । হলে এটি ব্যর্থ হতে পারে । $s>t$

বিকল্পভাবে ক্ষেত্রে: $= p$

যাক একটি বেষ্টিত হতে -measurable দৈব চলক। $F$ $\mathscr F_t$

E [1_{A} \cdot F] = E [E [1_{A} \cdot F | F_{t}]] = E [F \cdot E [1_{A} | F_{t}]]

$\Bbb E[1_A\cdot F]=\Bbb E[E[1_A\cdot F|\mathscr F_t]]=\Bbb E[F\cdot E[1_A|\mathscr F_t]]$

= E [p \cdot F] = p E [F] = E [1_{A}] \cdot E [F]

$=\Bbb E[p\cdot F]=p\Bbb E[F]=\Bbb E[1_A]\cdot\Bbb E[F]$

মানে এবং স্বতন্ত্র। অন্য কথায়, এবং স্বাধীন। তাই এবং এছাড়াও স্বাধীন হলে তাই । হলে এটি ব্যর্থ হতে পারে । $1_A$ $F$ $\sigma(A)$ $\mathscr F_t$ $\sigma(A)$ $\mathscr F_s$ $s<t$ $E[1_A|\mathscr F_s] = E[1_A] = p$ $s>t$

আমি ধারণা যে একটি ধ্রুবক উভয় স্বাধীন এবং -measurable $\mathscr F_s$ $\mathscr F_s$ ।

— BCLC
সূত্র

আপনার যুক্তিটি বৈধ বলে মনে হচ্ছে তবে আপনি ধরে । তবে, প্রশ্নে বলা হয়েছে যে , যার অর্থ আমি এলোমেলো পরিবর্তনশীল সেটে মানগুলি নেয় অর্থাৎ যেখানে । এই শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা সংজ্ঞায়িত সম্পত্তি যে সকলের জন্য । বিশেষত, নেওয়া বাড়ে , যেখান থেকে আমরা এই সিদ্ধান্ত নিতে পারি যে $E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1$ $E[1_A | \mathscr{F_t}] \in \{0, 1\}$ $E[1_A | \mathscr{F_t}]$ $\{0, 1\}$ $E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_B$ $B\in\mathscr{F_t}$ $\int_F 1_B d\mathbb{P}=\int_F 1_A d\mathbb{P}$ $F\in\mathscr{F_t}$ $F=B$ $P(B)=P(A\cap B)$ $B\subset A$ (সম্ভাব্যতার শূন্যের একটি সেট ব্যতীত)। তবে, আমরা এটিও জানি (আপনি যে যুক্তিটি লিখেছেন) অর্থাৎ , সুতরাং একমাত্র সম্ভাব্য উপসংহারটি হ'ল (সম্ভাব্যতা শূন্যের একটি সেট ব্যতীত)। $E[E[1_A | \mathscr{F_t}]] = E[1_B]$ $P(A)=P(B)$ $A=B$

জন্য , , তাই শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা জন্য মিনার আইন যে বোঝা । তবে , তাই । সুতরাং এর জন্য সমস্ত শর্তাধীন প্রত্যাশা সমান ( )। জন্য , যদি তারপর আমরা এখনও থাকবে । অন্যদিকে, যদি আমরা ফিরে একটা সময় যেখানে যেতে নয় , তারপর আমি মনে করি না কিছু সম্পর্কে বলা যেতে পারে $s\gt t$ $\mathscr{F_t}\subset\mathscr{F_s}$ $E[1_A | \mathscr{F_t}]=E[E[1_A | \mathscr{F_t}] | \mathscr{F_s}]$ $E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_A$ $E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$ $s>t$ $1_A$ $s<t$ $A\in\mathscr{F_s}$ $E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$ $A$ $\mathscr{F_s}$ $E[1_A | \mathscr{F_s}]$ । । একটি কংক্রিট উদাহরণস্বরূপ, এটি দেখতে কাগজ গ্রহণ, চিত্র 1. , উদাহরণস্বরূপ, শর্তাধীন প্রত্যাশা ক্রম দেয় , , , ,। $A=\{\omega_2\}\in\mathscr{F_2}\setminus\mathscr{F_1}$ $E[1_A | \mathscr{F_0}]=\frac{1}{8} 1_\Omega$ $E[1_A | \mathscr{F_1}]=\frac{1}{2}1_{\{\omega_1,\omega_2\}}$ $E[1_A | \mathscr{F_2}]=1_{\{\omega_2\}}$ $E[1_A | \mathscr{F_3}]=1_{\{\omega_2\}}$

— এস ক্যাটারলর পুনর্নির্মাণ মনিকা
সূত্র

ধন্যবাদ এস ক্যাটরওল। 1 আপনি কীভাবে জানেন ? 2 ? এছাড়াও প্রশ্ন সম্পাদনা করতে যাচ্ছি। কোন অসুবিধার জন্য দুঃখিত. আমি সম্পাদনার জন্য আপনার কিছু অন্তর্দৃষ্টি ব্যবহার করতে যাচ্ছি

P (B) = P (A \cup B) \to B \subseteq A

$P(B) = P(A \cup B) \to B \subseteq A$

E [1_{A} | F_{t}] = 1_{A}

$E[1_A | \mathscr{F}_t] = 1_A$

— বিসিএলসি

আমি প্রাকৃতিক ভাষায় সংক্ষিপ্ত করার চেষ্টা করি; পরিস্রাবণ ফলাফল স্থানের ক্রমবর্ধমান সূক্ষ্ম মহকুমার সাথে মিলে যায় এবং ইভেন্টের শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা পরিস্রাবণের অবিচ্ছিন্ন ধারাবাহিক উপাদান ("আরও তথ্য উপলভ্য হওয়ার সাথে সাথে") ইভেন্টের চারপাশে আরও শীর্ষে পরিণত হয় (তথ্যের প্রাথমিক অবস্থায় এটি কেবল অভিন্ন বিতরণ)। থামার সময়টি প্রক্রিয়াটির স্টোকাস্টিক স্তরের সেট পৃষ্ঠ হয় (কাগজে, ফলাফলের পরিবর্তনশীল বাইনারি হয়, এবং মান বেছে নেওয়া হয়)।

A

$A$

F_{0}

$\mathscr{F}_0$

0

$0$

— ocramz

@ ক্রামজ এবং এস ক্যাটরোল, সম্পাদনা সম্পন্ন হয়েছে। এটি কিভাবে হয়? ^ - ^

— বিসিএলসি

এই ছবিতে, আমরা যদি ইভেন্ট পরিমাপ করি তবে নমুনা প্রক্রিয়াটি একটি কনফিগারেশনে শেষ হয় যা , কার্যকরভাবে "অজানা" (পরিমাপ ) হয়ে যায়। এই বর্ণনাটি কি সঠিক? তদুপরি, একটানা সময়ে শর্তাধীন প্রত্যাশাগুলি কীভাবে আমাকে পুনরাবৃত্ত বায়েসের প্রক্রিয়া সম্পর্কে মনে করিয়ে দেয়, এই ধারণার মধ্যে কোনও সংযোগ আছে কি? @S। Catterall

A

$A$

ω_{i}

$\omega_i$

A

$A$

A

$A$

0

$0$

— ocramz

আপনার প্রথম মন্তব্যে প্রশ্নের জবাবে: যদি তবে, কারণ এবং বিয়ের একটি বিভাজন ইউনিয়ন, আমাদের অবশ্যই , যার অর্থ এটিকে এখন হিসাবে, একইভাবে, আমরা করতে পারি যে সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য হিসাবে

P (B) = P (A \cap B)

$P(B) = P(A \cap B)$

B

$B$

A \cap B

$A\cap B$

A^{c} \cap B

$A^c\cap B$

P (A^{c} \cap B) = 0

$P(A^c\cap B)=0$

B \subset A

$B\subset A$

P (A) = P (B)

$P(A)=P(B)$

A = B \in F_{t}

$A=B\in \mathscr{F_t}$

— এস ক্যাটারলর পুনরায় স্থাপন করুন মনিকা