অর্থোগোনাল প্রজেকশন প্রতিসাম্যের প্রজেকশন ম্যাট্রিক্স কেন?

আমি এটিতে বেশ নতুন, তাই আমি আশা করি আপনি যদি প্রশ্নটি নির্লজ্জ হন তবে আপনি আমাকে ক্ষমা করবেন। (প্রসঙ্গ: আমি ডেভিডসন এবং ম্যাককিননের বই "একনোমেট্রিক থিওরি এবং পদ্ধতিগুলি" থেকে একনোমেট্রিকস শিখছি , এবং তারা এটার ব্যাখ্যা দেবে বলে মনে হয় না; আমি লুয়েনবার্গার অপটিমাইজেশন বইটিও দেখেছি যা কিছুটা আরও উন্নত স্তরে অনুমান নিয়ে কাজ করেছে, তবে কোন ভাগ্য ছাড়া)।

মনে করুন যে আমার সাথে অর্থোগোনাল প্রজেকশন $\mathbb P$ রয়েছে যা সম্পর্কিত প্রজেকশন ম্যাট্রিক্স $\bf P$ । আমি in প্রতিটি ভেক্টরকে কিছু উপ-স্পেস এ প্রজেক্ট করতে আগ্রহী । $\mathbb{R}^n$ $A \subset \mathbb{R}^n$

প্রশ্ন : কেন এটি অনুসরণ করে , অর্থাত প্রতিসাম্য? এই ফলাফলের জন্য আমি কোন পাঠ্যপুস্তকটি দেখতে পারি? $\bf{P}=P$ $^T$ $\bf P$

regression least-squares

— weez13
সূত্র

en.wikipedia.org/wiki/...

— whuber

উত্তর:

অরথোগোনাল অনুমানগুলিতে লিনিয়ার বীজগণিত থেকে প্রাপ্ত এটি একটি মৌলিক ফলাফল। একটি অপেক্ষাকৃত সহজ পদ্ধিতি নিম্নরূপ। যদি orthonormal একটি spanning ভেক্টর হয় -dimensional subspace , এবং হয় সঙ্গে ম্যাট্রিক্স 'কলাম, তারপর যেমন গুলি বাস্তবে দেখা যায় যে এর লম্ব অভিক্ষেপ থেকে সরাসরি অনুসরণ সম্মুখের এর orthonormal ভিত্তিতে পরিপ্রেক্ষিতে নির্ণিত করা যেতে পারে যেমন $u_1, \ldots, u_m$ $m$ $A$ $\mathbf{U}$ $n \times p$ $u_i$

P = U U^{T} .

$\mathbf{P} = \mathbf{U}\mathbf{U}^T.$

x

$x$

A

$A$

A

$A$

এটি উপরের সূত্র থেকে সরাসরি অনুসরণ করে যে

এবং এটি

\sum_{i = 1}^{m} u_{i} u_{i}^{T} x .

$\sum_{i=1}^m u_i u_i^T x.$

P^{2} = P

$\mathbf{P}^2 = \mathbf{P}$

P^{T} = P .

$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}.$

আলাদা যুক্তি দেওয়াও সম্ভব possible যদি একটি লম্ব অভিক্ষেপ জন্য একটি অভিক্ষেপ ম্যাট্রিক্স হয়, তাহলে সংজ্ঞা দ্বারা, সব জন্য ফলস্বরূপ, $\mathbf{P}$ $x,y \in \mathbb{R}^n$

P x ⊥ y - P y .

$\mathbf{P}x \perp y-\mathbf{P}y.$

সবার জন্য

0 = (P x)^{T} (y - P y) = x^{T} P^{T} (I - P) y = x^{T} (P^{T} - P^{T} P) y

$0 = (\mathbf{P} x)^T (y - \mathbf{P}y) = x^T \mathbf{P}^T (I - \mathbf{P}) y = x^T (\mathbf{P}^T - \mathbf{P}^T \mathbf{P}) y$

। এটি দেখায় যে

, কোথা থেকে

x, y \in R^{n}

$x, y \in \mathbb{R}^n$

P^{T} = P^{T} P

$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P}$

P = (P^{T})^{T} = (P^{T} P)^{T} = P^{T} P = P^{T} .

$\mathbf{P} = (\mathbf{P}^T)^T = (\mathbf{P}^T \mathbf{P})^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{P}^T.$

— NRH
সূত্র

আপনার অন্তর্দৃষ্টিপূর্ণ মন্তব্য (গুলি) জন্য ধন্যবাদ! কোনওভাবে উইকিপিডিয়া নিবন্ধে, যা প্রজেকশন অপারেটরের স্ব-স্থগিতকরণ সম্পর্কে কিছু উল্লেখ করেছে, আমাকে ফেলে দিয়েছে, কারণ আপনার প্রমাণগুলি এতটা কঠিন নয়। :) বিটিডাব্লু, আপনার কি এমন কোনও লিনিয়ার বীজগণিত পাঠ্য রয়েছে যা এই ধরণের স্টাফের সাথে ডিল করে?

— উইজ

আমি জানি যে প্রাথমিক লিনিয়ার বীজগণিত বইটি সবচেয়ে ভাল এটি কভার করে না। আমার জানা সবচেয়ে ভাল উল্লেখগুলি হ'ল কার্যকরী বিশ্লেষণের উপর উন্নত বই। রৈখিক বীজগণিত সম্পন্ন অধিকার বই সৌন্দর্য ভাল, কিন্তু আমি এটা জানি না।

— এনআরএইচ

x = x^{T}

$x = x^T$

(P x)^{T} = x P^{T}

$(Px)^T = xP^T$

(P x)^{T} (y - P y) = x P^{T} (I - P) y

$(Px)^T(y-Py)=xP^T(I-P)y$

x = x^{T}

$x = x^T$

P

$P$

x

$x$

(P x)^{T} = x^{T} P^{T} .

$(Px)^T = x^TP^T.$

P^{T} - P^{T} P = 0

$P^T - P^TP = 0$

x = x^{T}

$x=x^T$

x \in R^{n}

$x\in\mathbb{R}^n$

n = 1

$n=1$

x

$x$

জ্যামিতিক অন্তর্দৃষ্টি একটি প্রচেষ্টা ... মনে আছে যে:

একটি প্রতিসাম্য ম্যাট্রিক্স হ'ল স্ব-স্থিরকরণ।
একটি স্কেলার পণ্য কেবল মিউচুয়াল লিনিয়ার স্পেসের উপাদানগুলি দ্বারা নির্ধারিত হয় (এবং কোনও ভেক্টরগুলির অর্থোগোনাল উপাদানগুলির চেয়ে পৃথক)।

$x$ $A$ $y$ $\langle x,Ay \rangle$ $x$ $y$ $\langle Ax,Ay \rangle$ $\langle Ax,y\rangle$

$A$

— JohnRos
সূত্র

অনেক ধন্যবাদ! আপনার মন্তব্য পড়ার আগে আমি এখানে আত্ম-স্থগিতকরণ কেন গুরুত্বপূর্ণ তা নিয়ে বেশ বিভ্রান্ত হয়ে পড়েছিলাম। এখন আমার কিছু ক্লু আছে, ধন্যবাদ!

— উইজ 1313